Что математика это вершина знания и все эмпирические данные должны обрабатываться математически

Эмпиризм математический

Открытие парадоксов в теории множеств в начале XX в. и провал программ обоснования математики способствовали возрождению эмпирических тенденций в философии математики. Последовательное философское обоснование эмпирического воззрения на математику дано в работах И. Лакатоса, Л. Кальмара, М. Клайна, Ф. Китчера и ряда других современных философов и математиков. Э.м. XX в. имеет существенно иной характер, чем Э.м. Аристотеля или Милля. В нем внимание акцентируется скорее на методе, чем на предмете математики. Современные эмпирицисты не настаивают на оправдании всех математических теорий на основе опыта, они допускают существование внутренних понятий и теорий математики, не имеющих коррелятов в мире опыта, а также и наличие в основаниях математики утверждений, имеющих истинность иной

природы, чем истинность опыта. Они продолжают считать, однако, что исходные представления математики в конечном итоге имеют опытную основу, что логические принципы выработаны на основе опыта и что эмпирические по своему происхождению и корректируемые опытом представления неустранимы из процесса математического рассуждения. Последовательное проведение такой установки приводит к отказу от окончательной строгости математических доказательств и от возможности полного внутреннего обоснования математического знания в целом. Математика при таком подходе оказывается не особой наукой, стоящей нал опытными науками, а скорее частью абстрактного теоретического знания, подверженного ошибкам и обоснованного не в большей мере, чем эмпирическое знание вообще. Современный Э.м. можно назвать методологическим, поскольку в его основе лежит стремление к отождествлению математики и опытного знания на единой методологической основе.

Литература:

Аристотель. Метафизика. Кн. XIII;

Милль Дж.Ст. Основы логики индуктивной и силлогистической. М., 1914;

Lacatos I. A renaissance of empiricism in the contemporary philosophy of mathematics // British Journal for the Pilosophy of Science. 1976. Vol.27;

Kitcher Ph. Mathematical naturalism /History and Philosophy of modern mathematics. Minneapolis University press, 1987;

Клайн M. Математика. Утрата определенности. M., 1984.

Словарь философских терминов. Научная редакция профессора В.Г. Кузнецова. М., ИНФРА-М, 2007, с. 700-701.

Источник

Философия математики

«Математика — это язык, на котором написана книга природы»(Г. Галилей)
«Математика – это наука о необходимых заключениях»(Б. Пирс)
«Математика – это строгий язык, служащий для перехода от одних опытных суждений, к другим»(Н. Бор)
«Математика – это иерархия формальных структур»(Н. Бурбаки)
«Математика — это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира»(А. Колмогоров)

— это лишь малая часть суждений, показывающая разнородность представлений о математике. Помимо вопроса определения математики, интересными и дискуссионными являются вопросы о её природе(основаниях), её методологии, целях и связи с реальным миром. Ответы на них также неоднозначны и значительно изменялись со временем, создавая различные философские течения.

Первым этапом становления математики как отдельной науки стала идея доказательства, дедуктивного вывода, основоположниками которой были древнегреческие математики. Появление математики как систематической науки сильнейшим образом повлияло на философское мышление того времени, что отразилось в мистификации математики в учениях Пифагора. Пифагореизм можно считать первым философским течением об основании математики, полно выражающемся в тезисе Пифагора «всё есть число». Пифагорейцы считали математику началом всех начал, основой всего сущего. Математические истины они считали врождёнными, полученными душой в более совершенном мире – мире идей.

Следующей значительной эпохой в развитии математики стал период «возрождения». С новыми потребностями науки, в первую очередь механики, появились новые идеи, которые сейчас относятся к дифференциальному и интегральному исчислению. Математика стала рассматриваться как знание вторичное, опытное, зависящее от некоторых внешних реальностей. Эта эпоха сопровождалась вторым кризисом математики, а именно отсутствием «строгости древних» в обосновании дифференциального исчисления. На практике, оно давало результаты, но использование актуальных бесконечно малых в доказательствах было слишком эвристичным. В частности, Лейбниц, для обоснования дифференциального исчисления, вводил противоречивое понятие «неархимедовой величины». В отсутствии строгого обоснования, стали образовываться различные метафизические и натурфилософские объяснения дифференциала.

