Что такое релятивистская теория

Релятивистская теория несимметричного поля

ЭЙНШТЕЙН (1955). РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ
НЕСИММЕТРИЧНОГО ПОЛЯ: ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

АННОТАЦИЯ
Эта посмертная статья 1955 года есть Научное Завещание Эйнштейна (1879-1955), в котором он отказывается от своего научного наследия и предлагает начать всю работу заново с разработки новой теории [1, 2]. «ОДНАКО СЕЙЧАС НИКТО НЕ ЗНАЕТ, КАК НАЙТИ ОСНОВУ ДЛЯ ТАКОЙ ТЕОРИИ» – констатирует Эйнштейн в конце статьи и своей жизни.

Итак, дорогие читатели предлагаю вам познакомиться в подлиннике о том, что думал Эйнштейн о своей научной работе в конце жизни, чтобы устранить все домыслы и спекуляции по этому вопросу. Его мнение расходится с общепринятой академической оценкой Общей Теории Относительности (ОТО), которая не была закончена Эйнштейном на пути к Единой Теории Поля (ЕТП) – теории Суперобъединения.

Поэтому на эту статью Эйнштейна практически нет ссылок, поскольку за прошедшее почти 70 лет идет беспрецедентное паразитирование научного сообщества на работах Эйнштейна по Общей теории относительности (ОТО), от которой сам Эйнштейн отказался в конце жизни. Но никто ничего не смог предложить принципиально нового, переписывая формулы Эйнштейна слева направо, и наоборот, в тысячах и десятках тысяч ничего не значащих для науки статей и книг.

Речь идет не об ошибочности фундаментальных идей Эйнштейна в области гравитации как деформации (искривлении) пространства-времени, которые незыблемы. А речь идет о математическом аппарате в виде тензорной модели ОТО (1913) предложенной Эйнштейну швейцарским математиком Марселем Гроссманом (1878-1936) и сыгравшей определенную роль в становлении ОТО. Этот математический аппарат оказался несовершенным, и его геометрическая интерпретация тяготения себя изжила уже к 1955 году, о чем констатирует Эйнштейн в своей статье. Этому способствовали неудачи Эйнштейна в создании Единой Теории Поля, используя тензорную модель ОТО, на разработку которой он безрезультатно потратил 30 лет жизни.

Поэтому нам важно знать Заключение Эйнштейна по этой статье в подлиннике, названное им как «ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ» всего на 1,5 страницах текста. Сама статья имеет 25 страниц и множество формул.

Именно «ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ» определили будущее развитие теоретической физики как создание в 1996-1999 годах теории Суперобъединения, которая включает в себя теорию квантовой гравитации [3, 4]. ТЕОРИЯ СУПЕРОБЪЕДИНЕНИЯ это есть основа НОВОЙ ТЕОРИИ, на необходимость создания которой указывал Эйнштейн в 1955 году. Этот научный прорыв удалось сделать благодаря открытию в 1996 году кванта пространства-времени (квантона) в форме тетракварка и созданию нового математического аппарата. Это касается и ОТО уже как Квантовой Теории Относительности (КТО). По этой теме читайте также статью Владимира Леонова «Посмертная фраза Эйнштейна» (2006) [5].

Аннотацию к статье Эйнштейна написал Владимир Леонов 29.09.2021.

Итак, далее читаем самого А. Эйнштейна:

А. ЭЙНШТЕЙН. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ (1955) [1]

А. С моей точки зрения, выложенная здесь теория является логически простейшей релятивистской теорией поля, возможной вообще. Но это не значит, что природа не может подчиняться более сложным теориям поля.

Более сложные теории поля предлагались часто. Их можно классифицировать по следующим характерным признакам.
а) Увеличение числа измерения континуума. В этом случае необходимо объяснить, почему континуум очевидным образом ограничен четырьмя измерениями;
6) Введение полей иного рода (например, векторного поля) в дополнение к полю смещений и тензорному полю g^ik (или g^ik);
в) Введение уравнений поля высшего порядка (в смысле дифференцирования).

На мой взгляд, подобные более сложные теории в их комбинации следует рассматривать только в том случае, если для этого будут существовать физические причины, основанные на эксперименте.

Б. Теория поля еще не вполне определяется системой уравнений поля. Надо ли признавать наличие сингулярностей? Следует ли постулировать граничные условия? Что касается первого вопроса, то мое мнение заключается в следующем: сингулярности должны быть исключены. Мне не кажется разумным вводить в теорию континуума точки (или линии и т. п.), для которых уравнения поля не выполняются. Кроме того, введение сингулярностей эквивалентно постулированию граничных условий (произвольных с точки зрения уравнений поля) на «поверхностях», окружающих сингулярности. Без такого постулата теория будет слишком неопределенной. Ответ на второй вопрос, по-моему, заключается в том, что постулирование граничных условий является обязательным. Я продемонстрирую это на элементарном примере. Можно сравнить постулат о потенциале вида ф=m/r с утверждением, что вне материальных точек (в трех измерениях) выполняется уравнение ф = 0. Но если не прибавить граничное условие, согласно которому ф обращается в нуль (или остается конечным) на бесконечности, то будут существовать решения, представляющие собой целые функции x [например, x1^2—1/2 (x2^2 + x3^2)] неограниченно возрастающие на бесконечности. Исключить такие поля можно, только постулируя граничное условие в случае, если пространство «открытое».

