Часть 5 хеджирование акций опционами

ОПЦИОНЫ. Статья 11. Дельта опциона или коэффициент хеджирования

В теории, если не учитывать комиссию брокера, прибыль опционного трейдера зависит больше от числа попыток открытия нейтральных стратегий, чем от однобоких покупок или продаж. Вообще простые покупки опционов, как и их продажи, с точки зрения теории оценки опционов, являются неправильными. Любое действие на рынке требует обязательного хеджирования путем занятия противоположной позиции. Если это правило игнорировать, то рано или поздно будут негативные результаты в практической деятельности. Мы можем максимизировать прибыль по опционам, но только на краткосрочном промежутке времени. Чем дальше экспирация, тем выше вероятности и риски. Теперь встает вопрос — как связать противоположные опционы, чтобы их соотношение было нейтральным и в результате незначительного движения мы не почувствовали серьезных потерь. Выводится этот коэффициент из формулы теоретической оценки и называется коэффициентом хеджа или дельтой.

ТЕОРИЯ

По сути дельта — это показатель, насколько изменится стоимость опциона по сравнению со стоимостью базового контракта.

Что нам важно знать про дельту:

дельта базового контракта (На Московской бирже это фьючерсы) всегда равна 1 (или 100%)

дельта опционов колл положительна и имеет значения от 0 до 1 (если продается колл — дельта становится отрицательной)

дельта опционов пут отрицательна и имеет значения от 0 до — 1(если продается пут — дельта становится положительной)

дельта опционов «на деньгах» (в страйках, близких к цене базового контакта) близка к 0,5 (или 50%)

дельта опционов «в деньгах» от 0,5 до 1 (для опционов пут эти значения отрицательны)

дельта опционов «вне денег» от 0 до 0,5 (для опционов пут эти значения отрицательны)

Что все это означает на практике?

Допустим дельта колла равна 0,35 (или 35%). Тогда в случае роста базового актива на 1000 пп можно ожидать, что стоимость данного колла вырастет на 350 пп. Если базовый актив снизится на 500 пп, то ожидаемая стоимость опциона снизится на 175 пп.

Ровно так же и с дельтой пута 0,7 (или 70%). Если базовый актив снизится на 1000 пп, то ожидаемая стоимость пута вырастет на 700 пп. Если базовый актив вырастет на 1000 пп, то стоимость пута как минимум снизится на 700 пп.

К примеру, если дельта опциона равна 0,25, то вероятность того, что опцион окажется в деньгах на дату экспирации равна 25%.

Как использовать дельту?

Здесь множественные решения, главное мы должны держать дельту нейтральной.

Если мы продали Ri-12.20 по 135000 в пятницу вечером, то шорт можно захеджировать покупкой 4 опционов колл с дельтой равной 0,25 или покупкой 2 опционов колл с дельтой 0,5.

* На практике большинство трейдеров продают опционы и по статистике основная прибыль идет от продаж опционов (5 к 1). Такие действия с точки зрения теории не совсем совместимы с хеджированием. И мы не можем здесь неукоснительно соблюдать дельту. Нужно смотреть по премии и дате экспирации. Допустим мы продали Ri-12.20 по 135000, тогда для снижения потерь, в случае продолжения роста актива, нам выгоднее продать опционы пут с дальними страйками и меньшей дельтой из-за вероятности. Если Вы продали путы на сумму премий в 1000 пп, то движение в случае роста фьючерса Вы выдержите всего лишь до 135700-135900 в лучшем случае.
Для таких действий необходим навык торговли и полностью понимать риски, полностью понимать насколько изменится стоимость опциона в случае всплеска волатильности и движения в сторону снижения. Но такие методы работают и они эффективны. Поскольку трендовых движений на рынке мало, а опционы с каждым днем все сильнее дешевеют.

Основные правила нейтрализации стратегий:

Всякий раз, когда мы приступаем к корректировкам, нам необходимо оставлять дельту нейтральной.

Для этого правильней поступать следующим образом:

1) купить/продать недооцененные/переоцененные опционы

2) сделать стратегию нейтральной

3) делать корректировки через равные промежутки времени.

При приближении дня экспирации закрываем стратегию следующим образом:

1) позволяем всем опционам «вне денег» сгореть

2) продаем все опционы «в деньгах» по паритету или закрываем их в базовом контракте после исполнения.

По факту:

В теории, хеджирование или нейтрализация позиций должна производится непрерывно. Но объективно так мы можем делать с некоторым лагом по времени и несем транзакционные издержки. Если мы хеджируемся слишком часто — вся наша прибыль уйдет по комиссиям брокера. И здесь нужно понимание в различии транзакционных издержек для индивидуальных трейдеров и крупных игроков с доступом непосредственно к бирже. Индивидуальный трейдер может не делать корректировок вообще. И из-за этого его стратегия более чувствительна к краткосрочному невезению. Но временами — он получает большую прибыль чем профессиональный игрок. В долгосрочной же перспективе — все их действия должны привести к долгожданному результату.

