Что такое разность многочленов

Сумма и разность многочленов

Вы будете перенаправлены на Автор24

Сумма многочленов

Многочлены можно складывать друг с другом. Рассмотрим следующий пример.

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как сумму:

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

Видим, что результатом суммы этих двух многочленов получили также многочлен.

Однако при сложении в некоторых случаях мы можем получить одночлен.

Запишем эти многочлены как сумму:

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

Разность многочленов

Многочлены можно вычитать друг из друга. Рассмотрим пример.

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как разность:

Напомним, что если перед скобками стоит знак минус, то, при раскрытии скобок, знаки в скобках будут меняться на противоположные.

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

Видим, что результатом разности этих двух многочленов получили также многочлен.

Однако при вычитании одного многочлена из другого в некоторых случаях мы можем получить одночлен.

Запишем эти многочлены как разность:

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

Готовые работы на аналогичную тему

Примеры задач на сложение и вычитание многочленов

Упростить следующие выражения:

Решение:

Для начала раскроем скобки:

Теперь приведем подобные слагаемые, получим:

Приведем подобные слагаемые, получим:

Приведем подобные слагаемые, получим:

Приведем подобные слагаемые, получим:

Приведем подобные слагаемые, получим:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 04 03 2021

Источник

Сложение и вычитание многочленов: правило и примеры

Данная статья разбирает такие действия с многочленами как сложение и вычитание многочленов. Сформулируем правило и рассмотрим его применение в решении задач.

Правило сложения и вычитания многочленов

Формулировку правила мы зададим сразу, после чего запишем пояснения.

Для осуществления действия сложения или вычитания многочленов, необходимо:

Теперь дадим пояснения по каждому шагу озвученного алгоритма.

Мы рассмотрели все действия согласно сформулированному правилу и можем указать важный вывод, что итогом сложения или вычитания является многочлен.

Примеры сложения и вычитания

Разберем типичные задачи на сложение и вычитание многочленов.

Решение

Кратко решение оформляется так:

( x 2 + 5 · x + 2 ) + ( x 2 − 5 · x + 3 ) = x 2 + 5 · x + 2 + x 2 − 5 · x + 3 = = ( x 2 + x 2 ) + ( 5 · x − 5 · x ) + ( 2 + 3 ) = 2 · x 2 + 5

Произведем вычитание многочленов:

( x 2 + 5 · x + 2 ) − ( x 2 − 5 · x + 3 ) = x 2 + 5 · x + 2 − x 2 + 5 · x − 3 = = ( x 2 − x 2 ) + ( 5 · x + 5 · x ) + ( 2 − 3 ) = 10 · x − 1

Одночлен – частный случай многочлена, поэтому правило сложения и вычитания, рассматриваемое в данной статье, применимо и для сложения и вычитания одночленов; для сложения и вычитания одночлена и многочлена и, наконец, для вычитания одночлена из многочлена и наоборот.

Решение

Исходные многочлены могут быть представлены как в стандартном, так и в нестандартном виде: действия сложения и вычитания могут совершаться и в том, и в том состоянии данных, на результат вычисления это никоим образом не повлияет. Единственное, чем могут отличаться результаты, полученные от сложения или вычитания многочленов нестандартного вида и многочленов в стандартном виде – это порядок следования членов многочлена-результата сложения или вычитания.

Решение

Решим задачу двумя способами.

Теперь произведём сложение:

( 9 + 6 · a ) + ( 3 · a 2 − 2 · a + 6 ) = 9 + 6 · a + 3 · a 2 − 2 · a + 6 = = ( 9 + 6 ) + ( 6 · a − 2 · a ) + 3 · a 2 = 15 + 4 · a + 3 · a 2

Явно видно, что оба способа дали один и тот же итог.

По такой же схеме, как во всех указанных примерах, производится сложение или вычитание трех и более многочленов.

Решение

Осуществляем действия сложения согласно сформулированному выше правилу. Составляем сумму, затем раскрываем скобки и преобразуем полученный многочлен в стандартный вид:

( 5 · a · b − a · b 2 ) + ( 3 · a · b 2 ) + ( 2 · a · b 2 − a · b + b ) = = 5 · a · b − a · b 2 + 3 · a · b 2 + 2 · a · b 2 − a · b + b = 4 · a · b + 4 · a · b 2 + b

Источник

Многочлены. Действия с многочленами.

теория по математике 📈 алгебраические выражения

Многочлен – это сумма одночленов. Одночлены, которые составляют многочлен, называют членами данного многочлена. Если многочлены состоят из двух или трех слагаемых, то их можно называть двучленами или трехчленами соответственно.

Стандартный вид многочлена

Многочлен называется приведенным к стандартному виду, если он не имеет подобных слагаемых, и каждый его член имеет также стандартный вид.

