Равномерное движение точки по окружности
Урок 11. Физика 10 класс
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Равномерное движение точки по окружности»
Движение тела по окружности довольно часто встречается в повседневной жизни. Взять хотя бы движение Земли вокруг своей оси или вокруг Солнца.
Кроме этого существуют ещё сотни примеров: вращение колеса автомобиля, вращение электронов вокруг ядра атома, движение стрелок часов и многое другое.
В первую очередь, давайте условимся, что называется равномерным движением по окружности? При прямолинейном движении мы говорили о том, что тело совершает одинаковые перемещения за равные промежутки времени. В случае с движением тела по окружности, равномерным движением называется такое движение, при котором тело поворачивается на одинаковые углы за равные промежутки времени.
Мы уже говорили о том, что мгновенная скорость направлена по касательной к траектории движения. Значит, при движении тела по окружности, его скорость будет направлена по касательной к этой окружности в данной точке. При этом, модуль скорости, так же, как и модуль ускорения остаётся постоянным, в то время как их направления постоянно меняются.
Из этого можно сделать вывод, что любое криволинейное движение является ускоренным, даже если модуль скорости остаётся постоянным.
Давайте рассмотрим ускорение при движении тела по кривой. Поскольку направление ускорения постоянно меняется, имеет смысл рассматривать мгновенное ускорение. Точно так же, как и в случае с мгновенной скоростью, мы будем брать все меньшие и меньшие промежутки времени.
Тогда, можем записать, что мгновенное ускорение — отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, при 
Возьмём две произвольные точки А и В, принадлежащие окружности. В обеих точках скорость будет направлена по касательной, а модуль скорости в точке A будет равен модулю скорости в точке B.
Воспользуемся теперь сложением скоростей, чтобы найти вектор показывающий направление изменения скорости. Рассмотрим два треугольника, показанные на рисунке. Один из этих треугольников образован двумя радиусами и вектором перемещения, а второй — двумя модулями скорости и вектором изменения скорости. Эти треугольники подобны, т.к. являются равнобедренными и имеют одинаковый угол при вершине. Напомним, что мы рассматриваем промежуток времени, стремящийся к нулю. В этом случае, угол поворота будет стремиться к нулю, а значит и угол между скоростью в точке A и скоростью в точке B — тоже будет стремиться к нулю.
Теперь разберёмся с модулем ускорения. Мы снова используем те же два треугольника. Поскольку треугольники подобны, мы можем записать, что 
Перемещение мы можем записать как произведение скорости и времени: 
Теперь преобразуем выражение:
Это, как раз, и будет модулем ускорения:
Таким образом, мы выяснили, что ускорение при движении по окружности направлено к центру и численно равно отношению квадрата скорости к радиусу окружности.
В завершении темы, вспомним несколько важных физических величин, описывающих криволинейное движение. В первую очередь, это, конечно, период обращения. Периодом обращения называется время, за которое тело совершает полный оборот.
Например, период обращения Земли вокруг Солнца равен одному году.
Существует также величина, обратная периоду, которая называется частотой. Эта величина равна числу оборотов в единицу времени. Очевидно, что период обращения и частота обратно пропорциональны:
К примеру, чем быстрее вращаются лопасти вентилятора, тем больше он оборотов совершит в единицу времени и тем меньше период обращения.
Еще одной важной характеристикой движения по окружности является угловая скорость. Скорость, о которой мы говорили до этого — это фактическая скорость движения, которая называется линейной.
Угловая скорость характеризует скорость поворота, то есть изменение угла поворота в единицу времени.
Таким образом, угловая скорость измеряется в радианах в секунду:
.
Напомним, что радиан — это угол между двумя радиусами окружности, вырезающими на окружности дугу, длина которой равна радиусу окружности. Применительно к физике, мы можем сказать, что радиан — это такой угол, при повороте на который, точка проходит путь, равный радиусу окружности.
Мы знаем, что полный оборот — это поворот на угол, равный 
. Тогда, угловая скорость будет равна:
Линейная скорость будет определяться:
Также можно записать, что линейная скорость равна произведению угловой скорости и радиуса окружности:
Это вполне логично: чем дальше точка находится от центра, вокруг которого она вращается, тем больше должна быть её линейная скорость, чтобы за одинаковое время совершить поворот на одинаковый угол.