ПРАКТИКА

Подводим итоги стратегии, открытой в статье 10, и смотрим, что стало с нашими опционами:

Таблица 11.1 Стратегия на 04.12.2020

Подводим итоги наших действий за все время публикаций: 2822,28 — 9796 = — 6973,72 рубля.

Теперь открываем новую стратегию и смотрим уже январские контракты и начинаем с волатильности:

Иллюстрация 11.1 Волатильность базового контракта на 05.12.2020

Волатильность остается низкой и мы не можем ожидать, что в течение месяца она повысится.

Смотрим на динамику базового актива с экспирацией в марте следующего года:

Иллюстрация 11.2 График Ri-3.21

Видим, что у нас есть пробой сопротивления 130000 по величине пробоя, но не получено временное подтверждение. Базовый актив в неопределенности на сниженной волатильности. Поэтому лучшим решением здесь могут быть стренглы :

Таблица 11.2 Новая стратегия на 04.12.2020

Обратите внимание — дельта сейчас у нас равна 0, а опцион пут 127500 явно переоценен и практически его лучше продать. Но мы не максимизируем прибыль, а действуем ровно так, как правильно. Данный стренгл не очень удачный. Как уже поняли — вероятность каждого из опционов на дату экспирации сейчас 28%. Не будем по этому поводу переживать — мы практикуемся и в дальнейших публикациях будем нейтрализовать стратегию.

ТЕСТ

Если в статье не открываются картинки — полную версию можно прочитать, перейдя по ссылке:

Ссылка на группу тех поддержки:

При написании статьи использованы материалы с сайтов:

Источник

Все о хеджирование при помощи опционов

Для людей, заключающих сделки на бирже крайне важно ограничить влияние колебания рыночных цен на их благосостояние.

Это касается не только трейдеров, но и различных компаний, у которых также возникает необходимости покупки и продажи различных активов. Один из весьма популярных методов такой защиты – хеджирование опционами. В этой статье мы подробно расскажем, что это такое и рассмотрим механику действия метода на примерах.

Что такое хеджирование?

Хеджирование (или же страхование рисков) – это проведение мероприятий, направленных на защиту имеющихся открытых позиций по активам от возможного неблагоприятного развития ситуации на рынке.

В целом, это своеобразная договоренность совершить в дальнейшем сделку купли-продажи активов по оговоренной заранее цене. Один из самых популярных сегодня методов – хеджирование при помощи такого инструмента, как опционы.

Опцион является контрактом, дающим возможность купить или продать определенный актив по фиксированной цене. При этом любой контракт имеет свои ограничения по времени, то есть сделка может быть осуществлена только в определенный срок. При этом на лицо, приобретающее опцион не накладывается никаких обязательств – покупка (продажа) может так и не произойти.

Основное достоинство таких контактов в том, что инвестор может быть уверен в стоимости интересующих его активов. Даже если общая тенденция на рынке изменится в неблагоприятную для него сторону, можно будет сохранить свои средства и совершить сделку по запланированному заранее курсу.

Заключение контракта является платной услугой, поэтому необходимо уплатить цену опциона. Ее также называют премией. Контракты на приобретение актива называются «колл» (Call), а на продажу – «пут» (Put). Рассмотрим примеры применения таких контрактов.

Пример «колл» опциона

Диспозиция. Американская компания через четыре месяца будет приобретать оборудование у своего немецкого партнера. Для этого необходимо будет 10 000 000 евро. На данный момент курс евро к доллару составляет 1.1100.

Возможные варианты развития ситуации:

Пример «пут» опциона

Диспозиция. Американская компания через четыре месяца продаст оборудование своему немецкому партнеру и выручит с этой сделки 10 000 000 евро. На данный момент курс евро к доллару составляет 1.1200.

Возможное развитие ситуации:

На данном примере вы можете увидеть механику действия «пут» опционов. Стоимость самого опциона получается на порядок ниже, чем возможные убытки даже при малейшем колебании цены (всего на один процент).

Стратегии хеджирования

Как уже говорилось ранее, хеджирование опционами предполагает работу только в одном направлении – вверх или вниз. Комбинируя опционы, трейдер может составить собственную стратегию, отличающуюся особой гибкостью. Есть два основных вида стратегий – короткий и длинный хедж.

Суть короткого хеджирования в защите длинной позиции от внезапного падения стоимости активов. Для воплощения этой стратегии проводится продажа Call опциона либо покупка Put опциона.