Вспомним, что слагаемые, содержащие одинаковую буквенную часть или не имеющие буквенной части называют подобными. Если такие слагаемые есть, то их нужно сложить или вычесть, это действие называют приведением подобных слагаемых.

13х 2 –6х+ 11х 2

13х 2 –6х+11х 2 =24х 2 –6х

6а 3 с 4 + 32х –9а 3 с 4 + 45х –16

Данный многочлен имеет две группы подобных слагаемых, одна выделена красным цветом, вторая синим цветом, слагаемое –16 не имеет подобных, поэтому его просто перепишем. Приводим подобные слагаемые и получаем многочлен стандартного вида:

6а 3 с 4 + 32х –9а 3 с 4 + 45х –16= –3а 3 с 4 +77х–16

Степень многочлена

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. При этом многочлен должен быть записан в стандартном виде. Рассмотрим на примерах, как определить степени многочленов.

4с 6 +7а 9 –18х

Степень многочлена, записанного в стандартном виде, равна 9, так как одночлен 7а 9 имеет степень равную 9 и она наибольшая по сравнению со степенями одночленов 4с 6 и –18х. Пример №5.

13х 4 у 7 +12х 3 у 6 –13

степень данного многочлена стандартного вида находим по наибольшей степени каждого одночлена: одночлен 13х 4 у 7 имеет 11 степень, так как складываем показатели 4 и 7; одночлен 12х 3 у 6 имеет соответственно 9 степень, а –13 имеет степень равную нулю (не содержит переменных). Таким образом, получается, что наибольшая степень равна 11, значит и степень всего многочлена равна 11.

6а 5 +8ас+2а 5 –11ас

Данный многочлен не является многочленом стандартного вида, поэтому сначала приведем подобные слагаемые, получим 6а 5 +8ас+2а 5 –11ас=8а 5 –3ас. Теперь найдем степень у каждого одночлена: у 8а 5 пятая степень, у 3ас – вторая (каждая переменная имеет первую степень). Значит, у многочлена 6а 5 +8ас+2а 5 –11ас степень равна 5.

Сложение и вычитание многочленов

Многочлены можно как складывать, так и вычитать. То есть сумму или разность многочленов можно представить в виде многочлена стандартного вида. Рассмотрим на примерах сложение и вычитание многочленов.

Пример №7. Выполним сложение многочленов:

6х 2 +8х–11 и –9х 2 +3х+19

Сначала составим их сумму (6х 2 +8х–11) + (–9х 2 +3х+19), теперь раскроем скобки, помня о том, что, если перед скобками стоит знак «плюс», то знаки у слагаемых в скобках не изменяются:

6х 2 +8х–11–9х 2 +3х+19

Теперь приведем подобные слагаемые и получим многочлен стандартного вида:

Пример №8. Выполним вычитание многочленов:

7х 5 +12х 3 –24 и 2х 5 +36х 3 –11

Составим разность многочленов (7х 5 +12х 3 – 24) – (2х 5 +36х 3 –11), раскроем скобки, помня о том, что, если перед скобками стоит «минус», то надо изменить знаки у слагаемых в скобках на противоположные:

7х 5 +12х 3 – 24 – 2х 5 –36х 3 +11

Приведем подобные слагаемые и получим многочлен:

Умножение одночлена на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена.

Пример №9. Умножим одночлен 7х на многочлен 6х 2 +3х–5. Запишем в виде произведения:

выполним умножение 7х на каждое слагаемое в скобках: 7х•6х 2 +7х•3х–7х•(–5) и получим:

Запись данного выражения можно делать короче, выполняя промежуточные действия устно:

7х•(6х 2 +3х–5)= 42х 3 +21х 2 +35х

92с(–2с+10а 6 )= –184с 2 +920са 6

Здесь выполнение умножения одночлена на многочлен выполнено без записи промежуточных действий умножения.

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Пример №11. Умножим многочлен (а+с) на многочлен (х+с).

Составим произведение (а+с)(х+с); умножим сначала а на (х+с), затем с на (х+с); получим:

Получили многочлен в стандартном виде. Здесь были даны простые многочлены, не содержащие степеней. Запись выражения выглядит так:

Пример №12. Умножим многочлен 8х 3 –12х на многочлен 3х 5 –10х. Имеем:

(8х 3 –12х)(3х 5 –10х)=8х 3 •3х 5 +8х 3 •(–10х)–12х•3х 5 –12х•(–10х)=24х 8 –80х 4 –36х 6 +120х 2

Здесь были даны многочлены, содержащие степень, поэтому промежуточное решение лучше расписывать, чтобы не допустить ошибок.

Разложение многочлена на множители

Существуют такие способы для разложения многочлена на множители, как вынесение общего множителя за скобки и разложение на множители способом группировки.

