Что такое равные векторы в геометрии определение

Равенство векторов

Урок 33. Геометрия 10 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Равенство векторов»

На прошлых занятиях мы ввели понятие вектора в пространстве.

Отрезок, для которого указано, какой из его концов является началом, а какой — концом, называется вектором. Любая точка пространства также является вектором, нулевым вектором.

Мы выяснили, что длина ненулевого вектора равна длине отрезка AB. А длина нулевого вектора равна 0.

Так же дали определение коллинеарным векторам. Это векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Если коллинеарные векторы имеют одинаковое направление, то они являются сонаправленными. Если же их направления противоположны, то векторы называют противоположно направленными.

На этом уроке мы будем говорить о равных векторах. Определение равных векторов в пространстве звучит так же, как и определение равных векторов на плоскости.

Равными называют сонаправленные векторы, длины которых равны.

Ну, а противоположно направленные векторы, длины которых равны, называют противоположными.

На рисунке изображён куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Среди векторов, показанных на рисунке, найдём пары равных и противоположных векторов.

Перед нами куб, и стоит вспомнить, что это за фигура. Это многогранник, все грани которого являются квадратами. Значит, все рёбра куба равны между собой.

Векторы и коллинеарны. Ведь понятно, что ребра AA₁ и DD₁ параллельны, как противоположные стороны квадрата. Аналогично, параллельны рёбра DD₁ и CC₁. А значит, параллельны рёбра АА₁ и CC₁. Так же по рисунку понятно, что данные векторы сонаправлены, а их длины по условию равны. Тогда векторы и равны.

Векторы и равны по длине, но противоположно направлены. Значит, эти векторы являются противоположными.

Векторы и равны по длине и сонаправлены, а значит, равны.

Векторы и равны по длине и противоположно направлены, а значит, противоположны.

Также противоположно направленными и равными по длине будут векторы и . Они являются противоположными.

Так мы с вами выписали две пары равных векторов и три пары противоположных векторов.

Задача. правильный тетраэдр.

, , и середины рёбер , , и .

1. Среди изображённых векторов указать пары равных векторов.

2. Установить вид четырёхугольника .

Равными являются сонаправленные векторы, длины которых равны.

А для того чтобы векторы были сонаправлены, они должны быть коллинеарны. То есть должны лежать на параллельных прямых или на одной прямой.

Никакие рёбра тетраэдра не являются параллельными. Поэтому на рёбрах будем искать векторы, лежащие на одной прямой. Такими являются векторы и , а также и . Точки P и М являются серединами соответствующих рёбер. Значит, равны длины векторов и , а также и .

Но векторы и противоположно направлены, а вот векторы и — сонаправлены.

Так мы нашли одну пару равных векторов, и .

Далее рассмотрим треугольник ABD. Точки М и N — середины сторон AB и AD. Значит, МN — средняя линия. И она параллельна стороне BD, а также равна её половине.

В треугольнике CBD отрезок PQ является средней линией. Он параллелен стороне BD и равен её половине.

Так мы получаем, что отрезки МN и PQ параллельны и равны. Значит, векторы и коллинеарны и, очевидно, сонаправлены. И так как равны их длины, то можно сказать, что эти векторы равны.

Аналогично, в треугольнике ADC отрезок NP является средней линией. Он параллелен стороне AC и равен её половине.

В треугольнике ABC отрезок MQ также является средней линией. Он параллелен стороне AC и равен её половине.

Отсюда получаем, что отрезки NP и MQ параллельны и равны. А значит, можем сделать вывод о равенстве векторов и .

Так мы с вами нашли три пары равных векторов.

Теперь осталось определить вид четырёхугольника MNPQ.

Нами уже установлено, что противоположные стороны этого четырёхугольника параллельны и равны. А это говорит о том, что данный четырёхугольник является параллелограммом.

Но так как все рёбра данного тетраэдра равны, то равны и длины средних линий, рассматриваемых ранее треугольников.

Получаем, что MNPQ — параллелограм, все стороны которого равны между собой. А значит, данный четырёхугольник является ромбом.

Ответ. 1) , , ; 2) ромб.

Далее вспомним, что от любой точки плоскости можно отложить вектор равный данному, и притом только один.

Это утверждение верно и для любой точки пространства.

Действительно, если рассмотреть некоторый вектор и произвольную точку пространства М. Через точки начала и конца данного вектора, а также через точку М можно провести плоскость.

В полученной плоскости отложим от точки М вектор равный вектору . Очевидно, он искомый. А из построений понятно, что он будет единственным. Ведь первая аксиома стереометрии говорит, что через 3 точки пространства можно провести только 1 плоскость.

Говорят «вектор отложен от точки М».

В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точки K и М — середины сторон A₁D₁ и B₁C₁ соответственно. Стоит напомнить, что все грани параллелепипеда являются параллелограммами, а их противоположные стороны равны. Значит, равны и их половины.

Итак, нам нужно назвать векторы, которые получатся, если от данной точки отложить вектор, равный данному.

Первым нам нужно назвать вектор, который получится, если от точки C отложить вектор, равный вектору .

Нам известно, что от точки пространства можно отложить только один вектор, равный данному.

Вектор отложен от точки C и он равен вектору . Значит, вектор искомый.

Далее назовём вектор, который получится, если от точки D отложить вектор, равный вектору .

Вектор отложен от точки D и равен вектору . Значит, он и является искомым.

Так, если от точки А₁ отложить вектор, равный вектору , то мы получим вектор .

Если же от точки C₁ отложить вектор, равный вектору , то мы получим вектор .

И, отложив от точки М вектор, равный вектору , мы получим вектор .

Подведём итоги урока.

На этом уроке мы выяснили, что, так же как и на плоскости, в пространстве равными называют сонаправленные векторы, длины которых равны.