Следующий этап индуцировали неевклидовы геометрии(третий кризис математики). Несоотносимые с реальным миром, они стали ударом по классическому эмпиризму прошлой эпохи. Неевклидовы геометрии стали предметом бурных дискуссий и долго не принимались многими математиками, однако именно они послужили точкой бифуркации в развитии математики, создав абсолютно новый взгляд на неё. Теперь наиболее важным признаком математической теории стала непротиворечивость, а не соотнесение с опытом. Хотя поначалу были попытки метафизического объяснения неевклидовых геометрий, позже, во многом силами Пуанкаре, Дедекинда, Кантора, Гильберта, была признана равноправность математических объектов связанных и не связанных с опытом и интуицией. Такое видение математики нашло своё отражение во всей последующей её философии.

Различные философско-математические течения отличаются в основном методами обоснования математики. Одним из таких течений является логицизм, появившийся в духе развития формальной математической логики. Его основной задачей была попытка свести основу математики – арифметику к логическим тавтологиям. Её апологет Г.Фреге не сомневался в том, что логика даёт достаточную базу для выяснения истинного смысла всех математических понятий. Однако оказалось, что логические обоснования если даже и не ведут к парадоксам, то всё же необходимо должны привлекать дополнительные предположения, находящиеся вне законов логики. В идее логического обоснования математики лежали, в первую очередь, идеи об особенности логики(формальной логики), её первичности, однако, это утверждение является достаточно сомнительным. Пуанкаре охарактеризовал логицизм как «безнадёжную попытку свести бесконечное к конечному».

Другим течением стал интуиционизм. Его основным пунктом стала вера в то, что некоторые объекты математики безусловно ясны, и оперирование с ними не может привести к противоречию. Появившись в большой мере как противовес логицизму, он по сути являлся лишь модификацией эмпиризма. Отказываясь от многих полученных раньше принципов, он существенно обеднил математику, что послужило одной из причин отказа от него.

На основе критического пересмотра всех полученных к тому времени программ обоснования математики, Гильберт предложил свой путь, который стал известен как формализм. Основная философская предпосылка этого течения заключалась в том, что обоснование математики есть лишь обоснование её непротиворечивости. Процедура обоснования, предложенная Гильбертом, состояла, во-первых, в формализации теории в символьном виде схемы аксиом и правил вывода, и во-вторых, в доказательстве её непротиворечивости исходя только из её формальной структуры. Однако и это течение оказалось несостоятельным. Две теоремы математической логики Курта Гёделя совершили переворот в обосновании математики. В частности, вторая теорема гласит, что доказательство непротиворечивости любой достаточно богатой формальной теории невозможно средствами самой этой теории, что делает невозможным процедуру обоснования Гильберта. Таким образом любая формальная теория может быть обоснована только лишь другой теорией, что приводит к обязательному существованию необоснованной теории или замкнутого круга теорий, обосновывающих друг друга.

Итак, проблема обоснования математики, поиска её природы остаётся открытой. На мой субъективный взгляд ответ может быть таким: математическая теория остаётся верной, пока она видится непротиворечивой для людей, верной в соответствии с нашим мышлением, нашей логикой(что-то вроде антропного принципа, схоже с основой теории ценности Карла Менгера). Таким образом остаётся вопрос о том, что же такое человеческое мышление и логика, какова их природа. На этот вопрос философия также давно ищет ответ. Были и эмпиристические идеи, согласно которым наше мышление формируется посредством опыта, и близкие к ним праксиологические, рассматривающие мышление как некоторую нейросеть, обучающуюся на своих действиях, и, назовём их так, сакраментальные, например, представляющие мир идей как некоторое отдельное пространство. Главная особенность изложенного выше подхода к обоснованию математики, состоит в том, что принимая такой принцип, мы можем абстрагироваться от вопроса обоснования, и решать уже только проблему природы человеческой мысли и логики. (хотя ответ мы возможно никогда не найдём, ведь несмотря на отличающее нас свойство рефлексии, вполне вероятно, что познать самих себя не представляется возможным)