Мы рассмотрели частный случай: когда точка совершает полный оборот по окружности. В более общем случае, угловая скорость будет определяться как отношение угла поворота ко времени, за который этот поворот был совершён:
Аналогично, линейная скорость определяется как отношение длины пройденной дуги ко времени:
Для примера рассмотрим, так называемый, геостационарный спутник. Это искусственный спутник Земли, который постоянно находится над одной и той же точкой поверхности Земли (с помощью таких спутников работает спутниковое телевидение, к примеру). Для выполнения этого условия необходимо, чтобы спутник вращался с той же угловой скоростью, что и Земля.
Пример решения задачи.
Задача. Спидометр автомобиля показывает 90 км/ч, а тахометр — 2400 об/мин. Чему равен радиус колеса в таком случае?
Задачи на движение по окружности: примеры решения задач по кинематике
Лень разбираться с решением задач? Добро пожаловать к нам в телеграм, где собрана интересная и полезная информация для учащихся и не только.
Движение по окружности: определение, примеры
Примеры движения по окружности:
Приведем ниже кинематические соотношения для поступательного и вращательного движений:
Вопросы на движение по окружности
Вопрос 1. Как направлено центростремительное ускорение?
Ответ. Центростремительное ускорение направлено по радиус-вектору к центру окружности.
Вопрос 2. Велосипед катится по прямой. Как можно описать движение точки на ободе его колеса? Является ли это движение движением по окружности?
Ответ. Это одновременно поступательное движение и движение по окружности. Траекторией такого движения будет спираль.
Вопрос 3. Как направлено ускорение, если тело движется по окружности неравномерно?
Ответ. В таком случае к центростремительному (или нормальному) ускорению добавляется тангенциальное ускорение, направленное по касательной к окружности. Полное ускорение тела представляет собой векторную сумму тангенциального и нормального ускорений.
Вопрос 4. Что такое линейная и угловая скорость?
Ответ. Линейная скорость – это скорость точки, движущейся поступательно. Она измеряется в метрах в секунду. Угловая скорость – скорость, с которой меняется угол, на который поворачивается радиус-вектор точки при движении по окружности.
Вопрос 5. При поступательном движении мерой инерции является масса. А что является мерой инерции при вращательном движении?
Ответ. При вращательном движении мерой инерции является момент инерции. Это отдельная обширная тема, задачи на нахождение и использование момента инерции рассмотрены в других статьях по физике.
Задачи на движение по окружности
Как решать задачи на движение по окружности? Так же, как и все остальные! Для начала, вот памятка по решению физических задач и полезный список формул. Кстати! Для всех наших читателей действует скидка 10% на любой вид работы.
Задача №1. Нахождение линейной скорости при движении по окружности
Условие
Тело движется по окружности с ускорением 3 метра на секунду в квадрате по окружности радиусом 40 метров. Какова линейная скорость тела?
Решение
В данном случае ввиду имеется нормальное ускорение. Поэтому, для решения достаточно вспомнить всего одну формулу:
Ответ: 10,9 м/с.
Задача №2. Нахождение углового ускорения
Условие
Колесо, вращаясь с постоянным ускорением, достигло угловой скорости 20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.
Решение
Запишем закон вращения, учитывая, что по условию начальная угловая скорость равна нулю:
Выразим угловое ускорение из первого уравнения, а время – из второго. Затем подставим выраженное время в выражение для ускорения и сократим:
Ответ: 3,2 радиан на секунду в квадрате.
Чтобы перевести угол из радианов в градусы достаточно запомнить соотношение: в одном полном обороте 2пи радиан, или 360 градусов. Следовательно, в одном радиане примерно 57,3 градуса.
Задача №3. Нахождение скорости движения по окружности
Условие
Во сколько раз линейная скорость точки обода колеса радиусом 8 см больше линейной скорости точки, расположенной на 3 см ближе к оси вращения колеса?
Решение
Две точки вращаются на одном колесе, а значит, с одинаковой частотой. Используем соотношения для скорости:
Ответ: скорость точки на ободе больше в 1,6 раза.
Задача №4. Нахождение периода и частоты при движении по окружности
Условие
Маховик равномерно вращается и за время t=1 мин совершает N=2400 оборотов. Какова частота вращения маховика, период обращения и линейная скорость точки, расположенной на расстоянии 10 сантиметров от центра маховика?
Решение
Подставим значения, предварительно переведя все величины в систему СИ, и вычислим:
Ответ: 40 Гц; 0,025 с; 25,12 м/с.