В. Можно ли думать, что теория поля позволит понять атомистическую и квантовую структуру реальности? Почти каждый ответит на этот вопрос «нет». Но я полагаю, что по этому поводу в настоящее время никому не известно ничего достоверного, поскольку мы не знаем, каким образом, и в какой степени исключение сингулярностей сокращает множество решений. У вас вообще нет никакого метода для систематического получения решений, свободных от сингулярностей. Приближенные методы здесь не идут в счет, так как никогда не известно, существует ли для частного приближенного решения точное решение, свободное от сингулярностей. По этой причине мы не можем в настоящее время сравнивать с опытом содержание нелинейной теории поля. Здесь может помочь только существенный прогресс в математических методах. В настоящее время преобладает мнение, что теорию поля сначала необходимо перевести квантованием в статистическую теорию вероятностей, следуя более или менее установленным правилам. Я вижу в этом лишь попытку описывать линейными методами соотношения существенно нелинейного характера.

Г. Можно убедительно доказать, что реальность вообще не может быть представлена непрерывным полем. Из квантовых явлений, по-видимому, следует, что конечная система с конечной энергией может полностью описываться конечным набором чисел (квантовых чисел). Это, кажется, нельзя совместить с теорией континуума и требует для описания реальности чисто алгебраической теории. ОДНАКО СЕЙЧАС НИКТО НЕ ЗНАЕТ, КАК НАЙТИ ОСНОВУ ДЛЯ ТАКОЙ ТЕОРИИ [1, 2].

Источник

Основы релятивистской теории: философско-мировоззренческий аспект

Релятивистская механика – раздел физики, рассматривающий законы механики (законы движения тел и частиц) при скоростях, сравнимых со скоростью света. При скоростях значительно меньших скорости света переходит в классическую (ньютоновскую) механику.

Релятивистская механика – теория, в которой, в отличие от классической механики, где пространственные координаты и время являются независимыми (время является абсолютным, то есть течёт одинаково во всех системах отсчёта) и действуют преобразования Галилея, события происходят в четырёхмерном пространстве, объединяющем физическое трёхмерное пространство и время (пространство Минковского) и действуют преобразования Лоренца. Таким образом, в отличие от классической механики, одновременность событий зависит от выбора системы отсчёта.

Основные законы релятивистской механики – релятивистское обобщение второго закона Ньютона и релятивистский закон сохранения энергии-импульса являются следствием такого «смешения» пространственных и временной координат при преобразованиях Лоренца.

Специа́льная тео́рия относи́тельности (СТО) (ча́стная тео́рия относи́тельности; релятивистская механика) — теория, описывающая движение, законы механики и пространственно-временные отношения при скоростях движения, близких к скорости света. В рамках специальной теории относительности классическая механика Ньютона является приближением низких скоростей. Обобщение СТО для гравитационных полей называется общей теорией относительности.

Специальная теория относительности была разработана в начале XX века усилиями Г. А. Лоренца, А. Пуанкаре, А. Эйнштейна и других учёных [2] (см. ниже исторический очерк). Экспериментальной основой для создания СТО послужил опыт Майкельсона. Его результаты оказались неожиданными для классической физики своего времени: независимость скорости света от системы отсчёта. Попытка интерпретировать этот результат в начале XX века вылилась в пересмотр классических представлений, и привела к созданию специальной теории относительности.

При движении с околосветовыми скоростями видоизменяются законы динамики. Второй закон Ньютона, связывающий силу и ускорение, должен быть модифицирован при скоростях тел, близких к скорости света. Кроме этого, выражение для импульса и кинетической энергии тела имеет более сложную зависимость от скорости, чем в нерелятивистском случае.

В отличие от классической механики единое время можно ввести только в рамках данной системы отсчёта. В СТО не предполагается, что время является общим для различных систем. В этом состоит основное отличие аксиоматики СТО от классической механики, в которой постулируется существование единого (абсолютного) времени для всех систем отсчёта.

Пространство в инерциальных системах отсчёта предполагается изотропным (нет выделенных направлений).

Ключевым для аксиоматики специальной теории относительности является принцип относительности, утверждающий равноправие инерциальных систем отсчёта. Это означает, что все физические процессы в инерциальных системах отсчёта описываются одинаковым образом.

Тот факт, что СТО может быть построена на подмножестве аксиом классической механики, доказывает её непротиворечивость, точнее, сводит проблему доказательства непротиворечивости СТО к доказательству непротиворечивости классической механики.

Если два разнесённых в пространстве события (например, вспышки света) происходят одновременно в движущейся системе отсчёта S’, то они будут неодновременны относительно «неподвижной» системы S.