Источник

Математические основы психологии (стр. 9 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

fm2 для второй школы = 0,33 • 87 = 28,71

Иными словами, из первой школы не должны были посту­пить в вуз 33 человека, а из второй 28,71. (Для большей точности вычислений по методу хи-квадрат желательно не округлять ре­зультаты вычислений, а сохранять сотые и даже тысячные зна­чения после запятой). Исходя из вновь полученных «теоретичес­ких» частот — 33 и 28,71, мы можем произвести расчет того, сколько учащихся должны были бы теперь поступить в вуз из первой и второй школ. Обозначим эти частоты как для первой и fm4 для второй школ, получим соответственно:

fm3 для первой школы = 67

для второй школы,71 = 58,29

Перепишем полученные «теоретические» частоты в новую таблицу 8.7

Теперь величина хи-квадрат эмпирическая подсчитывается по знакомой формуле (8.1). Для этого из величин, представленных в ячейках таблицы 8.6 вычитаются соответствующие величины, представленные в ячейках таблицы 8.7:

Полученная величина попала в зону значимости. Иными словами, следует принять гипотезу Н1 о наличии различий меж­ду двумя эмпирическими распределениями. Таким образом, уро­вень подготовленности учащихся в двух школах оказался разным. На основе эмпирических данных мы можем теперь утверждать, что уровень подготовленности учащихся в первой школе суще­ственно выше, чем во второй. Без использования критерия хи-квадрат такого вывода мы сделать бы не могли.

Решим аналогичную задачу, т. е. задачу в которой сравнива­ются две выборки, имеющие по два значения, но другим спосо­бом.

Задача 8.6. В двух школах района психолог выяснял мнения учителей об

организации психологической службы в школе. В первой школе было опрошено 20 учите­лей, во второй 15. Психолога интересовал вопрос: в какой школе психологическая служба поставлена лучше? Учителя давали ответы по номинативной шкале — нравится (да), не нравится — (нет).

Решение. Результаты опроса представим в виде четырех­польной таблицы 8.8:

Величина эмпирического значения хм-квадрат подсчитывается здесь по-другому, согласно следующей формуле:

где N = А + В + С + D — или общее число учителей, приняв­ших участие в опросе.

Подставляем исходные данные в формулу (8.6) получаем:

Полученная величина попала в зону незначимости. Ины­ми словами, следует принять гипотезу Но об отсутствии разли­чий между двумя эмпирическими распределениями. Таким обра­зом, уровень организации психологической службы в обоих школах оказался одинаковым.

Теперь решим задачу, в которой сравниваются две выборки, имеющие по четыре значения каждая.

Задача 8.7. В двух школах района выяснялась успешность зна­ния алгебры учащимися десятых классов. Для это­го в обеих школах были случайным образом ото­браны 50 учащихся и с ними проведены конт­рольные работы. Проверялось предположение о том, что существенной разницы в уровне знаний учащимися алгебры в двух школах не существует.

Решение. Результаты контрольных работ представим сразу в виде таблицы:

В таблице 8.9 — число учащихся первой школы, получив­ших оценку 2 в контрольной работе по алгебре, — число уча­щихся первой школы, получивших оценку 3 в контрольной ра­боте по алгебре, — число учащихся первой школы, получив­ших оценку 4 в контрольной работе по алгебре и т. д.

Подчеркнем, что «визуальный» анализ данных таблицы 8.9 по­казывает, что во второй школе число «двоечников» в три раза боль­ше, чем в первой, и, наряду с этим, число «отличников» в два раза меньше, чем в первой школе. Казалось бы, можно сделать вывод о том, что вторая школа показывает существенно худшие результаты, чем первая. Однако подобные утверждения можно делать только на основе статистической обработки экспериментальных данных.

