Что мне не нравится в математике
Каково быть слабым в математике
Я, как учитель математики нередко разочаровываюсь в учениках. Они прогуливают. Они ленятся. Они плачут, словно младенцы, если у них отнять калькуляторы. Но хуже всего то, чего они не делают. Не задают вопросов. Не записывают. Не исправляют тесты, даже если это может повысить их общий балл. Разве их не волнуют их неудачи в учебе?
Существует много объяснений такого поведения: лень, равнодушие, отвлекающие внешкольные факторы и т.д. Но если спросите меня, то я назову более глубокую причину: незнание математики заставляет чувствовать себя глупо. А это неприятно.
Это трудно понять, если вы никогда не испытывали подобное. К счастью, у меня такой опыт есть (хотя тогда нечему было радоваться). Мой рассказ о математической безграмотности. Возможно что-то вам будет знакомо.
В колледж я поступал математически подкованным, на выпускном экзамене я набрал самый высокий балл. Казалось, что математика мне дается совсем легко. Но потом я столкнулся с топологией.
Уроки по топологии проходила в формате семинаров, где студенты учили друг друга. Дважды за семестр каждый из нас должен быть подготовить лекцию, дать домашнее задание и оценить его.
Мое непонимание предмета приходило спокойно, постепенно. Я читал лекции одноклассников, смутно понимая только половину из написанного. Я заучивал основные моменты, но не понимал сути предмета, надеясь, что когда-нибудь отрывочные знания примут форму чего-то целого. Но я ничего не делал для этого. Не задавал вопросов, потому что боялся показаться глупым. В итоге все становилось только хуже, проблески понимания угасали, становилось неинтересно. Я понял, что совсем запутался.
В итоге я сделал то, что делают большинство студентов. Я положился на человека, который разбирался в предмете лучше меня. Это была моя девушка (учащаяся в том же классе). Все, что она объясняла мне, я просто записывал своими словами, не вникая в суть, из-за чего знания не задерживались надолго в моей голове.
Я винил всех вокруг в своих неудачах. Свою девушку, которая уговорила меня выбрать этот курс. Преподавателя, который сидел на занятиях в стороне и посмеивался над нашей некомпетентностью. Зачем вообще нужна эта топология? Когда все оправдания закончились, я сказал себе: я ненавижу этот класс! Я ненавижу топологию!
Я ненавижу математику!
Мой первый опыт в качестве лектора в классе был положительным, несмотря на то, что знания предмета почти не было. Но погружаясь в материал, понимал, что вторая лекция не будет такой легкой прогулкой.
Я постоянно ленился, часто жалуясь на сложность предмета. Но вскоре понял, что дело не просто в лени. Сталкиваясь с тем, что я не понимал, я сталкивался со своими сомнениями и тревогами. А постоянное откладывание отодвигает эти неприятные чувства.
Поскольку день второй лекции приближался, я начал паниковать. Я позвонил отцу, человеку с доброй душой. Не помогло. Я позвонил сестре, учителю математики, с которой всегда было весело. Не помогло. Тогда я договорился о встрече с преподавателем по топологии.
Я потел, пока поднимался в лифте к нему в кабинет. Самое страшное было то, что я восхищался им. Большинство математиков мирового класса относились к общению со студентами как к обременительному акту благотворительности. Он же был другим: проницательным, трудолюбивым, искренним. Я стучал в дверь кабинета, чтобы сказать ему, что потерпел неудачу.
Он был благосклонен ко мне, предложил несколько идей и помог с презентацией, чтобы я мог показать хоть что-то на предстоящей лекции. Я умолял не задавать вопросов по материалу на уроке, по сути просил его не делать свою работу. И он нехотя согласился.
Я провел вторую лекцию и попытался забыть ее как можно быстрее.
Оглядываясь назад, я понимаю, что был идеальным примером плохого студента, продемонстрировав все симптомы:
Удивительно, насколько трудно писать об этом даже сейчас. Математические неудачи так же, как и романтические, запоминаются надолго.
