Что такое равнобедренный и равносторонний треугольник
Геометрия. Урок 3. Треугольники
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Определение треугольника
Треугольник – многоугольник с тремя сторонами и тремя углами.
Виды треугольников
Основные свойства треугольника:
Отрезки в треугольнике
Биссектриса угла – луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.
Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне.
Свойства биссектрис треугольника:
Замечание: биссектриса угла – это луч, а биссектриса треугольника – отрезок.
Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Свойства медиан треугольника:
Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины угла треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону этого треугольника.
Если треугольник остроугольный, то все три высоты будут лежать внутри треугольника. Если треугольник тупоугольный, то высоты, проведенные из вершин острых углов будут лежать вне треугольника, а высота, проведенная из вершины тупого угла будет лежать внутри треугольника.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Свойство средней линии треугольника: средняя линия параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Всего в треугольнике можно провести три средние линии. Три средние линии разбивают исходный треугольник на четыре равных треугольника. Площадь каждого маленького треугольника будет равна четверти площади большого треугольника.
Площадь треугольника
Площадь произвольного треугольника можно найти следующими способами:
Равнобедренный треугольник
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.
Равнобедренный треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным.
Свойства равноберенного треугольника:
Равносторонний треугольник
Равносторонним называется треугольник, у которого все стороны и все углы равны.
Площадь равностороннего треугольника находится по формуле S = a 2 3 4
Высота равностороннего треугольника находится по формуле h = a 3 2
Прямоугольный треугольник
Свойства прямоугольного треугольника:
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
У прямоугольного треугольника катеты перпендикулярны друг другу, следовательно, площадь можно найти по формуле:
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с треугольниками
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Повторение. Равнобедренный треугольник и его свойства
Перечень рассматриваемых вопросов:
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противопложной стороны.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Две равные стороны называют боковыми сторонами, а третью сторону – основанием равнобедренного треугольника.
Свойства равнобедренного треугольника:
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны;
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Признак равнобедренного треугольника:
Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.
Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противопложной стороны.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№ 1. Периметр равнобедренного треугольника равен 24 см, боковая сторона 10 см. Найдите основание.
Решение: ∆ABC равнобедренный, AB = BC = 10 см.
№ 2. ∆ABC равнобедренный. AM, CM биссектрисы, ∠B = 80°. Найти ∠AMC, который образуют биссектрисы углов при основании.
Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы
Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы
Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны между собой по длине.
Равнобедренный треугольник (понятие):
Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны между собой по длине.
Две равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми, а третья неравная им сторона – основанием.
Рис. 1. Равнобедренный треугольник
АВ = ВС – боковые стороны, АС – основание,
∠ АВС – вершинный угол, ∠ BАC и ∠ BСA – углы при основании
По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним).
Угол, образованный боковыми сторонами, называется вершинным углом, а углы, одной из сторон которых является основание, называются углами при основании.
Различают следующие виды равнобедренных треугольников:
– остроугольный – все углы острые;
Свойства равнобедренного треугольника:
1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Рис. 2. Равнобедренный треугольник
2. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов равны между собой.
Рис. 3. Равнобедренный треугольник
АН1 = СН2 – высота, АМ1 = СМ2 – медиана, АL1 = СL2 – биссектриса, проведённые из углов при основании
3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Рис. 4. Равнобедренный треугольник
ВD – биссектриса, высота и медиана, проведенные к основанию – это один и тот же отрезок
4. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на медиане (биссектрисе, высоте), проведенной к основанию равнобедренного треугольника.
Рис. 5. Равнобедренный треугольник
R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности
Признаки равнобедренного треугольника:
– если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;
– если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;
– если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;
– если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.
Формулы равнобедренного треугольника:
Пусть a – длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b – длина основания, h – высота (биссектриса, медиана) равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, α – углы при основании, β – вершинный угол, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6, 7, 8).
Рис. 6. Равнобедренный треугольник
Формулы длины основания (b):
,
,
.
Формулы длины равных сторон (а):
.
Формулы углов:
Рис. 7. Равнобедренный треугольник
,
,
.
Формулы периметра (Р) равнобедренного треугольника:
Рис. 8. Равнобедренный треугольник
,
.
Формулы площади (S) равнобедренного треугольника:
,
,
.
Равнобедренный треугольник в природе, технике и культуре:
Рис. 1. Структура молекулы сероводорода
Длина боковой стороны – связи HS = 133,6 пм, а вершинный угол ∠HSH = 92,1°.
Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы
Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы.
Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.
Равносторонний треугольник (понятие, определение):
Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.
Равносторонний треугольник называется также правильным или равноугольным треугольником.
По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним). Иными словами, правильный (равносторонний) треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.
Рис. 1. Равносторонний треугольник
АВ = ВС = АС – стороны треугольника, ∠ АВС = ∠ BАC = ∠ BСA = 60° – углы треугольника
Свойства равностороннего треугольника:
1. В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой.
2. В равностороннем треугольнике углы равны и составляют 60°.
3. В равностороннем треугольнике каждая медиана, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и высотой, и они равны между собой.
В равностороннем треугольнике биссектриса, проведенная к каждой стороне, является медианой и высотой, и они равны между собой.
В равностороннем треугольнике высота, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и медианой, и они равны между собой.
Рис. 2. Равносторонний треугольник
4. В равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы, медианы и серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая называется центром равностороннего треугольника. Она же является центром вписанной и описанной окружностей.
Рис. 3. Равносторонний треугольник
R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности
5. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной.
6. Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, если считать от вершин.
Рис. 4. Равносторонний треугольник
AO : OK = BO : OА = CO : OD = 2 : 1
Признаки равностороннего треугольника:
– если в треугольнике три угла равны, то он равносторонний;
– если в треугольнике три стороны равны, то он равносторонний.
Формулы равностороннего треугольника:
Пусть a – длина стороны равностороннего треугольника, h – высота (l – биссектриса, m – медиана) равностороннего треугольника, проведенная к каждой стороне, α – угол равностороннего треугольника, α = 60°, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6).
Рис. 6. Равносторонний треугольник
Формула радиуса вписанной окружности (r):
.
Формула радиуса описанной окружности (R):
,
.
Формулы периметра (Р) равностороннего треугольника:
.
Формулы площади (S) равностороннего треугольника:
.
Формулы высоты (h), медианы (m) и биссектрисы (l) треугольника:
.
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
Содержание:
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.
АВ = ВС — боковые стороны
Свойства равнобедренного треугольника
Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство теоремы:
Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.
Боковые стороны равны АВ = ВС,
Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.
Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника
Доказательство теоремы:
Вывод:
Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.
Доказательство теоремы:
Доказательство от противного.
Признаки равнобедренного треугольника
Формулы равнобедренного треугольника
Формулы сторон равнобедренного треугольника
Формулы длины стороны (основания — b):
Формулы длины равных сторон — (а):
Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника
Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):
Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):
Площадь равнобедренного треугольника
Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):