В общем случае для подобных задач подсчет эмпирического значения хи-квадрат осуществляется по формуле (8.7), являю­щейся модификацией формулы (8.2):

(8.7)

В общем случае для подобных задач подсчет эмпирического значения хи-квадрат осуществляется по формуле (8.7), являю­щейся модификацией формулы (8.2):

Подставим данные нашего примера в формулу (8.7), получим:

Число степеней свободы в данном случае равно

Полученные различия попали в зону незначимости. Иными словами следует принять нулевую гипотезу Но о сходстве или о том, что уровень знания учащимися алгебры в двух разных шко­лах статистически значимо не отличается между собой. Выше, при простом визуальном анализе экспериментальных данных мы высказывали предположение, что во второй школе успеваемость учащихся по алгебре существенно хуже, чем в первой, однако, критерий хи-квадрат показал, что это далеко не так.

Задачи, аналогичные рассмотренной выше, т. е. с большим числом значений в сравниваемых выборках можно решить и дру­гим способом, используя хорошо знакомую нам формулу (8.1). Рассмотрим этот способ на примере решения задачи 8.8.

Задача 8.8. Каково сходство в степени удовлетворенности ра­ботой на одном предприятии у двух неравных по численности групп? (Можно рассматривать эту задачу как продолжение задачи 8.3).

Решение. Для решения этой задачи психолог провел на том же предприятии (как в задаче 8.3) опрос о сте­пени удовлетворенности работой еще в одной группе, но уже из 80 респондентов. Теперь у пси­холога есть две выборки испытуемых, первая — 65 человек и вторая — 80 человек. Полученные данные позволяют использовать критерий хи-квадрат по разному:

• во-первых, на новой выборке из 80 респондентовможно решить задачу, аналогичную задаче 8.3;

• во вторых, объединив две выборки можно опять решить задачу, аналогичную задаче 8.3;

• в третьих, можно сравнить распределения вы­бора альтернатив двух выборок (первой и вто­рой), т. е. сравнить степень удовлетворенности работой двух групп респондентов и решить не­обходимую нам задачу 8.8.

Для решения задачи 8.8 на основе знания эмпирических час­тот первого и второго обследований, необходимо вычислить «теоретические» частоты по всей совокупности данных, поскольку в противном случае невозможно будет применить формулу (8.1).

Это осуществляется следующим образом: сумма эмпиричес­ких частот

65 + 80 = 145 равна общему количеству респондентов, опрошенных психологом.

Представим долю частот первой выборки в виде дроби: 65/145=0,45. Представим долю частот второй выборки также в виде дроби: 80/145=0,55.

Особо подчеркнем, что «теоретические» частоты необходимо рассчитать для каждой альтернативы (вариантов ответов) от­дельно для обоих выборок.

Для этого по каждой альтернативе суммируем эмпирические частоты первой и второй выборок. Поскольку, для первой аль­тернативы в первой выборке , а во второй выборке , то их сумма будет равна 8 + 18 = 26. Для второй альтернативы в первой выборк, а во второй тогда их сумма равня­ется 22 + 20 = 42. И так далее для каждой альтернативы.

«Теоретическая» частота каждого варианта ответа в обоих вы­борках получается как результат умножения суммы эмпиричес­ких частот на соответствующую процентную долю, представлен­ную в виде десятичной дроби.

Поскольку частоты выбора первого варианта ответа (альтернативы) составляют в обеих выборках 8 + 18 = 26, то

fm для 1-й выборки = 26 0,45 = 11,7

fm для 2-й выборки = 26 ■ 0,55 = 14,3.