Способ №1. Вынесение общего множителя за скобки.

Вынесение общего множителя за скобки – это представление многочлена в виде произведения одночлена и многочлена.

6х 4 – 20х 2 =2х 2 (3х 2 –10)

При вынесении за скобки степеней помним правило, что при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаем, а основание оставляем прежним.

Пример №14. Разложим на множители многочлен:

12с 5 х 7 –36с 6 х 2 +72асх 3

12с 5 х 7 –36с 6 х 2 +72асх 3 =12сх 2 (с 4 х 5 –3с 5 +6ах)

Сделаем вывод, что вынесение общего множителя за скобки – это выполнение действия деления каждого члена многочлена на его общий делитель.

Способ №2. Способ группировки.

Чтобы выполнить разложение на множители способом группировки необходимо следовать определенному алгоритму (ключевое слово в данном способе – группировка). Группировка слагаемых выполняется таким образом, чтобы в каждой группе можно было выполнить вынесение общего множителя за скобки, а в скобках оставались одинаковые выражения, это обычно определяется устно.

Пример №15. Разложим на множители многочлен:

Сгруппируем, например, слагаемые первое с последним, а второе с третьим (можно было первое с третьим, а второе с последним):

Теперь видим, что в каждой группе есть множитель, который можно вынести за скобки:

В полученном выражении видно, что в обеих скобках есть сумма х и d, вынесем эту сумму снова за скобки:

Таким образом, мы получили произведение двух выражений, то есть разложили данный многочлен на множители.

Пример №16. Разложим на множители многочлен:

Сгруппируем по порядку, чтобы знаки у слагаемых в скобках были одинаковые:

Вынесем общий множитель в каждой группе:

Вынесем за скобки одинаковые выражения:

Пример №17. Разложим на множители многочлен:

Сгруппируем по порядку, обращая внимание на знак перед х 2 :

х 5 –х 3 –х 2 +1 =(х 5 –х 3 )–(х 2 –1)

Если перед первым слагаемым, которое мы заключаем в скобки, стоит знак «минус», то мы ставим его перед скобкой, а знаки у слагаемых в скобках изменяем на противоположные. Тогда у нас в обеих скобках получатся одинаковые знаки.

Выносим за скобки общий множитель. В данном случае он есть только в первых скобках:

х 5 –х 3 –х 2 +1 =(х 5 –х 3 )–(х 2 –1)= х 3 (х 2 –1)–(х 2 –1)

Выносим за скобки одинаковые выражения, обращая внимание на то, что перед второй скобкой не записан общий множитель, значит, он равен 1:

х 5 –х 3 –х 2 +1 =(х 5 –х 3 )–(х 2 –1)= х 3 (х 2 –1)–(х 2 –1)=(х 2 –1)(х 3 –1)

Источник

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Сумма и разность многочленов

Перечень рассматриваемых вопросов:

Числовое выражение – выражение, состоящее из чисел, знаков математических действий и скобок.

Значение числового выражения – результат выполненных арифметических действий в числовом выражении.

Одночлен – алгебраическое выражение, являющееся произведением букв и чисел

Множители одночлена – буквы и числа, входящие в состав одночлена.

Нулевой одночлен – одночлен, среди множителей которого есть число ноль.

Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в котором он представлен произведением числового множителя и натуральных степеней разных переменных.

Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называется коэффициентом одночлена.

Подобные одночлены – одночлены, которые состоят из произведения одних и тех же степеней, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).

Многочлен – сумма одночленов.

Каждый одночлен, являющийся слагаемым многочлена, называют членом многочлена.

Многочлен стандартного вида – это многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, среди которых нет подобных членов.

Разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются: все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого. Сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.

Основная литература:
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Перед нами следующее выражение 123+5 и 45-89. Можем ли между ними поставить знаки «+» или «–» и, соответственно, найти значение полученного выражения?

(123 + 5) + (45 – 89) = 84

(123 + 5) – (45 – 89) = 172

Оказывается, аналогичные арифметические операции можно выполнять и с многочленами, т.е. найти сумму и разность многочленов.

Посмотрим, как можно выполнить данные действия с многочленами.

Найдём многочлен равный сумме многочленов. Как это сделать?

Оказывается, сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.

Например, сумма многочленов (а + с) и (k + х) равна многочлену (а + с) + (k + х) или а + с + k + х. Последний переход от левой части к правой называют раскрытием скобок.

Найдём многочлен равный разности многочленов. Как это сделать?

Оказывается, разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого.

Например, разность двух многочленов а + с и k + х равна многочлену (а + с) – (k + х) или а + с – k – х. Последний переход от левой части к правой, так же как и при нахождении суммы, называют раскрытием скобок.