Я рассказал эту историю, чтобы показать, что проблема не в отсутствии «природного ума», наоборот, подобные неудачи происходят при сочетании множества причин: излишней тревожности, низкой мотивации, пробелов в знании предмета и т.д. Сложнее всего избежать неудач в моменты, когда требуется обнажить свои недостатки.
Незнание топологии не делает меня глупым. Это делает меня слабым в топологии. Эту разницу очень важно понимать. В конце концов, я благодарен за полученный опыт.
Нужно ли пытаться полюбить математику?
Математика позволяет достигать успеха: запускать ракеты, обучать AI, и так далее. Самыми качественными кадрами считаются выпускники математических специальностей. Молодые работники, студенты и школьники, которые не идеально решают тренировочные задачи, часто комплексуют по этому поводу. Такие люди обычно переживают, что, если бы они могли полюбить и понять математику, то их жизнь изменилась бы к лучшему, но им этого, увы, «не дано».
Говорят, что математика — царица и венец всех наук, что без математического мышления невозможно выжить и преуспеть, и что уметь в неё должен каждый. Математические задачки задают при поступлении в вузы и приёме на работу. Математику активно используют технологии, формирующие нашу жизнь — в инженерии, IT, финансах… Человек-математик — это супергерой нашего времени, который берётся за любые задачи, решает все проблемы, и спасает мир, когда никто другой этого не может.
Эта история начинается с младшей школы: все дети должны знать математику на хорошую оценку, а если это не так, то они проблемные или, возможно, просто глупые. Фразы «хорош в математике» и «очень умный» становятся почти взаимозаменяемые. По силе математического мышления судят о том, насколько вы способный и перспективный человек в целом. При этом, возможно, в школе вы боялись математику, но решали/списывали домашние задания, стиснув зубы, и не понимали, как этот страшный непонятный неинтересный предмет можно любить.
Когда школа давно осталась в прошлом, вы закончили вуз и даже устроились на нормальную работу, математическая лихорадка немножко отпускает. Но не до конца. Вы почитываете статейки на vc.ru и каналы в Телеграме про чьи-нибудь стартапы, основанные на новейших технологиях. И вы в фоновом режиме подумываете, что, если бы у вас были математические способности и образование, ваша жизнь могла бы быть лучше. Вы бы начали заниматься искусственным интеллектом/блокчейном/большими данными/алготрейдингом, основали бы стартап-«единорог» и изменили бы мир к лучшему. Но потом вы вспоминаете, что плохо складываете дроби в уме. Вы осознаёте, что слишком глупы для этого, или учились в гуманитарном классе, или пересдавали матан на первом курсе, или просто недостаточно любите математику… И вы принимаете эти ограничения, и, осознавая себя людьми второго сорта, со вздохом возвращаетесь к рутине. Может быть, вы даёте себе обещание выучить математику в следующем году (когда жизнь наладится), и всё равно возвращаетесь к этой унылой надоевшей вашей текущей работе.
Если вы хотите заниматься аналитической деятельностью, то умение работать с инструментами для вас гораздо важнее умения считать. «Работать с инструментами» значит:
Все эти шаги кажутся очевидными и основанными чисто на здравом смысле. Но оттачивается этот здравый смысл только практикой, и чем больше разных задач вы поставите, обеспечите инструментом, решите и проверите, тем лучше у вас будет это получаться.
К сожалению, и постановке задач, и поиску инструментов среди неизвестных, и быстрому освоению новых инструментов (хотя бы задаванию вопросов и чтению документации), и работе над ошибками на около-математических курсах часто не учат. Вместо этого дают уже готовую задачу (часто высосанную из пальца), и называют готовый инструмент (например, теорему, которую сейчас проходят), к которому уже есть инструкция по применению, и который гарантированно даст решение «на зачёт». Неудивительно, что в итоге математика кажется вам коллекцией абстракций, придуманных с единственной целью вынести вам мозг.
А какие вообще бывают инструменты? Кроме узконаправленных (софт для вычисления траектории, Excel, экосистема SciPy в Python, не менее важны и «метаинструменты»: поисковые системы, справочники, форумы, электронные библиотеки. Например, на любой вопрос по программированию, который вы сможете придумать, уже ответили (почти наверное) на stackoverflow. Времена, когда можно было или нужно было «знать всё», закончились в прошлом веке; сейчас гораздо важнее «знать, где всё найти». Продвинутые образовательные учреждения и работодатели это понимают: например, на вступительные в Школу анализа данных можно приносить любую литературу, лишь бы вы смогли ей воспользоваться.