Поскольку частоты выбора второго варианта ответа (альтернативы) составляют в обеих выборках 20 + 22 = 42, поэтому:

fm для 1-й выборки = 42 • 0,45 = 18,9

fm для 2-й выборки = 42 • 0,55 = 23,1j

Поскольку частоты выбора третьего варианта ответа (альтер­нативы) составляют в обеих выборках 18 + 14 = 32, поэтому:

fm для 1-й выборки = 32 • 0,45 = 14,4

fm для 2-й выборки = 32 0,55 = 17,6.

Поскольку частоты выбора четвертого варианта ответа (аль­тернативы) составляют в обеих выборках 11 + 9 = 20, поэтому:

fm для 1-й выборки = 20 • 0,45 = 9

для 2-й выборки = 20 ■ 0,55 =11.

Поскольку частоты выбора пятого варианта ответа (альтерна­тивы) составляют в обеих выборках 13 + 12 = 25, поэтому:

fm для 1-й выборки = 25 • 0,45 = 11,25

fm для 2-й выборки = 25 • 0,55 = 13,75.

Следует помнить, что суммы рассчитанных «теоретических» частот по каждой альтернативе, должны совпадать с суммой эмпирических частот по этой же альтернативе. Проверим пра­вильность этого положения для рассчитанных «теоретических» частот:

Для первого варианта ответа 11,7 + 14,3 = 26 = 8 + 18

Для второго варианта ответа 18,9 + 23,1 = 42 = 22 + 20

Для третьего варианта ответа 14,4 + 17,6 = 32 = 14 + 18

Для четвертого варианта ответа 9 + 11 = 20 = 9+ 11

Для пятого варианта ответа 11,25 + 13,75 = 25 = 12 + 13

Теперь, для того чтобы использовать формулу (8.1), нужно объединить полученные эмпирические и «теоретические» часто­ты двух выборок в стандартную таблицу 8.10. Поскольку сравни­ваются только две выборки, то вместо одной альтернативы в таблице 8.10 будет две альтернативы под номерами 1.1 и 1.2 — это соответственно две первые альтернативы для первой и для второй выборки и так далее:

В нашем случае к = 5, с = 2, следовательно v = (5 — 1) • (2 — 1) = 4.

По таблице 12 Приложения 1 находим:

Полученные различия попали в зону незначимости. Т. е. сле­дует принять нулевую гипотезу Но о сходстве. Иными словами, распределения двух выборок значимо не отличаются между со­бой, и, следовательно, у двух групп опрошенных респондентов отсутствуют предпочтения в выборе удовлетворенности или не­удовлетворенности работой.

Число переменных в сравниваемых выборках может быть до­статочно большим. В этом случае целесообразно использовать специальный прием группировки значений по интервалам. Чис­ло интервалов удобнее всего получать, используя таблицу 8.11.

В двух следующих задачах сравниваются две выборки, в кото­рых значений переменных столь много, что предыдущие спосо­бы сравнения оказываются трудновыполнимыми.

Задача 8.9. Психолог сравнивает два эмпирических распреде­ления, в каждом из которых было обследовано 200 человек по тесту интеллекта. Вопрос: различа­ются ли между собой эти два распределения?

Решение Представим эмпирические данные в виде таблицы 8.12, в которой приведены также предварительные расчеты, необходимые для получения

Для случая равенства числа испытуемых в первой и второй выборках расчет производится по формуле (8.8):

Где частоты первого распределения, а — частоты второго. N — число элементов в каждой выборке. В нашем случае в каждой из выборок оно равно 200.

Произведем расчет по формуле (8.8), основываясь на резуль­татах таблицы 8.12:

Полученные различия попали в зону неопределенности. Пси­холог может как принять, так и отклонить гипотезу Но.

Рассмотрим еще одну аналогичную задачу, в которой число значений в каждой из выборок различно. В этом случае использу­ют другую формулу расчета.

3 а д а ч а 8.10. Психолог сравнивает два эмпирических распреде­ления, в каждом из которых было обследовано по тесту интеллекта разное количество испытуе­мых. Вопрос — различаются ли между собой эти два распределения?