Если же векторы противоположно направлены и их длины равны, то такие векторы называют противоположными.

Так же мы отметили, что от любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному вектору, и притом только один.

Всем этим знаниям мы нашли применение при решении задач.

Источник

Определение вектора

В статье пойдет речь о том, что такое вектор, что он из себя представляет в геометрическом смысле, введем вытекающие понятия.

Для начала дадим определение:

Вектор – это направленный отрезок прямой.

Исходя из определения, под вектором в геометрии отрезок на плоскости или в пространстве, который имеет направление, и это направление задается началом и концом.

Нулевой вектор

Под нулевым вектором 0 → будем понимать любую точку плоскости или пространства.

Из определения становится очевидным, что нулевой вектор может иметь любое направление на плоскости и в пространстве.

Длина вектора

Под длиной вектора A B → понимается число, большее либо равное 0, и равное длине отрезка АВ.

Понятия модуль вектора и длина вектора равносильны, потому что его обозначение совпадает со знаком модуля. Поэтому длину вектора также называют его модулем. Однако грамотнее использовать термин «длина вектора». Очевидно, что длина нулевого вектора принимает значение ноль.

Коллинеарность векторов

Два вектора лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными.

Два вектора не лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются неколлинеарными.

Следует запомнить, что Нулевой вектор всегда коллинеарен любому другому вектору, так как он может принимать любое направление.

Коллиниарные векторы в свою очередь тоже можно разделить на два класса: сонаправленные и противоположно направленные.

Направление векторов

Считается, что нулевой вектор является сонаправленым к любым другим векторам.

Равные и противоположные векторы

Равными называются сонаправленные вектора, у которых длины равны.

Противопожными называются противоположно направленные вектора, у которых их длины равны.

Введенные выше понятия позволяют нам рассматривать векторы без привязки к конкретным точкам. Иначе говоря, можно заменить вектор равным ему вектором, отложенным от любой точки.

Углы между векторами

Угол φ = ∠ A O B называется углом между векторами a → = O A → и b → = O B → .

Очевидно, что угол между сонаправленными векторами равен нулю градусам (или нулю радиан), так как сонаправленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых и имеют одинаковое направление, а угол между противоположно направленными векторами равен 180 градусам (или π радиан), так как противоположно направленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых, но имеют противоположные направления.

Перпендикулярными называются два вектора, угол между которыми равен 90 градусам (или π 2 радиан).

Источник

Вектор. Виды векторов.

Вектор — в самом элементарном случае это математический объект, который характеризуется

величиной и направлением.

В геометрии вектор — направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая

из его граничных точек является началом, а какая — концом.

У вектора есть длина и определенное направление. Графически вектора изображаются как

направленные отрезки прямой конкретной длины. Длина вектора – это и есть длина этого отрезка.

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии по обоим сторонам: |AB|.

Как видно на рисунке, начало отрезка – это точка А, концом отрезка является

точка В, а непосредственно вектор обозначен через . У направления

вектора существенное значение, если переместить стрелку на другую

сторону отрезка, то получим вектор, но абсолютно другой. Понятие вектора

удобно сравнивать с движением физического тела: подумайте, ехать на

рыбалку и с рыбалки – разница огромная.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не имеет значения — так как направления их могут быть

разными. Сравнивают лишь длины векторов. Зато есть понятие равенства для векторов.

Виды векторов.

Единичным называется вектор, длина которого равна 1.

Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором.

У такого вектора конец и начало совпадают.

Нулевой вектор обычно обозначается как . Длина нулевого вектора, или его модуль равен нулю.

Коллинеарные вектора – вектора, которые параллельны одной прямой

или которые лежат на одной прямой.

Сонаправленные вектора. Два коллинеарных вектора a и b называются

сонаправленными векторами только тогда, когда их направления

соответствуют друг другу: a↑↑b

Противоположно направленные вектора – два коллинеарных вектора

a и b называются противоположно направленными векторами, только

когда они направлены в разные стороны: a↑↓b.

Компланарные вектора – это те вектора, которые параллельны одной

плоскости или те, которые лежат на общей плоскости.

В любое мгновение существует плоскость одновременно параллельную

двум любым векторам, поэтому два произвольных вектора являются

Равные вектора. Вектора a и b будут равными, если они будут лежать на

одной либо параллельных прямых и их направления и длины одинаковые.

То есть, такой вектор можно перенести параллельно ему в каждое место

Таким образом, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые

и имеют одинаковые длины:

Для координатного представления векторов огромное значение

оказывает понятие проекции вектора на ось (направленную

прямую).

проекциями точек начала и конца вектора на заданную прямую,

при этом проекции добавляется знак “+”, но когда направление

проекции соответственно направлению оси, иначе — знак “–”.

Проекция – это длина заданного вектора, умноженная на cos угла исходного вектора и оси; проекция

вектора на ось, которая перпендикулярна ему = 0.

Когда работают с векторами, зачастую вводят так называемую

декартову систему координат и уже в этой системе находят

координаты вектора по базисным векторам.

Разложение по базису геометрически можно показать проекцией

вектора на координатные оси. Когда известны координаты начала и

конца вектора, то координаты данного вектора получают вычитая

из координат конца вектора координат начала вектора.

За базис зачастую выбираются координатные орты, которые обозначаются как , соответственно

осям x, y, z. Исходя из этого, вектор можно записать в таком виде:

Каждое геометрическое свойство есть возможность записать в координатах, и далее исследование

из геометрического переходит в алгебраическое и на этом этапе в основном упрощается. Обратное,

кстати, неверно: не у любого соотношения в координатах есть геометрическое толкование, но только

те соотношения, которые выполняются в любой декартовой системе координат (инвариантные).

Источник