Может показаться, что отношение к математике как к инструментарию, а не как к святыне, унижает вас. Но на самом деле, чтобы быть «крутым, и как учёный», надо всего лишь заниматься правильными с лично вашей точки зрения и интересными задачами, и относиться к ним добросовестно. Если вы хотите заработать денег или изменить мир, займитесь сразу этим, а не математикой! В глазах людей вы станете «умным» и даже, может быть «математиком», но вам самим будет казаться, что в математике и вообще в жизни вы ничего не понимаете. Это нормально и нисколечко не стыдно. Можете успокаивать себя, что чем больше знание, тем больше граница незнания.
Глубоко прорабатывая принимаемые вами задачи, вы будете всё лучше понимать, чего вы хотите, до тех пор, пока не превратите это в алгоритм. Например, вам нужно привлечь через сайт побольше клиентов (задача). Повозившись с ней, вы разобьёте воронку продаж и приближенно оцените конверсию на каждом этапе, выберете узкие места, проведёте эксперименты, переберёте множество вариантов, и в итоге найдёте оптимальный способ эту конверсию повысить. Этот процесс конкретизации задачи и есть настоящая математика. А полученный в итоге алгоритм (например, формула, выбирающая, какую кнопку показать клиенту) — это не сама математика, а всего лишь её продукт.
Когда вы хотите добиться конкретной цели, вы используете все доступные средства, в том числе и математические. Если при этом вы сами не можете взять интеграл, то ищете помощника, задаёте вопрос на форуме, проводите численный эксперимент, заменяете задачу на более простую, покупаете более мощный компьютер — и у вас в итоге всё получается. Мотивированный человек не сидит и не рожает «идеальное» математическое решение, а ищет любое решение, удовлетворяющее его цели. Страх перед математикой возникает, когда вы думаете, что неумение решить задачку докажет миру, что вы глупые. Но если математика не является самоцелью, бояться нечего: можно читерить, можно списывать, можно перекладывать задачу на других или подбирать верное решение наугад. И никто вас за это не осудит (кроме тех, кто вам завидует).
Мне могут возразить школьники, которые зубрят математику, чтобы поступить в вуз, или студенты, которые ботают её, чтобы этот вуз закончить. Они могут заявить, что их цель — как раз-таки доказать, что они умны. Но в этой ситуации можно продолжить спрашивать «зачем». Зачем заканчивать вуз? Чтобы получить профессиональные компетенции. А можно ли получить их по-другому? Да, есть более прямые пути: онлайн-образование, платные курсы, репетиторство, стажировки, менторы, изучение чужих успешных решений из открытых источников… Там тоже может встретиться математика. Но вы по крайней мере будете понимать, что она нужна для дела, а не для демонстрации собственного достоинства, и будете относиться к ней не как к иконе, а как к полезному инструменту. В результате вы и избавите себя от муки учёбы, в которой не видите смысла, и быстрее достигнете конечной цели (трудоустройства).
Возможна и другая ситуация: вы осознаёте, что любите математику в лучших её проявлениях, но теорию всё равно понимаете плохо, она нагоняет на вас скуку. Тогда вам можно посоветовать:
Выводы. Думаю, вы уже поняли, как я отвечаю на вопрос из заголовка этого текста: математику пытаться насильно полюбить не нужно. Потому что:
Не стесняйтесь заниматься тем, что вам нравится, и не принуждайте себя ко всему остальному.
«Ненавижу математику!» 3 мифа о математике в школе
У ребенка проблемы с математикой. Как полюбить математику
Согласно неофициальной, но ежегодно подтверждаемой результатами ЕГЭ статистике, большая часть школьников испытывает проблемы с изучением математики. Это, пожалуй, единственный предмет школьной программы, который по-настоящему ненавидят, которого боятся, который вызывает у учеников нервные реакции. Почему так происходит? Елена Горбунова, учитель математики в математической школе «Альфа», описала три распространенных мифа, которые питают страх перед математикой.
