Что такое расстояние между прямыми

Расстояние между прямыми на плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между прямыми на плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния между прямыми, задайте вид уравнения прямых («канонический», «параметрический» или «общий»), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Расстояние между прямыми на плоскости − теория, примеры и решения

1. Расстояние между прямыми в каноническом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы прямые L₁ и L₂:

Прямые (1) и (2) могут совпадать, быть паралленьными или пересекаться. Если прямые пересекаются, то понятие расстояния между ними не имеет смысла (не определено). Если прямые совпадают, то расстояние между ними равно нулю. Если же они параллельны, то расстояние между ними можно вычислить следующими методами:

Рассмотрим этот метод подробнее. Каноническое уравнение прямой L₃, проходящей через точку M₁(x₁, y₁) имеет следующий вид:

Для того, чтобы прямая L₃ была перпендикулярна прямой L₂, направляющие векторы этих прямых должны быть ортогональны, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Так как направляющий вектор прямой не может быть равным нулю, то предположим, что координата m₂ вектора q₂ отлична от нуля. Тогда в качестве вектора q₃ можно взять вектор q₃=<m₃, p₃>=<p₂, −m₂>. Следовательно, уравнение прямой L₃ получит следующий вид:

Для вычисления координат точки пересечения прямых L₂ и L₃, решим систему линейных уравнений (2) и (5). Преобразуем эти уравнения сделав перекрестное умножение:

Откроем скобки и перенесем налево переменную y:

Запишем (6) и (7) в матричном виде:

Для построения обратной матрицы воспользуемся методом алгебраических дополнений. Сначала вычислим определитель матрицы:

Тогда обратная матрица примет следующий вид:

Подставляя значение обратной матрицы (12) в (11), получим:

Расстояние между точками M₁ и M₃ равно:

Полученное расстояние d также является расстоянием между прямыми L₁ и L₂.

Пример 1. Найти расстояние между прямыми L₁ и L₂:

Пользуясь формулой (5), построим уравнение прямой L₃, проходящей через точку M₁ и перпендикулярной прямой L₂:

Для вычисления координат точки пересечения прямых L₂ и L₃, решим систему линейных уравнений (16) и (17). Преобразуем эти уравнения сделав перекрестное умножение:

Сделаем эквивалентные преобразования:

Запишем систему линейных уравнений (18)-(19) в матричном виде:

Вычислим вектор (x, y) T :

Получили точку M₃(x₃, y₃)=(3, −2), которая является точкой пересечения прямых L₂ и L₃. Расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно расстоянию между точками M₁ и M₃. Вычислим это расстояние:

Ответ: Расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно d=4.47213595.

Метод 2. Найдем расстояние между прямыми L₁ и L₂ (уравнения (1) и (2)). Уравнение прямой L₃ в общем виде, проходящей через точку M₁ и перпендикулярной прямой L₂ имеет следующий вид:

Для того, чтобы прямая L₃ была перпендикулярна прямой L₂, нормальный вектор n₃=<A₃, B₃> прямой L₃ должен быть коллинеарным направляющему вектору q₂ прямой L₂. Поэтому в качестве нормального вектора прямой L₃ можно взять вектор q₂=<m₂, p₂>. Подставим координаты вектора q₂ в (20):

Приведем уравнение прямой (2) к параметрическому виду:

Подставим (22) в (21) и решим относительно t:

Мы получили такое значение t, при котором соответствующая точка на прямой L₂ удовлетворяет уравнению прямой L₃, т.е. находится на этой прямой (является точкой пересечения прямых L₂ и L₃). Подставляя значение t в (22), получим координаты точки M₃(x₃, y₃). Далее вычисляем расстояние между точками M₁ и M₃:

Пример 2. Найти расстояние между прямыми

Уравнение прямой L₃, проходящей через точку M₁ и имеющий нормальный вектор n₃=<A₃, B₃> представляется формулой:

Для того, чтобы прямая L₃ была перпендикулярна прямой L₂, нормальный вектор n₃=<A₃, B₃> прямой L₃ должен быть коллинеарным направляющему вектору q₂ прямой L₂. Поэтому в качестве нормального вектора прямой L₃ можно взять вектор q₂=<m₂, p₂>=<6, 9>. Подставим координаты вектора q₂ и координаты точкиM₁ в (27):

После упрощения получим уравнение прямой L₃, проходящей через точку M₁ и перпендикулярной прямой L₂:

Для нахождения точки пересечения прямых L₂ и L₃ проще всего пользоваться параметрическим уравнением прямой L₂. Составим параметрическое уравнение прямой L₂:

Выразим переменные x, y через параметр t :

Подставим значения x, y из выражения (29) в (28) и решим относительно t:

Подставляя значение t в выражения (29), получим координаты точки M₃:

Вычислим расстояние между точками M₁ и M₃

Ответ. Расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно:

2. Расстояние между прямыми в общем виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы параллельные прямые L₁ и L₂:

где n₁=<A₁, B₁> и n₂=<A₂, B₂> − направляющие векторы прямых L₁ и L₂, соответственно. Так как прямые параллельны, то можно один из них умножить на какое-то число так, чтобы нормальные векторы этих прямых совпадали. Пусть A₂≠0. Умножим (31′) на A₁/A’₂. Тогда уравнение (2′) примет следующий вид:

Покажем, что расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно:

Метод 1. Пусть A₁≠0. Тогда точка M₁(x₁, y₁)=M₁(−C₁/A₁, 0) принадлежит прямой L₁. Это легко проверить, подставив координаты точки M₁ в (30). Построим уравнение прямой, проходящей через точку M₁ и перпендикулярной прямой L₂:

Поскольку прямая L₃ перпендикулярна прямой L₂, то нормальные векторы этих прямых ортогональны. Тогда вместо нормального вектора n₃=<A₃, B₃> прямой L₃ можно взять вектор, ортогональный нормальному вектору n₂, т.е. вектор n₃=<B₁, −A₁> (так как скалярное произведение этих векторов равно нулю). Тогда имеем:

Найдем точку пересечения прямых L₂ и L₃. Для этого решим систему линейных уравнений (31),(34), представляя в матричном виде:

,

Наконец, расстояние между точками M₁ и M₃, и следовательно, расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно:

Метод 2. Воспользуемся понятием отклонения точки от прямой. Пусть M₁(x₁, y₁) точка, принадлежащая прямой (30), Тогда выполняется равенство

При С₂ Пример 3. Найти расстояние между прямыми

Ответ. Расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно:

Источник

Расстояние между прямыми в пространстве онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между прямыми в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния между прямыми в пространстве, задайте вид уравнения прямых («канонический» или «параметрический» ), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Расстояние между прямыми в пространстве − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L₁ и L₂:

Прямые (1) и (2) в пространстве могут совпадать, быть паралленьными, пересекаться, или быть скрещивающимся. Если прямые в пространстве пересекаются или совпадают, то расстояние между ними равно нулю. Мы рассмотрим два случая. Первый − прямые параллельны, и второй − прямые скрещиваются. Остальные являются частыми случаями. Если при вычислении расстояния между параллельными прямыми мы получим расстояние равным нулю, то это значит, что эти прямые совпадают. Если же расстояние между скрещивающимися прямыми равно нулю, то эти прямые пересекаются.

1. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве

Рассмотрим два метода вычисления расстояния между прямыми.

которое и является расстоянием между прямыми L₁ и L₂ (Рис.1).

Пример 1. Найти расстояние между прямыми L₁ и L₂:

Найдем проекцию точки M₁ на прямую L₂. Для этого построим плоскость α, проходящей через точку M₁ и перпендикулярной прямойL₂.

Для того, чтобы плоскость α было перепендикулярна прямой L₂, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L₂, т.е. в качестве нормального вектора плоскости α можно взять направляющий вектор прямой L₂. Тогда уравнение искомой плоскости, проходящей через точку M₁(x₁, y₁, z₁) имеет следующий вид:

После упрощения получим уравнение плоскости, проходящей через точку M₁ и перпендикулярной прямой L₂:

Найдем точку пересечения прямой L₂ и плоскости α, для этого построим параметрическое уравнение прямой L₂.

Выразив переменные x, y, z через параметр t, получим параметрическое уравнение прямой L₂:

Чтобы найти точку пересечения прямой L₂ и плоскости α, подставим значения переменных x, y, z из (7) в (6):

Решив уравнение получим:

Подставляя полученное значение t в (7), получим точку пересеченияпрямой L₂ и плоскости α:

Остается найти расстояние между точками M₁ и M₃:

Ответ: Расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно d=7.2506.

Метод 2. Найдем расстояние между прямыми L₁ и L₂ (уравнения (1) и (2)). Во первых, проверяем параллельность прямых L₁ и L₂. Если направляющие векторы прямых L₁ и L₂ коллинеарны, т.е. если существует такое число λ, что выполнено равенство q₁=λq₂, то прямые L₁ и L₂ параллельны.