Покупка «пут» опциона в случае падения цены грозит лишь потерей средств в размере премии по опциону. Если же для хеджирования использовалась продажа «колла», то трейдер таким образом страхует себя на сумму равную премии заключенных контактов.

Длинное хеджирование – это метод защиты короткой позиции от неожиданного роста цен на выбранный актив. Самый простой способ такой защиты – приобретение «колла».

Более того, возможно хеджирование самих опционов.

Пример хеджирования опционов

Диспозиция. Трейдер планирует продать через месяц 10 000 баррелей нефти. По его предположениям стоимость за баррель будет колебаться в пределах 34-36 долларов. Самый простой способ хеджирования – воспользоваться форвардом и зафиксировать стоимость на текущем уровне в 35 долларов. Однако, есть надежды что цена будет выше.

Действия. В рамках своей стратегии трейдер продает «колл» опцион, фиксирующий стоимость на уровне 36, и приобретает «пут» опцион на уровне 34 долларов за баррель. Предположим, что премия за оба опциона была одинаковой (например, 100 долларов). Поэтому реализация стратегии на данном этапе не повлекла за собой никаких трат.

Возможные варианты развития событий:

Если изначальные предположения трейдера оказались верными, и он предугадал тенденцию, подобное хеджирование принесет ему больший доход. В случае ошибки потери минимизируются. Без использования опционов при падении цены ниже 34 долларов за баррель, потери могли оказаться в разы больше.

Продажи с коэффициентом

При идеальном развитии событий предполагается, что использование хеджирования полностью покрывает убытки. Однако, ситуации на рынке бывают разные и порой потери покрываются лишь частично.

Стратегии хеджирования с использованием опционов, приносящие не полную компенсацию называются продажей с коэффициентом. Приведем небольшой пример, иллюстрирующий особенности таких операций.

Диспозиция. У инвестора имеется 100 акций определенного вида. Он продает «колл» на 200 акций.

Возможное развитие ситуации:

Резюме: зачем нужно хеджирование?

У многих людей, не работавших на фондовых рынках, может сложиться ошибочное мнение, что суть игры на бирже складывается исключительно из ожидания благоприятного для сделки момента.

На самом деле это не совсем так. Трейдер изначально рассчитывает свою стратегию и для нее берет за основу определенный рост или падение стоимости активов. Но фондовый рынок зависит от множества внешних факторов и в ряде случаев может быть неожиданное резкое изменение тенденций.

Именно для таких случаев и предусмотрено хеджирование. Что бы не случилось и как бы сильно не упал либо возрос курс выбранных акций, приобретая опцион трейдер гарантирует себе определенную фиксированную стоимость активов.

Инвестирую с 2008 года в фондовые рынки Европы, Америки, Азии, России. Больше всего люблю Английский метод инвестирования. Слежу за всеми тенденциями и трендами в мире денег.

Источник

“Покрытый колл” + “продажа опциона пут” = опционный вечный двигатель.

Как инвестировать в акции, почти никогда не покупая их.

Есть много способов совместного использования акций и опционов. Первый, и самый популярный – покрытый колл. Второй, по популярности, способ – продажа опциона пут.

Если объединить эти два варианта вместе, получится опционный вечный двигатель.

Покрытый колл.

Рисунок 1. Покупка 100 акций SPY.

Рисунок 2. Продажа одного опциона колл на SPY, 211-й страйк.

Объединяем эти две позиции, и получаем покрытый колл.

Рисунок 3. Покрытый колл.

Что получили?

Какова доходность в случае отзыва акций?

Доходность = ((Страйк + Цена опциона – Цена акции)/Цена акции)*100%

Не стоит соглашаться на доходность меньше 1% в месяц 😉

Как создавать?

Продать коллы можно против любой акции в Вашем портфеле. Просто выбираете колл («около денег», «без денег), который Вы хотите продать.

А также можно одновременно купить акции и продать опцион колл. Такая операция называется «бай-райт» (buy-write).

Управление.

Если Вам не пришлось продать свои акции, то выкупаете проданный колл, и продаете другой опцион с большим сроком до погашения.

Если акция выросла выше страйка:

Идеальная ситуация для покрытого колла.

Продажа опциона пут.

Продажа опциона пут «без денег» – это продажа покрытого колла «в деньгах».

Рисунок 4. Продажа опциона пут на SPY, 205-й страйк.

Продажа опциона пут – хороший способ приобрести акции со скидкой.

Например, мы 6 раз продали путы:

Идеальная ситуация для продажи опциона пут.

Теперь, когда мы вспомнили эти две стратегии, соберем их в одну, и получим опционный вечный двигатель.

Например, продаем путы на Coca-Cola. Можем продавать недельные или месячные.