Технари VS гуманитарии
Как-то так у нас сложилось, что с раннего детства родители пытаются понять, какой склад ума у их ребенка — математический или гуманитарный. Неудивительно, что в школьные годы любые проблемы с точными науками объясняются каким-то не тем складом ума. Ребенку не остается ничего, кроме как смириться и налегать на языки.
Конечно, подобный подход не оставляет ученику шансов полюбить математику. Начинаются прогулы, двойки, из-под палки выполненные домашние задания, невнимательность на уроках, еле-еле сданные экзамены и выбор вуза по принципу «где математика не нужна».
Правда в том, что базовый курс математики в школе может освоить любой ученик, независимо от склада ума. Конечно, кому-то предмет будет даваться быстрее и проще, но другой через тернии придет в итоге к не меньшему результату и на этом пути научится справляться с трудностями и побеждать вопреки обстоятельствам.
Мальчики VS девочки
Несмотря на то, что девушки сегодня все чаще осваивают так называемые мужские профессии, миф о «математика — для мальчиков» все еще сохраняется в наших школах и головах. С раннего детства родители говорят сыну: «Будешь отличником по математике». При этом перед дочерью задачи могут ставиться совсем иные: от установки на языки до сомнительного «мальчики работают, а девочки красивые».
Корейские ученые провели интересный эксперимент: класс разделили на две группы, в каждой были и мальчики, и девочки. Первая группа не проходила никакой предварительной подготовки, и мальчики показали результаты выше, чем девочки. Со второй группой предварительно занимался психолог, предложив детям пройти несложный тренинг по снижению тревожности, а лишь затем отправиться решать задачи. В этой группе результаты были равные: девочки справились с математическими заданиями не хуже мальчиков.
Вывод прост: математика не имеет гендерных предпочтений, а потому не стоит навязывать детям ложные установки.
Мотивация VS психологическое напряжение
Многие востребованные специальности связаны с математикой. По крайней мере, математика нужна для поступления в вуз, а часто эта дисциплина сопровождает студентов и на протяжении всего образовательного пути. Родители это понимают, учителя понимают, чиновники и работодатели тоже все понимают, и, конечно же, детям уже в начальных классах рассказывают о том, как важно изучать математику.
Нервное напряжение растет с приближением к ЕГЭ. Когда до экзаменов остается год или даже два, родители начинают привлекать репетиторов по математике, записывать ребенка на многочисленные факультативы, курсы и т.п. В результате вокруг ученика создается атмосфера тотального давления и нервного напряжения: если не решу задачу — упущу свой шанс на счастливое профессиональное будущее.
Психологи утверждают, что у некоторых учеников в сознании формируется прямая причинно-следственная связь: «математика на отлично — жизнь на отлично». В связи с этим могут случаться нервные срывы, если вдруг желаемого результата достичь не удалось. Провал на экзамене всегда переживается болезненно, однако вряд ли с каким-то еще предметом связано такое количество надежд и амбиций.
Что такое математическая тревожность
В ХХ веке появился термин «математическая тревожность». Подобное состояние связано с плохо осознаваемыми источниками опасности. Если спросить у школьника, почему он не любит математику, то четкого ответа скорее всего не последует. Эмоциональные выпады вроде «Не люблю», «Скучно», «Сложно» и т.п. в ситуации разобраться не помогут. При этом нервные реакции возникают не только в контексте «травмирующей» ситуации (урок в школе, вызов к доске, контрольная работа или экзамен), но и при столкновении с любой необходимостью оперировать цифрами.
Признаки математической тревожности у ребенка:
«Математика не интересна ученикам. И это, вообще-то, нормально»
Я выпускница МФТИ и репетитор по математике. Я корректирую и исправляю всё то, что «напахали» школьные учителя. Объясняю девятиклассникам, что такое отрицательное число, когда, казалось бы, уже поздно, и помогаю научиться решать задачи на многоугольники тем, кто далёк от геометрии. Если ещё честнее, я готовлю детей к сдаче экзаменов так, чтобы они их точно сдали.