Задача №5. Нахождение полного ускорения при движении по окружности
Условие
Тело вращается вокруг стационарной оси по закону фи=10+20t-2t^2. Нужно найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии 10 см от оси вращения в момент времени t=4c.
Решение
Полное ускорение – векторная сумма нормального и тангенциального ускорений.
Вспоминаем, что скорость и ускорение можно вычислить через производные, зная закон движения:
Подставляем значение t из условия и вычисляем:
Ответ: 1,65 метра в секунду.
Нужна помощь в выполнении заданий? Обращайтесь в профессиональный студенческий сервис в любое время.
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение равнобедренного треугольника
Какой треугольник называется равнобедренным?
Давайте посмотрим на такой треугольник:
На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.
А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:
AB и BC — боковые стороны,
AC — основание треугольника.
Признаки равнобедренного треугольника
Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.
Свойства равнобедренного треугольника
Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!
Для доказательства следующих теорем нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.
Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.
Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.
Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.
Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».
В данном треугольнике медианой является отрезок BH.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.
Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.
В каждом из доказательств мы пользуемся признаком равенства треугольников, вот и повод их повторить.
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.
Примеры решения задач
Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.
Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.
Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.
∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.
Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.
Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.
А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.
Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.
Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.
Равномерное движение точки по окружности
Урок 7. Физика 10 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Равномерное движение точки по окружности»
Вы уже знаете, что прямолинейное движение, тем более равномерное, встречается гораздо реже, нежели движение по криволинейной траектории. Кто из вас не наблюдал, как вращается волчок? А кто не катался на каруселях? Наконец, всем вам известно, что спутники обращаются вокруг планет почти по круговым траекториям, а планеты — вокруг центрального тела нашей Солнечной системы.
Криволинейных траекторий существует бесчисленное множество. Но оказывается, что любую кривую мы можем представить в виде совокупностей дуг окружностей разных радиусов и прямолинейных участков. Поэтому чаще всего изучение криволинейного движения сводится к изучению движения точки по окружности.
Мы будем изучать самый простой вид такого движения — равномерное движение точки по окружности. При таком движении направления векторов скорости и ускорения непрерывно изменяются, но вот их модули остаются постоянным.
Итак, пусть материальная точка, равномерно движущаяся по окружности радиуса R, в некоторый момент времени t занимает положение М и имеет скорость υ, а спустя некоторый промежуток времени — положением М1 и скорость υ1. Найдём модуль и направление вектора ускорения точки в положении М.
Давайте найдём вектор изменения скорости за исследуемый промежуток времени:
Теперь давайте посмотрим на два треугольника ОММ1 и М1АВ. Что можно о них сказать? Во-первых, очевидно, что это два равнобедренных треугольника, так как ОМ и ОМ1 — это радиусы окружности, а длины векторов скорости (их модули) одинаковы, так как движение точки у нас равномерное. Наконец, угол 
как углы между двумя взаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно, эти два треугольника подобны. Поэтому мы можем записать, что модуль изменения скорости точки так относится к модулю её скорости, как модуль перемещения к радиусу окружности, по которой эта точка движется:
Как мы уже с вами знаем, отношение модуля изменения скорости к промежутку времени, в течении которого это изменение произошло, — это модуль среднего ускорения точки. А отношение модуля перемещения к этому промежутку времени — это модуль средней скорости перемещения:
Теперь давайте с вами вспомним, что при стремлении промежутка времени к нулю отношение изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло, называется ускорением. А отношение перемещения к промежутку времени называется мгновенной скоростью. Эти определения справедливы и для модулей скорости и ускорения:
После простых преобразований получим, что модуль ускорения точки при её движении по окружности прямо пропорционален квадрату модуля её скорости и обратно пропорционален радиусу окружности:
Учитывая, что при равномерном движении точки по окружности модуль её скорости и радиус окружности не меняются с течением времени, то и модуль вектора ускорения всё время остаётся неизменным. Но вот его направление, как и направление вектора скорости, меняется от точки к точке.
Задача 1. В ремённой передаче диаметр ведущего шкива равен 6 см, а ведомого — 9 см. Сравните центростремительные ускорения периферийных точек каждого шкива.
В заключение отметим, что равномерное движение точки по окружности является движением с переменной скоростью и переменным ускорением, так как направление их векторов непрерывно изменяется. Но их модули при этом остаются неизменными.