Данный метод вычисления расстояния между параллельными векторами основана на понятии векторного произведения векторов. Известно, что норма векторного произведения векторов и q₁ дает площадь параллелограмма, образованного этими векторами (Рис.2). Узнав площадь параллелограмма, можно найти вершину параллелограмма d, разделив площадь на основание q₁ параллелограмма.

Вычислим координаты вектора :

Вычислим векторное произведение векторов и q₁:

Вычисляя определители второго порядка находим координаты вектора c:

Далее находим площадь параллелограмма:

Расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно:

Пример 2. Решим пример 1 методом 2. Найти расстояние между прямыми

Векторы q₁ и q₂ коллинеарны. Следовательно прямые L₁ и L₂ параллельны. Для вычисления расстояния между параллельными прямыми воспользуемся векторным произведением векторов.

Построим вектор =<x₂−x₁, y₂−y₁, z₂−z₁>=<7, 2, 0>.

Вычислим векторное произведение векторов и q₁. Для этого составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k, а остальные строки заполнены элементами векторов и q₁:

Вычислим определитель этой матрицы, разложив ее по первой строке. Результатом этих вычислений получим векторное произведение векторов и q₁:

Таким образом, результатом векторного произведения векторов и q₁ будет вектор:

Поскольку векторное произведение векторов и q₁ дает плошадь параллелограмма образованным этими векторами, то расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно :

Ответ: Расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно d=7.25061.

2. Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве

Пусть задана декартова прямоугольная симтема координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L₁ и L₂ (уравнения (1) и (2)).

Пусть прямые L₁ и L₂ не параллельны (паралельные прямые мы расстотрели в предыдущем параграфе). Чтобы найти расстояние между прямыми L₁ и L₂ нужно построить параллельные плоскости α₁ и α₂ так, чтобы прямая L₁ лежал на плоскости α₁ а прямая L₂ − на плоскости α₂. Тогда расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно расстоянию между плоскостями L₁ и L₂ (Рис. 3).

Поскольку плоскость α₁, проходит через прямую L₁, то он проходит также через M₁(x₁, y₁, z₁). Следовательно справедливо следующее равенство:

где n₁=<A₁, B₁, C₁> − нормальный вектор плоскости α₁. Для того, чтобы плоскость α₁ проходила через прямую L₁, нормальный вектор n₁ должен быть ортогональным направляющему вектору q₁ прямой L₁, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Так как плоскость α₁ должна быть параллельной прямой L₂, то должна выполнятся условие:

Решая систему линейных уравнений (27)−(29), с тремя уравнениями и четыремя неизвестными A₁, B₁, C₁, D₁, и подставляя в уравнение

получим уравнение плоскости α₁. (Как построить уравнение плоскости, проходящей через прямую, параллельно другой прямой подробно изложено здесь).

Аналогичным образом находим уравнение плоскости α₂:

Плоскости α₁ и α₂ параллельны, следовательно полученные нормальные векторыn₁=<A₁, B₁, C₁> и n₂=<A₂, B₂, C₂> этих плоскостей коллинеарны. Если эти векторы не равны, то можно умножить (31) на некторое число так, чтобы полученный нормальный вектор n₂ совпадал с нормальным вектором уравнения (30).

Тогда расстояние между параллельными плоскостями вычисляется формулой:

Полученное расстояние между плоскостями α₁ и α₂ является также расстоянием между прямыми L₁ и L₂.

Пример 3. Найти расстояние между прямыми

Построим плоскость α₁, проходящую через прямую L₁, параллельно прямой L₂.

а условие параллельности прямой L₁ и искомой плоскости α₁ представляется следующим условием:

Так как плоскость α₁ должна быть параллельной прямой L₂, то должна выполнятся условие:

Представим эти уравнения в матричном виде:

Искомая плоскость может быть представлена формулой:

Упростим уравнение, умножив на число 17.

Построим плоскость α₂, проходящую через прямую L₂, параллельно прямой L₁.

а условие параллельности прямой L₂ и искомой плоскости α₂ представляется следующим условием:

Так как плоскость α₂ должна быть параллельной прямой L₁, то должна выполнятся условие:

Представим эти уравнения в матричном виде:

Искомая плоскость может быть представлена формулой:

Упростим уравнение, умножив на число −83.

Расстояние между построенными плоскостями (43) и (53) будет расстоянием между прямыми (1) и (2).

Запишем формулы уравнений плоскостей α₁ и α₂ :

Поскольку нормальные векторы плоскостей α₁ и α₂ совпадают, то можно найти расстояние между плоскостями α₁ и α₂, используя следующую формулу:

Расстояние между прямыми равно: d=4.839339

Источник