Каждый раз, когда я «выпускаю» ребёнка, мне многое хочется сказать его родителям, ему самому, его учителям и, главное, родителям будущих выпускников.
Последние пять лет я плотно общаюсь с детьми средних и старших классов. Общаюсь лично, когда не видит мама с папой. Мне 23, поэтому общаемся мы на «ты», а не на «вы», хотя часть учеников упорно продолжает называть меня по имени-отчеству.
Современные школьники 10-11 классов куда более осознанно действуют, чем дети, которые учились в этих же классах пять, десять, двадцать и так далее лет назад. Они задают вопрос «зачем?» до того, как начинают что-то делать. И они не безвольны, а наоборот самостоятельны.
Мне хочется донести до родителей простую истину: ваши дети не дураки. Они куда умнее всех нас вместе взятых: практичнее, ближе к реальной жизни. Мыслят они, скорее всего, по-другому, нежели вы мыслите сейчас и мыслили в их возрасте, но это не значит, что они глупы. Прости они другие.
1. Математика не интересна школьнику
Это, вообще-то, нормально. Но этот факт сложно принять учителям математики, родителям, взрослым дядям и тётям, включая тех, кто составляет программу.
Вся общеобразовательная программа по математике может быть разделена на две части: «решить практическую задачу почему-то не на калькуляторе» и «какая-то невнятная бредятина про синусы, корни и логарифмы». И если первый тип задач хотя бы понятно, зачем учиться решать, то второй тип не нужен большинству детей. Он подходит только тем детям, которые действительно хотят стать инженерами, разработчиками, учёными.
И аргумент «для общего развития» на детей не подействует, потому что он голословен. Для общего развития не помешает почитать книги, выучить один-два иностранных языка, попутешествовать и разобраться, чем отличается джаз от блюза. А решать тригонометрические задачи — это не для общего развития. Это для конкретных целей — чтобы мосты строить и физические формулы использовать. И это не общее развитие, а конкретное, прикладное.
Почему пора перестать спрашивать, когда вам пригодится математика
Первые задачи (те, которые практические, из реальной жизни) дети, как правило, решают сами. Без подсказок. Вторые задачи приходится объяснять раз за разом тем, кто уродился в категории гуманитариев. Обычно объяснение начинается или заканчивается вопросом со стороны ребёнка: «и зачем мне это?». Первые пару раз я закипала: «Как зачем?!». А потом я поняла, что, например, будущему журналисту оно действительно незачем.
2. Математика нужна не всем
Я не эксперт-методист, не педагог со стажем over 30 лет. У меня даже нет педагогического образования. По образованию я учёный. Я не умею профессионально учить детей как в школе, где в классе 30 человек, и один из них — учитель. Мне удаётся научить конкретного ребёнка решать задачки, избавить этого конкретного ребёнка от ненависти к предмету и привить ему стройное математическое мышление.
Математика должна преподаваться по-разному детям математичным и нематематичным
С восьмого класса нет смысла грузить ребёнка-гуманитария тригонометрией, биквадратными уравнениями, геометрическими задачами, а в старшей школе — производными, логарифмами и интегралами. Этим детям оно не нужно. Им нужны практические задачи: прикинуть денежные размеры скидки, оценить сроки выхода на окупаемость проекта и размеры штрафов за превышение скорости, посчитать площадь земельного участка или квартиры (но не футбольного поля или бассейна!), рассчитать кредит, кэшбек, расходы на вечеринку. Что-то понятное, бытовое и нужное всем.
Как бы папе ни было грустно, в булочной вам не понадобится интеграл от экспоненты. Там пригодятся задачи на проценты (с которыми у всех проблемы, включая редакторов федеральных телеканалов). Например, в пятницу, когда все в той же булочной акция «-10% на все слойки с сыром».
Общее образование ориентировано на среднего ребёнка. Это который не семи пядей во лбу в математике, но и не полный лингвист. Средненький такой. Кстати, таких людей не бывает. Средненьких. Каждый в чём-то своём талантливый. И далеко не все — в математике.