Продажа недельных опционов – более активный вариант стратегии. Большая свобода при выборе страйков, больше волатильности, но и больше нюансов.

Продажа месячных опционов – легче, более стабильный вариант стратегии. Получаем больше премии «за раз», но в итоге, за месяц, получим меньше по сравнению с недельными опионами (в стабильной акции).

Если наш проданный опцион пут исполняется, мы начинаем продавать коллы, пока не избавимся от акций. Может быть нам повезет, и мы получим дивиденды, пока продаем покрытые коллы.

Нам нужно следить, чтобы цена поставки не была с убытком. Если мы не можем продать колл так, чтобы цена возможной поставки не была с убытком, или продаем акции, или не продаем колл.

Важные моменты.

Источник

Хеджирование опционами на примерах

Хеджирование опционами это биржевая операция, целью которой является фиксация цены базового актива на одном уровне, вследствие чего устраняется риск вероятного неблагоприятного изменения его стоимости в будущем, при этом сделки совершаются одновременно с опционом и базовым активом.

В целом, хеджирование опционами подчиняется следующим основным правилам: если есть необходимость застраховать позицию от падения цены, то следует покупать опцион put, либо продавать опцион call; если же страхование призвано устранить риск роста стоимости актива, то нужно продавать put-опцион или покупать call-опцион.

Пример №1. Покупка put-опциона

У инвестора в наличии имеются акции Сбербанка, и он опасается, что через некоторое время их цена снизится. Чтобы устранить неопределенность, связанную с данным риском, он решает захеджировать свою позицию по акциям путем покупки пут-опциона, т.е. осуществляет хеджирование опционами. Стоимость акций на рынке 90р., цена опциона (или опционная премия) составляет 5р. на акцию.

Таким образом, страхуя собственную позицию, игрок несет затраты в размере 5р. на одну акцию. Поскольку купленный опцион-пут дает право выкупить акции по цене 90р. независимо от того, какая цена сложится на рынке, инвестор фактически застраховал себя от падения стоимости ниже 90р. Вместе с тем, подобная стратегия не исключает получения дополнительной прибыли в случае роста акций Сбербанка.

Тандем позиций на спотовом рынке (в виде акций Сбербанка) и на срочном рынке (в виде опционного контракта типа put) образует так называемый синтетический колл, а по сути это и есть опцион call, только сформирован он искусственно (рис. 1).

Пример №2. Продажа call-опциона

При тех же самых условиях, игрок решает произвести хеджирование опционами от падения стоимости Сбербанка путем продажи контракта типа колл. Премия = 5р. с акции, рыночная стоимость бумаг 90р. Здесь продавец опциона берет на себя обязательство продать бумаги за 90р. если этого потребует покупатель, за что получает прибыль, равную опционной премии.

Таким образом, если цена станет ниже 90 руб., колл-опцион исполняться не будет (т.к. его покупатель понесет убытки), а наш инвестор останется с дополнительной прибылью, равной величине опционной премии. Если цена вырастет больше 90р., call-опцион будет предъявлен к исполнению, но т.к. у инвестора уже имелись акции Сбербанка, убытки на срочном рынке будут полностью скомпенсированы прибылью, полученной на спотовом рынке, в результате чего инвестор окажется в нуле. В целом тандем из рассмотренных позиций образует синтетический пут (рис. 2).

Пример №3. Покупка опциона-call

Преследуя цель застраховать позицию также от падения стоимости акций, инвестор может продать акции и одновременно купить опцион-колл. Если в будущем рыночный курс бумаг снизится, игрок купит их на спот-рынке по более дешевой цене, при этом опцион исполнять не будет.

Если же курс вырастет и превысит цену исполнения опциона, то инвестор исполнит его и получит акции по той цене, которую зафиксировал в момент покупки опциона. Такое хеджирование опционами позволяет обойти риск, связанный с возможным снижением стоимости базового актива.

Пример №4. Продажа опциона-put

Инвестор ожидает поступления некой суммы денег на свой счет, эти средства он планирует вложить в акции компании ЛУКОЙЛ. Однако опасается того, что курс акций может вырасти, что позволит ему купить меньшее количество акций на ту же самую сумму. Чтобы устранить неопределенность, он решает произвести хеджирование опционами и продает put-опцион.

Таким образом, в случае снижения курса ЛУКОЙЛа инвестор будет обязан исполнить обязательства по контракту, по которому выкупит у контрагента акции по цене, по которой и запланировал заранее. В случае роста курсовой стоимости ЛУКОЙЛа опцион не будет предъявлен к исполнению, а в распоряжении инвестора появится дополнительная прибыль в виде опционной премии.

