Что такое разность сторон
Существующие треугольники
Определение
Существующие треугольники — это такие треугольники,
существование которых можно доказать с помощью неравенств.
Например существование треугольника, изображенного на рисунке 1,
можно доказать с помощью неравенств: AB + BC > AC, AC + BC > AB, AB + AC > BC
Если эти три неравенства истинны значит треугольник существует,
иначе он не существует.
Также существование того или иного треугольника можно проверить с
помощью одного условия: Если большая сторона треугольника меньше
суммы двух других сторон, значит треугольник существует,
иначе он не существует.
Теорема
Для доказательства того, о чем мы говорили существует теорема под названием неравенство треугольника. Формулировка теоремы:
каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Докажем, что каждая сторона треугольника, изображенного на рисунке 2, меньше суммы двух других сторон:
Доказательство теоремы
Содержание:
Неравенство треугольника:
Опыт нам подсказывает, что путь из точки А в точку С по прямой АС короче, чем по ломаной ABC (рис. 255), т. е. АС 12+21 (рис. 258).
Замечание. Из неравенств треугольника 
следует, что 
то есть любая сторона треугольника больше разности двух других его сторон. Так, для стороны а справедливо 
Пример:
Внутри треугольника ABC взята точка М (рис. 259). Доказать, что периметр треугольника АМС меньше периметра треугольника ABC.
Решение:
Так как у треугольников ABC и АМС сторона АС — общая, то достаточно доказать, что AM + МС 
B (рис. 108, а).
2) Отложим на стороне АВ отрезок АF, равный стороне AC (рис. 108, б).
3) Так как АF 1.
4) Угол 2 является внешним углом треугольника ВFС, следовательно, 2 > B.
5) Так как треугольник FАС является равнобедренным, то 1 = 2.
Таким образом, BСА > 1, 1 = 2 и 2 > B.
Отсюда получаем, что ВСА > B.
Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
1) Пусть в треугольнике АBС С > B. Докажем, что АВ > АС (см. рис. 108, а). Доказательство проведем методом от противного.
2) Предположим, что это не так. Тогда: либо АВ = АС, либо АВ C.
В каждом из этих случаев получаем противоречие с условием: C > B. Таким образом, сделанное предположение неверно и, значит, АВ > АС.
Из данной теоремы следует утверждение: в прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы.
Действительно, гипотенуза лежит против прямого угла, а катет — против острого. Поскольку прямой угол больше острого, то по теореме 2 получаем, что гипотенуза больше катета.
Теорема 3 (признак равнобедренного треугольника). Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
Пусть в треугольнике два угла равны. Тогда равны стороны, лежащие против этих углов. В самом деле, если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то по теореме 1 угол, лежащий против этой стороны, будет больше угла, лежащего против другой стороны, что противоречит условию равенства углов.
Значит, наше предположение неверно и в треугольнике две стороны равны, т. е. треугольник является равнобедренным.
Неравенство треугольника
Докажем, что длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.
Теорема 4. Длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон.
1) Пусть ABC — произвольный треугольник. Докажем, например, что выполняется неравенство АВ l, следовательно, верно неравенство АВF > 2.
4) Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона (теорема 2), то АВ
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.