Решение. Представим эмпирические данные сразу в виде таб­лицы 8.13, отметив при этом, что число градаций IQ увеличилось, в отличие от таблицы 8.12, до 150.

В таблице 8.13 произведены предварительные расчеты, не­обходимые для вычисления эмпирического значения критерия хи-квадрат при условии разного числа испытуемых в первой и второй выборках. В этом случае расчет производится по форму­ле (8.9):

Где частоты первого распределения, — частоты второго. N — сумма числа элементов в первой nl и второй п2 выборках. В на­шем случае оно равно 177 = 124 + 53, а сумма уже подсчитана в нижней строчке последнего столбца таблицы 8.13. Осталось произвести расчет по формуле (8.9.)

Полученная величина эмпирического значения хи-квадрат попала в зону значимости. Иными словами, следует примять ги­потезу Нх о том, что распределения уровней интеллекта в двух неравных по численности выборках статистически значимо отли­чаются между собой.

8.1.3. Использование критерия хи-квадрат для сравнения показателей внутри одной выборки

Критерий хи-квадрат может быть применен и для выявления сходства или различия внутри одной, но численно достаточно большой выборки. В этом случае вычленяются показатели (а их может быть два и больше), по которым и осуществляется сравне­ние. Этот аспект применения критерия хи-квадрат сближает его с коэффициентом корреляции, который также находит степень свя­зи между двумя или большим числом признаков. Различие между этими двумя методами прежде всего в том, что для подсчета ко­эффициента корреляции необходимо знать все величины сравни­ваемых признаков, а для использования критерия хи-квадрат важ­но знать только уровни (градации) сравниваемых признаков.

При сравнении показателей с помощью критерия хи-квадрат нулевая гипотеза Но звучит так: сравниваемые признаки не вли­яют друг на друга. В терминах корреляционных отношений: меж­ду признаками связи нет, корреляция не отличается от нуля.

Соответственно альтернативная гипотеза звучит следую­щим образом: сравниваемые признаки влияют друг на друга. В терминах корреляционных отношений: между признаками связь есть, корреляция значимо отличается от нуля.

В этих случаях применение критерия хи-квадрат основывает­ся на использовании так называемых многопольных таблиц или, как их еще называют, таблиц сопряженности, т. е. таких таблиц, эмпирические данные в которых представлены размерностью большей чем 2×2.

В этом случае расчет эмпирического значения критерия хи-квадрат может осуществляться по следующим двум формулам:

(8.10)

где di разность между эмпирическими и «теоретическими» ча­стотами;

fm. есть вычисленная, или «теоретическая» частота.

где к — число строк многопольной таблицы

т — число столбцов многопольной таблицы

N— общее число значений (элементов) в многопольной таблице, оно всегда является произведением N= к ■ т

— элементы многопольной таблицы

Cj — суммарные значения по строкам многопольной таблицы

— суммарные значения по столбцам многопольной таблицы

Задача 8.11. Влияет ли уровень интеллекта на профессиональ­ные достижения?

Решение. (Первый способ решения по формуле 8.10). Для решения этой задачи 90 человек оценили по сте­пени их профессиональных достижений и по уровню интеллекта. При разбиении на уровни (градации признака) по обоим признакам было взято три уровня. Для показателя профессиональ­ных достижений были получены следующие час­тоты признака: 20 человек с высоким уровнем профессиональных достижений, 40 со средним и 30 с низким. Первая группа составляет 22,2% вы­борки, вторая — 44,4% и третья — 33,3% от всей выборки. При разбиении по уровню интеллекта было взято три равных по численности группы, в каждой по 30 человек: уровень интеллекта ниже среднего, средний и выше среднего. В процентах каждая группа составляет 33,3% от всей выборки. Все эмпирические данные (частоты) представле­ны ниже в таблице 8.14:

Для удобства каждая ячейка таблицы обозначена соответству­ющей латинской буквой: А, В, С и т. д. Таблица 8.14 устроена сле­дующим образом: в ячейку, обозначенную символом А, заносят­ся эмпирические частоты (или число) тех испытуемых, которые одновременно обладают следующей характеристикой: ниже среднего по уровню профессиональных достижений и ниже среднего по интеллекту. Таких испытуемых (эмпирических час­тот) оказалось 20. В ячейку, обозначаемую символом В, заносят­ся эмпирические частоты (или число) тех испытуемых, которые одновременно обладают характеристикой: средние по уровню профессиональных достижений и ниже среднего по интеллекту. Таких испытуемых (эмпирических частот) оказалось 5. В ячейку, обозначенную символом С, заносятся эмпирические частоты (или число) тех испытуемых, которые одновременно обладают характеристикой: выше среднего по уровню профессиональных достижений и ниже среднего по интеллекту. Таких испытуемых (эмпирических частот) оказалось также 5. Заметим, что 20 + 5 + + 5 = 30, т. е. числу испытуемых, имеющих уровень интеллекта ниже среднего. Подобные «разбиения» были проделаны для каж­дой ячейки таблицы 8.14. Подчеркнем, что в круглых скобках в каждой ячейке таблицы представлены вычисленные для этой ячейки «теоретические» частоты.

Покажем, как для каждой ячейки таблицы 8.14 найти соот­ветствующую «теоретическую» частоту. Это делается следующим образом. Для каждого столбца таблицы подсчитываются так на­зываемые «частости» в процентах:

Полученные величины «частостей» дают возможность под­считать «теоретические» частоты для каждой ячейки таблицы 8.14. Они служат основой для подсчета «гипотетических» (а по сути теоретических) частот, т. е. таких частот, которые при за­данном соотношении экспериментальных данных должны были бы быть расположены в соответствующих ячйках таблицы 8.14. (Вспомним решение задачи 8.5).

Согласно этому положению «теоретическая» частота для ячейки А подсчитывается следующим образом. 30 человек имеют уровень интеллекта ниже среднего, поэтому 33,3% от этого чис­ла должны были бы попасть в группу с профессиональными до­стижениями ниже среднего уровня. Находим эту «гипотетическую величину так:

Аналогично «теоретическая» частота для ячейки D считается следующим образом: 30 человек имеют средний уровень интел­лекта, поэтому 33,3% от этого числа должны были бы попасть в группу с профессиональными достижениями среднего уровня. Находим эту «гипотетическую» величину так:

Аналогично «теоретическая» частота для ячейки G считается следующим образом: 30 человек имеют высокий уровень интел­лекта, поэтому 33,3% от этого числа должны были бы попасть в группу с профессиональными достижениями выше среднего уровня.

Находим эту «гипотетическую» величину так:

Рассмотрим, как производится подсчет для ячейки В. 30 че­ловек имеют низкий уровень интеллекта, поэтому 44,4% от это­го числа должны были бы попасть в группу с профессиональны­ми достижениями среднего уровня. Находим эту «гипотетическую» так:

Аналогично производится подсчет для ячейки Е. 30 человек имеют средний уровень интеллекта, поэтому 44,4% от этого чис­ла должны были бы попасть в группу с профессиональными до­стижениями среднего уровня. Находим эту «гипотетическую» величину так:

Аналогично производится подсчет для ячейки Н. 30 человек имеют уровень интеллекта выше среднего, поэтому 44,4% от этого числа должны были бы попасть в группу с профессиональными достижениями среднего уровня. Находим эту «гипотетическую» величину так:

Рассмотрим, наконец, как производится подсчет для ячейки С. 30 человек имеют низкий уровень интеллекта, поэтому 22,2% от этого числа должны были бы попасть в группу с профессио­нальными достижениями выше среднего уровня. Находим эту «гипотетическую» величину так:

Расчет «теоретических гипотетических» частот для оставших­ся ячеек проведите самостоятельно.