Пример №5. Приобретение опциона колл

Игрок ожидает в будущем поступления денег на счет, которые планирует потратить на покупку акций ГАЗПРОМа. Чтобы избежать роста стоимости акций, вследствие чего он сможет купить меньшее количество бумаг, чем сейчас, инвестор осуществляет хеджирование опционами, для чего приобретает колл-опцион. В данном случае цена страхования будет равна опционной премии.

Так, если цена вырастет, игрок воспользуется правом по опциону и выкупит акции по контракту по заранее известной цене. Если же цена упадет, то опцион он исполнять не станет, а приобретет большее количество акций на стоп-рынке.

Выбирая хеджирование опционами из трех альтернативных стратегий (примеры 1, 2, 3), целесообразно заранее просчитать расходы, связанные с каждым конкретным вариантом, после чего выбрать самую дешевую из них. При этом важно просчитать расходы, связанные с покупкой или продажей опционного контракта, а также оценить ставку альтернативного безрискового вложения средств, после чего выявить, насколько оправдано хеджирование опционами.

Источник

Динамическое хеджирование опционов

Опционы — за чей счет этот банкет?

В комментариях к нашему видео про опционы достаточно быстро возник вопрос «За чей счёт этот банкет?»

Если мы говорим про биржевой рынок, то можно сказать, что в каждой относительно удачной покупке есть второй участник сделки, который совершил относительно неудачную продажу. И на этом вопрос о том, «за чей счёт», можно считать закрытым.

Но вполне реальной является ситуация, когда одна сторона покупает или продает опцион в надежде получить прибыль от реализовавшегося курса базового актива, а другая сторона занимается динамическим управлением риска (что именно это означает, мы поговорим ниже).

Мы увидим, что обе стороны одной и той же сделки могут оказаться в плюсе. Такие сделки весьма типичны для внебиржевого (OTC) рынка. Происходит это за счёт специальной работы по динамическому управлению рисками, которую берет на себя одна из сторон сделки.

«Динамизм собаки на поводке». Джáкомо Ба́лла, 1912

(Базовую терминологию про опционы можно посмотреть в другой моей статье на Хабре: «Что такое опционы и кому это нужно»)

На OTC-рынке с одной стороны есть маркетмейкер — финансовая организация с соответствующей лицензией, с другой стороны есть клиенты, которые приходят к маркетмейкеру с запросами на квоты на различные опционы. В запросе не указывается, что именно хочет сделать клиент — купить или продать, маркетмейкер в ответ предоставляет цены покупки/продажи. Если клиенту нравится та цена, которая его интересует, то он сделку заключает.

Так работает любой OTC-рынок. В частности, OTC-рынок опционов.

Но как может быть такое, что обе стороны сделки окажутся в плюсе? И за чей счёт тогда банкет?

С одной стороны, понятно, что выплата по опциону определяется условием контракта и реализовавшимися условиями, и для одной стороны она будет со знаком плюс, для другой — со знаком минус. Ещё есть премия. Но тут тоже всё привычно: одна сторона платит премию, другая ее получает. Как может получится, что обе стороны сделки окажутся в плюсе?

Но с другой стороны, если бы бизнес маркетмейкера сводился к надежде на то, что клиенты в большинстве случаев ошибутся с выбором опциона, то, наверное, маркетмейкеры на OTC-опционном рынке быстро бы закончились. Ведь время заключения, параметры и стороны сделки каждый раз выбирает клиент. Внебиржевой рынок опционов не смог бы развиться до сегодняшних размеров.

Дело тут в том, что маркетмейкер, заключив сделку, не будет пассивно ждать того, что же случится на момент исполнения опциона. Обычная стратегия маркетмейкера не просто купить-и-держать, а динамически хеджировать свою позицию. В идеале это позволяет реплицировать нужную выплату вне зависимости от того, как реализуется курс базового актива от заключения сделки до момента исполнения опциона. Именно наличие такой идеи и позволяет существовать и развиваться рынку опционов.

Репликация выплаты динамическим хеджированием: алгоритм

Рассмотрим общую идея динамической репликации. Мы ведем портфель активов, куда будут входить три позиции: (1:option) собственно опцион, (2:underlying) позиция по базовому активу и (3:money) некоторое количество денег.

В портфеле все позиции могут быть как со знаком плюс, так и со знаком минус. Для опциона плюс означает, что мы купили опцион, а минус — то, что мы его продали и взяли на себя обязательства. Для позиции по базовому активу (2) минус означает короткие продажи. Для позиции (3): плюс — это количество денег у нас на счету, минус — это наш долг. Или это может быть покупка/продажа бондов. В любом случае считается, что и на положительную, и на отрицательную позиции в деньгах начисляются проценты в соответствии с некоторой фиксированной ставкой и непрерывным начислением процентов.