Рассмотрим правила раскрытия скобок.

Если перед скобками стоит знак плюс, то скобки можно опустить, не меняя знаки слагаемых, заключённых в скобки.

(а + с) + (х – у) = а + с + х – у

Если перед скобками стоит знак минус, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки, на противоположный.

(а + с) + (х – у) = а + с – х + у

Стоит обратить внимание, что если перед скобками нет никакого знака, то подразумевается, что стоит знак плюс.

(d + k) – (m + n) = d + k – m –n

Обратный переход от правой части к левой в похожих выражениях называют заключением в скобки.

Рассмотрим правило заключения в скобки:

Чтобы заключить многочлен в скобки со знаком плюс перед ними, надо записать в скобки все его члены с теми же знаками.

а – с – k – х = (а – с) + (-k – х)

А чтобы заключить многочлен в скобки со знаком минус перед ними, надо записать в скобки все его члены с противоположными знаками.

а – с – k – х = (а – с) – (k + х)

Рассмотрим, как использовать эти правила для преобразования многочлена в стандартный вид. Пример:

Преобразуем разность многочленов в многочлен стандартного вида

Для выполнения задания, сначала будем использовать правило раскрытия скобок при нахождении разности многочленов. А затем приведём полученный многочлен к стандартному виду.

Итак, сегодня мы получили представление о том, как найти сумму и разность многочленов и, используя правило раскрытия скобок, приводить многочлен к стандартному виду.

Задание на сумму и разность многочленов.

Выполним следующее задание по теме: «Сумма и разность многочленов».

Запишите такой многочлен, чтобы его сумма с многочленом 3х + 1 была равна 9х – 4.

Данное задание можно выполнить следующим образом.

Назовем неизвестный многочлен у, тогда можно составить следующее выражение, исходя из условия.

Раскроем скобки по правилу раскрытия скобок.

Приведём многочлен к стандартному виду.

Это и есть тот многочлен, который удовлетворяет условию задания.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Приведите многочлен к стандартному виду (аt 2 – 5t 2 ) – (10хt – 4t 2 ) + (5хt + 11аtt).

Решение: Для решения задания, вспомним правила раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+» или «–». Если знак «+», то скобки можно опустить, не меняя знак, а если перед скобкой знак «–», то скобки можно опустить, меняя знак каждого слагаемого в скобках. Далее приведём к стандартному виду полученный многочлен, выделив в нём подобные члены.

(аt 2 – 5t 2 ) – (10хt – 4t 2 ) + (5хt + 11аtt) = аt 2 – 5t 2 – 10хt + 4t 2 + 5хt +11аt 2 = 12аt 2 – t 2 – 5хt.

Ответ: 12аt 2 – t 2 – 5хt

2. Представьте выражение каким-либо способом в виде разности двучлена и трехчлена:

3x 4 – 12x 3 – 3x 2 + 5x – 14

При выполнении задания можно сначала проанализировать ответы. По условию выражение должно быть составлено в виде разности двучлена и трехчлена. Поэтому первый ответ не подходит, т. к. в нём представлена сумма.

Ответы два и три очень похожи. Для нахождения верного ответа, заключим в скобки исходное выражение, как в ответах 2 и 3. Т. к. мы найдем разность, то по правилу заключения в скобки со знаком минус перед ними, надо записать в скобки все его члены с противоположными знаками. Поэтому правильный ответ №3.

3x 4 – 12x 3 – 3x 2 + 5x – 14 = (3x 4 – 12x 3 ) – (3x 2 – 5x + 14)

Источник

Многочлен. Действия с многочленами.

Многочленом принято называть выражение которое является суммой нескольких одночленов. Рассмотрим примеры многочленов:

Если многочлен состоит из двух членов, то его называют двучленом:

Если из трех – трехчленом:

Договорились рассматривать одночлен как частный случай многочлена. Считают, что такой многочлен состоит из одного члена:

2x 3 ; 3 ; 0 ; 7x 5 y.

Если среди одночленов, составляющих многочлен есть подобные, то их принято называть подобными членами многочлена.

Такое упрощение называют приведением подобных членов многочлена. Подобное преобразование позволяет заменить многочлен на тождественно равный ему, но более простой – с меньшим количеством членов.

Сумма и разность многочленов.

Для того, чтобы преобразовать сумму и разность многочленов в многочлен стандартного вида, надо:

2) привести подобные члены

(подобные многочлены для удобства разбора выделены цветом)

Умножение и деление многочлена.

Каждый член многочлена умножить на одночлен и полученные произведения сложить (с учетом знаков слагаемых).

Деление многочлена на одночлен производится по аналогичному правилу.

Деление многочленов выполняется «углом», если степень многочлена-делимого не меньше степени многочлена делителя.

Источник