Проверим правильность расчета «теоретических» частот для всех столбцов таблицы 8.14: 10 + 10 + 10 = 30; 13,3 + 13,3 + 13,3 = 39,9 40; 6,7 + 6,7 + 6,7 = 20,1 20.

Теперь все готово для использования формулы (8.1).

Для проверки правильности расчета «теоретических» частот в случае сравнения двух эмпирических наблюдений (см. раздел 8.2) или для сравнения показателей внутри одной выборки мо­жет использоваться следующая формула (8.12):

Полученные эмпирическая величина критерия хи-квадрат попала в зону значимости. Иными словами, следует принять гипотезу Я, о том, что уровень интеллекта влияет на успешность профессиональной деятельности.

Решение. (Второй способ решения по формуле 8.11).

Подставим данные таблицы 8.14 в формулу (8.11) получим:

Как и следовало ожидать, эмпирическое значение хи-квадрат получено то же самое, что и при первом способе решения. Все дальнейшие операции уже проделаны выше при первом спосо­бе решения данной задачи, поэтому не будем их повторять. Бе­зусловно, что второй способ существенно проще первого, од­нако, при расчетах по формуле (8.11) можно легко допустить ошибки. Подчеркнем, что как первый, так и второй способы расчета эмпирического значения хм-квадрат позволяют работать с таблицами практически любой размерности: 3 х 4, 4 х 4, 5 х З, 5 х б и т. п.

Для применения критерия хн-квадрат необходимо соблюдать следующие условия:

1. Измерение может быть проведено в любой шкале.

2. Выборки должны быть случайными и независимыми.

3. Желательно, чтобы объем выборки был > 20. С увеличением объема выборки точность критерия повышается.

4. Теоретическая частота для каждого выборочного интервала не должна быть меньше 5.

5. Сумма наблюдений по всем интервалам должна быть равна общему количеству наблюдений.

6. Таблица критических значений критерия хи-квадрат рассчитана для числа степеней свободы v, которое каждый раз рассчи­тывается по определенным правилам.

В общем случае число степеней свободы определяется по формуле:

8.2. Критерий Колмогорова—Смирнова

Этот критерий используется для решения тех же задач, что и критерий хи-квадрат. Иначе говоря, с его помощью можно срав­нивать эмпирическое распределение с теоретическим или два эмпирических распределения друг с другом. Однако если при применении хи-квадрат мы сопоставляем частоты двух распреде­лений, то в данном критерии сравниваются накопленные (куму­лятивные) частоты по каждому разряду (альтернативе). При этом если разность накопленных частот в двух распределениях оказы­вается большой, то различия между двумя распределениями яв­ляются существенными.

3 а д а ч а 8.12. Предположим, что в эксперименте психологу

необходимо использовать шестигранный игральный кубик с цифрами на гранях от 1 до 6. Для чисто­ты эксперимента необходимо получить «идеаль­ный» кубик, т. е. такой, чтобы при достаточно большом числе подбрасываний, каждая его грань выпадала бы примерно равное число раз. Задача состоит в выяснении того, будет ли данный ку­бик близок к идеальному?

Решение. Подбросим кубик 120 раз и сравним полученное

эмпирическое распределение с теоретическим. Поскольку теоретическое распределение являет­ся равновероятным, то соответствующие теоре­тические частоты равны 20. Распределение эмпи­рических и теоретических частот представим со­вместно в таблице 8.15:

Для подсчета по критерию Колмогорова—Смирнова необхо­димо провести ряд преобразований с данными таблицы 8.15. Представим эти преобразования в таблице 8.16 и объясним их получение:

Символом FE в таблице 8.16 будем обозначать накопленные теоретические частоты. В таблице они получаются следующим об­разом: к первой теоретической частоте 20, добавляется вторая частота, также равная 20, получается число 20 + 20 = 40. Число 40 ставится на место второй частоты. Затем к числу 40 прибавляется следующая теоретическая частота, полученная величина 60 — ставится на место третьей теоретической частоты и так далее.

Источник