При этом позиция (2:underlying) является функциями от текущей цены опциона. Позиция (3:money) будет накапливать прибыли и убытки на поддержание позиции (2). Т.к. текущая цена опциона меняется со временем, и мы должны, скажем, с некоторым шагом по времени перебалансировать наш портфель, точнее позицию (2). В теоретическом анализе мы захотим, конечно, устремитьк нулю, на практике это будут вполне себе не нулевые интервалы. Например, один день.

Чуть подробнее о перебалансировке. В самом начале построения портфеля и на каждом шаге ребалансировки мы считаем некоторую функциюот текущей цены опциона, вычитаем количество базового актива, который у нас уже есть в позиции (2), понимаем, сколько нужно докупить или продать. Например, нужно докупить. Тогда берем деньги из позиции (3:money); если денег не хватает, то берем в долг. Записываем эту сумму с минусом на позицию (3). Если нужно базовый актив продать, то продаем, при этом если у нас нет нужного количества актива на балансе, то используем короткие продажи. При этом на позицию (2) записываем проданное количество актива с минусом, а полученные деньги прибавляются к позиции (3:money).

Очевидно, что магическая функцияиграет ключевую роль в этом построении, а что это за функция, мы скажем ниже.

В момент исполнения опциона (1) мы закрываем позицию (2:underlying). Прибыль или убыток от этого записываем на баланс позиции (3:money). Тут может быть убыток, если баланс на позиции (2) отрицательный. Это означает, что у нас есть долг по короткой позиции и нам нужно выкупить на рынке какое-то количество базового актива по текущей рыночной цене, чтобы эту короткую позицию закрыть.

Таким образом на последнем шаге мы соберем прибыли и убытки от ребалансирования позиций (2:underlying) за время жизни опциона, в виде некоторой суммы денег или долга на балансе позиции (3:money).

Такой вот нехитрый алгоритм.

Превращаем случайный процесс в заданную функции выплаты

Визуализировать это можно так. В момент заключения опционного контракта цена базового актива известна и равна . Опцион исполняется в момент времени , цена базового актива за это время может реализовать разные пути. На графике на рисунке 1 есть несколько примеров того, какие пути эта случайная величина может пройти. Пути 1 и 2 заканчиваются в точке , а пути 3 и 4 — в точке . Результаты работы стратегии нарисованы на точечной диаграмме на рисунке 2. График в координатах (спот на момент времении суммарная выплата стратегии). Один путь на рисунке 1 дает одну точку на рисунке 2.

Смысл динамического хеджирования в том, что если правильно выбрать функцию, определяющую позицию в базовом активе (2), то окажется так, что в момент исполнения опциона сумма на балансе в позиции (3) и выплата по опциону (1) равны константе. Вне зависимости от того, как реализовался путь курса базового актива. И в итоге стоимость всего портфеля на момент исполнения опциона будет равна этой константе. Это и будет размер честной премии за опцион.

Если выплата по опциону зависит только от курса базового актива на момент исполнения, как в случае ванильного европейского опциона, то и сумма итогового на баланса позиции (3:money) тоже будет определятся только значением и не будет зависеть от всего предыдущего пути. Т.е. все пути, у которых конечная точка одинаковая, дадут один результат, как на рисунке для путей 1 и 2. В данном случае точку . Такого, как нарисовано для результатов путей 3 и 4, когда результат стратегии зависит от реализовавшегося пути спота, не случится.

Если сделать симуляцию многих возможных путей для курса базового актива и посчитать для них итоговый результат в позиции (3:money), то получится ровно выплата по опциону плюс какая-то константа.

Например, маркетмейкер продал европейский колл-опцион. Опцион в позиции (1) будет со знаком минус. Знак премии положительный, нам заплатили за опцион. Результат такой симуляции дает диаграмму, как на рисунке 3. Видно, что сложив этот результат с выплатой по опциону (он у нас со знаком минус, при больших значениях спота мы платим), мы получим отрицательную константу. Если исходить из того, что рациональные агенты, в рамках этой модели, все придут к этому результату, то они все согласятся с тем, что по модулю эта разница должна быть равна премии опциона, дисконтированной на момент исполнения. Только при таком значении премии опциона применение стратегии дельта хеджирования не дает арбитражных возможностей.

Рис. 3

Т.е. динамическое хеджирование обеспечит маркетмейкеру то, что на момент экспирации опциона у него всегда будет ровно сумма для выплаты своих обязательств по опциону. Это позволяет вычислить честный размер премии, т.е. именно такую премию за опцион, при которой прибыли/убытки маркетмейкера всегда сойдутся в ноль. Это будет честная цена опциона. Если прибавить к этой цене бид/аск спред, то получаем цены покупки/продажи, которые маркетмейкер может спокойно озвучить клиентам. И прибыль маркетмейкера не будет уже зависеть от того, какую сторону сделки выбирает клиент и что произойдет с курсом базового актива.