3. Задачи и программа оторваны от реальности
Рассмотрим на примере пирожков.
«На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с яблоками».
Как ответит математик? Ну как-то так: нам подходит 3 пирожка из 15, вероятность 0,2.
Как ответит ребёнок без математического заскока? Примерно так: а как их можно перепутать? Они же разной формы.
Опытный преподаватель тут же скажет о том, что ребёнок невнимательно прочитал условие, в котором чётко сказано, что пирожки одинаковой формы. Но в реальности так не бывает. Чтобы условие стало реальным, достаточно сказать, что Петя берёт пирожок с закрытыми глазами, или Пете просто дали один из этих пирожков (любой). Потому что в реальной жизни пирожки делают разными, чтобы не путать начинку. И обычный ребёнок об этом знает лучше любого математика, который тут же начнёт применять основы теории вероятности, не задумываясь о подробностях условия и нежизнеспособности формулировки задания.
Или вот ещё два задания: первое оторвано от реальности, второе — нет:
1. «Прямоугольный участок земли имеет стороны 25 и 37 м. Короткой стороной участок примыкает к стене дома. Найдите длину забора, которым нужно огородить оставшуюся часть границы участка (в метрах)».
2. «Участок земли для строительства отеля имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 300 м и 100 м. Одна из больших сторон участка расположена вдоль моря, а три остальные стороны нужно отгородить забором. Найдите длину этого забора. Ответ дайте в метрах».
Вот вы сами, когда читаете «участок земли», представляете себе домик в деревне, садовом товариществе или что-то вроде того? Никто никогда такие участки вплотную к дому не ставит. Поэтому ситуация, когда одна из сторон вашего участка не требует забора из-за того, что там чей-то чужой дом, кажется идиотичной, не правда ли?
Ситуация, когда с одной стороны дома море или река, проще и понятнее. Перед морем или речкой забор никто не станет возводить — некрасиво и неудобно. И участок «на первой линии» купят с большой охотой.
4. Для гуманитариев — бессмысленно, для технарей — слабо
Это самая близкая формулировка того, как можно охарактеризовать современную программу по математике. Разделение ЕГЭ на «базу» и «профиль», конечно, помогло. От простых смертных вроде отстали. Но не до конца: уроки одни на всех. Дети, которые сдают базу и планируют заниматься журналистикой, и дети, которые стремятся в технические вузы, сидят рядом, на общих уроках математики. В результате одни недополучают, другие тратят время и забивают голову ерундой. Апогей общего образования.
Что делать
Любой небезразличный родитель, прочитав всё это, спросит: «А дальше-то что?». А дальше примите: система выталкивает вас на репетиторов, если вам не всё равно. Как показывает практика, большинство ответственных родителей рано или поздно нанимают ребёнку целый отряд репетиторов.
Есть ли какой-то другой жизнеспособный сценарий? Есть. Если ребёнок тянет, можно обойтись без репетиторов, устроиться в хорошую школу, где есть класс с подходящим профилем. Подобрать такую школу можно разве что методом проб и ошибок. И да, школа такая, скорее всего, частная.
9 причин, почему русская математическая школа до сих пор одна из лучших в мире
Как оценить знания ребёнка
Всё зависит от класса, в котором он учится. Если ребёнок учится в 8-9 классе, то в конце восьмого — начале девятого можно попросить школьника решить вариант ОГЭ по математике. Их много в сети. Если ребёнок решает больше половины первой части правильно, переживать не стоит.
Если ребёнок учится в 10-11 классе, полезно будет прорешать вариант ЕГЭ. Если ребёнок (не математик) из базового варианта решает больше семи заданий в начале 10 и больше половины заданий в начале 11 класса, то всё в порядке. Если меньше — пора бить тревогу.
Успокоиться — не значит не готовиться. К экзамену, конечно, надо готовиться. Тут не получится натренироваться за пару ночей, как в вузе. Это, по сути, первый важный экзамен в жизни. Как готовиться — по книжкам самому (это реально!), с репетитором или на курсах — зависит от школьника и того, какие баллы ему нужны на экзамене. Главное, начать заранее и уже в процессе понять, что подходит больше.