Почему всё так подозрительно хорошо?

С математической точки зрения суть такого построения портфеля в том, что и неопределенность в цене базового актива, и неопределенность в цене опциона имеют одну и ту же природу. Они обе завязаны на одну и ту же случайную переменную. Поэтому, складывая опцион с некоторым количеством базового актива в один портфель, можно подобрать это количество так, чтобы эта случайная величина в сумме сократилась. То есть на малых масштабах времени, порядка , мы избавляемся от случайного фактора в этом портфеле.

Выглядит слишком подозрительно хорошо, чтобы быть правдой? Конечно, математическая модель — это одно, а реальность может быть гораздо сложнее. К этому мы еще вернёмся.

Но пока посмотрим на модель, в которой результат работы стратегии динамического хеджирования строго равен выплате опциона плюс премия, в независимости от пути спота и того, как устроена выплата по опциону. Посмотрим, какие упрощения и предположения делает такая модель.

Модель Блэка — Шоулза — Мертона

Самая известная такая модель — это модель Блэка — Шоулза. Именно в предположениях этой модели сделан расчет для рисунка 3.

Предположения используются такие:

Неизвестная нам цена базового актива в будущем подчиняется известному нам уравнению (геометрического броуновского движения) с известным параметром волатильности .

Безрисковая процентная ставка постоянна и тоже нам известна. И для расчетов мы используем непрерывное начисление процентов.

Базовый актив не выплачивает дивидендов. Этот пункт можно ослабить, заменив предположением, что выплата дивидендов происходит непрерывно с известной ставкой и непрерывным начислением процентов.

Имеется возможность брать в долг или размещать деньги под безрисковую процентную ставку в любых объёмах. Включая дробные номиналы и большие суммы.

Идеальный источник ликвидности по базовому активу. Можно продавать и брать взаймы (короткие продажи) любые номиналы этого актива.

Пренебрегаем транзакционными издержками, в том числе наличием на рынке спреда между ценами покупки и продажи. Для расчетов берем mid price, т.е. среднюю цену между ценами покупки и продажи.

Принципиально важным предположением является отсутствия на рынке арбитража. Это нужно понимать в том смысле, что отсутствует возможность получить прибыль без риска.

Если внимательно посмотреть на эти предположения, то почти все они уже использованы в описании алгоритма. Кроме предположения о том, каким именно уравнением описывается случайный процесс цены базового актива. Это нам нужно, во-первых, для того чтобы можно было бы генерировать симуляции возможных реализаций этого процесса. И во-вторых, это позволяет
сформулировать и решить математическую задачу. См., например, wikipedia и [3, Сh 15]. И найти формулу для вычисления магической функции, согласно которой мы будем перебаланировать позицию в базовом активе (2:underlying). Ту самую магическую функцию .

Искомая формула находится как взятая с обратным знаком частная производная цены опциона по текущей цене базового актива. , тут это цена опциона. Производную называют дельтой опциона. И поэтому такая динамическая стратегия называется дельта-хеджированием (delta hedging).

Можно проследить за математическими выкладками в доказательстве по ссылкам выше. Можно также провести численный эксперимент и получить график типа того, что на рисунке 3. Это тоже неплохой вариант понять получше, как работает модель.

Еще немного подробнее про условие отсутствие арбитража

Условие отсутствие арбитража важное и не совсем тривиальное. Стоит сказать про него чуть подробнее.

Арбитражем будет, например, если один маркетмейкер продает какой-то актив по 100, а другой покупает по 110. Можно купить в одном месте и сразу продать в другом. Получаем прибыль без риска.

Аналогично, если на одном на рынке есть несколько активов, чьи цены между собой связаны, то арбитражем будет возможность составить какую-то стратегию торговли этими активами, которая бы давала прибыль хотя бы при некоторых возможных вариантах развития событий, но гарантированно при этом никогда, ни при каких обстоятельствах, не приносила убытков.

Т.е. условие отсутствия арбитража — это про то, что мы предполагаем: цены на связанные друг с другом активы являются сбалансированными (с точки зрения рационального наблюдателя с полной информацией).

Очевидно, что стратегия дельта-хеджирования является торговой стратегией, которая использует два связанных актива — опцион и курс базового актива. И при этом суммарная выплата по стратегии равно константе, которую мы назвали честной ценой опциона. Т.к. в рамках модели все рациональные участники рынка придут к такому же выводу, то они согласятся с тем, что цена опциона должна быть именно такой. Премия, полученная за опцион в момент заключения контракта и размещенная на вкладе с безрисковой процентной ставкой, должна на момент исполнения опциона дать такой же доход, как и выплата по стратегии динамического хеджирования.

Если цена опциона от этого уровня отклонится, то рациональные участники рынка с полной информацией увидят возможность заработать и создадут дополнительный спрос, который подвинет цену обратно, по равновесный уровень. Например, если цена опционов больше расчетной, то можно продать опцион, заняться его дельта-хеджированием и получить гарантированную прибыль. Значит, предложений станет больше и цена опциона снизится.

Что же происходит в реальности?

Но если предположения этой модели реальному миру не соответствуют, то имеет ли тогда всё это практический смысл? Как ни странно, да, имеет.

На самом деле не так редко встречается ситуация, когда модель делает какие-то предположения, строго реальности не соответствующие, но применение модели к реальности, тем не менее, имеет практический смысл. И даже если получаемые результаты не могут быть названы точными в строгом математическом смысле, тем не менее точности достаточно для применения в инженерной работы в приложениях. В таком случае можно сказать, что «произошла та нередкая в математической физике вещь, когда формула оказалась умнее тех предпосылок, из которых она выведена» [1, глава 14].

Но в данном случае правильнее говорить не о формуле, а об идее. Идея динамического хеджирования в некотором плане связывает мир академической науки и мир реальной торговли опционами.

Для фундаментальной математики это один из поводов развития теории мартингалов, статистических дифференциальных уравнений и т.д. Прикладная финансовая математика, в свою очередь имея эти средства, может строить модели для ценообразования сложных финансовых инструментов. Расширять эти модели для описания более сложной реальности.

С точки зрения математического моделирования безарбитражность рынка эквивалентна наличию мартингальной вероятностной меры эта же мера называется риск-нейтральной мерой. Это такая вероятностная мера, считая математические ожидания, в которой можно вычислять цены финансовых активов. А математическое определение арбитража основывается на невозможности построить торговую стратегию, которая избавляется от риска и приносит прибыль больше безрисковой ставки.

С другой стороны, эта идея динамической ребалансировки портфеля с целью избавления от риска и фиксации полученной прибыли очень хорошо была воспринята опционным бизнесом. Сегодня это стандартный подход, на котором основан рынок опционов, да и других деривативных продуктов.

Конечно, практическая реализация идеи динамического хеджирования опционов заметно сложнее. Но дельта-хеджирование является обязательной её частью. Отличие дельта-хеджирования на практике состоит в том, что вы, скорее всего, не захотите считать вашу дельту по модели Блэка — Шоулза.

На практике сегодня не существует одного значения волатильности , который мог бы дать правильные цены всех ванильных опционов на рынке для заданного базового актива. Для разных значений времени экспаири опциона и страйка опциона рыночные цены опционов дают разные значения волатильности: . Это существенное отклонение от предположений модели Блэка — Шоулза. Тут говорят о поверхности волатильности или об улыбке волатильности: в случае фиксированного экспаири график зависимости часто выглядит как улыбка, иногда — как перекошенная улыбка.

Для того что бы учесть это свойство реальных рынков, нужны более сложные модели. Как строятся такие модели, в этой статье мы рассматривать не будем. Это отдельная большая тема, и на этот счёт много литературы, например [2].

Имея такую модель, маркетмейкер может посчитать дельту и другие риски по всем опционам, которые у него есть. Управление этими рисками, то есть их хеджирование, и есть работа маркетмейкера. Кроме дельты есть еще и другие риски, за которыми нужно следить. Например, риск, связанный с изменением рыночных котировок волатильности (вега), или риск, связанный с изменением процентных ставок в будущем (ро). С математической точки зрения принцип их расчета очень похож: считается частная производная от цены опциона по одному из параметров, от которых эта цена зависит. Управление этими рисками тоже устроено похоже: нужно купить или продать какие-то активы, желательно более простые и ликвидные, так чтобы суммарный риск у портфеля уменьшился.

Несмотря на все сложности, которые приходится решать при реализации динамического хеджирования опционов на практике, в целом этот подход работает. Таким образом, действительно, доходность опциона для маркетмейкера, который занимается хеджированием, и для клиента, который купил его как страховку или как спекулятивную стратегию на курс базового актива, зависит от разных факторов. И ситуация, когда обе стороны сделки окажутся в плюсе, вполне реальная.

Список литературы

[1] В.Н. Тутубалин. Эконометрика: образование, которого нам не нужно. ФАЗИС Москва, 2004.
[2] Emanuel Derman и Michael B. Miller. The Volatility Smile. Wiley, 2016.
[3] John C Hull. Options, Futures, and Other Derivatives. 9th edition. Pearson, 2015.

Источник