Специальная теория относительности лежит в основе всей современной физики. Поэтому, какого-либо отдельного эксперимента, «доказывающего» СТО нет. Вся совокупность экспериментальных данных в физике высоких энергий, ядерной физике, спектроскопии, астрофизике, электродинамике и других областях физики согласуется с теорией относительности в пределах точности эксперимента. Например, в квантовой электродинамике (объединение СТО, квантовой теории и уравнений Максвелла) значение аномального магнитного момента электрона совпадает с теоретическим предсказанием с относительной точностью 10 − 9 [23].

Фактически СТО является инженерной наукой. Её формулы используются при расчёте ускорителей элементарных частиц. Обработка огромных массивов данных по столкновению частиц, двигающихся с релятивистскими скоростями в электромагнитных полях, основана на законах релятивистской динамики, отклонения от которых обнаружено не было. Поправки, следующие из СТО и ОТО, используются в системах спутниковой навигации (GPS). СТО лежит в основе ядерной энергетики, и т. д.

Всё это не означает, что СТО не имеет пределов применимости. Напротив, как и в любой другой теории, они существуют, и их выявление является важной задачей экспериментальной физики. Например, в теории гравитации Эйнштейна (ОТО) рассматривается обобщение псевдоевклидового пространства СТО на случай пространства-времени, обладающего кривизной, что позволяет объяснить большую часть астрофизических и космологических наблюдаемых данных. Существуют попытки обнаружить анизотропию пространства и другие эффекты, которые могут изменить соотношения СТО [24]. Однако необходимо понимать, что если они будут обнаружены, то приведут к более общим теориям, предельным случаем которых снова будет СТО. Точно также при малых скоростях верной остаётся классическая механика, являющаяся частным случаем теории относительности. Вообще, в силу принципа соответствия, теория, получившая многочисленные экспериментальные подтверждения, не может оказаться неверной, хотя, конечно, область её применимости может быть ограничена.

Время и пространство не являются независимыми понятиями, а образуют единый четырёхмерный континуум — пространство-время Минковского, которое является псевдоевклидовым пространством.

Так была дискредитирована идея привилегированной абсолютной системы отсчёта, убеждение, что в некоторой абсолютной системе отсчёта при регистрации движения и при измерении скорости мы получаем «истинные» данные, а в других системах отсчёта движение и покой представляют лишь кажущиеся состояния. Так была завершена коперниканская революция, отнявшая у Земли её абсолютную неподвижность, а у системы отсчёта, в которой Земля неподвижна, — её привилегированный характер. Когда Коперник и Галилей показали людям, что движение тел, каким оно представляется при наблюдении с Земли и при измерении в системах отсчёта, привязанных к Земле, не имеет абсолютного характера, дальнейшее развитие идей относительности уже не могло никого поразить. Но ликвидация последней линии укреплений, защищавших абсолютное движение, потребовала признания самой парадоксальной картины мира, которую можно себе представить, — картины движения света с одной и той же скоростью в системах, которые сами движутся одна относительно другой.

В теории относительности появляется иная оценка классической механики. Дело не в том, что объяснение природы не может свестись к решению простых механических задач. Дело в том, что старые законы механики оказываются неточными, строго говоря — всегда неверными. Поэтому здесь уже нельзя говорить о двух равноправных взглядах на физические явления. Здесь речь идёт о выборе нового исходного образа картины мира. Вопрос идёт не о сводимости или несводимости сложных закономерностей к исходному, самому простому и элементарному закону, а о том, каков именно этот закон. Если он отличается от ранее известного «очевидного» закона, то парадоксальная ситуация не может быть устранена разделом сфер влияний. Вместо равноправных аспектов появляется их иерархия.

Аналогичным образом обстояло дело и с другими теориями, на которые опирался Эйнштейн, он утверждал преемственность физических теорий.

Пространство и время считались не зависимыми не только от явлений протекающих в материальном мире, но и друг от друга. Это субстанциальная концепция в этой концепции, как уже говорилось ранее, пространство и время являются самостоятельными по отношению к движущейся материи и не зависят друг от друга, подчиняются лишь собственным закономерностям.

Источник

ОТО А. Эйнштейна и теория гравитации А. Логунова

2. Критикует ОТО академик А. Логунов

1. Оперируя по правилам ОТО [1], можно выбрать такую систему координат, в которой все компоненты тензора энергии-импульса гравитации превращаются в нуль. А это для претендующей на фундаментальность теории – катастрофа, т.к. нарушаются физические законы сохранения. Имеются в виду физические системы, не имеющие асимптотического приближения к псевдоевклидову пространству, как в случае, например, гармонических координат В.А. Фока.
2. Предсказания ОТО для конкретных гравитационных эффектов неоднозначны. В качестве примера можно сослаться на определение времени запаздывания сигнала при локации Меркурия и Венеры. Причина неоднозначности – произвол в выборе координатных условий для конкретной задачи. Авторы [2] утверждают, что ОТО органически неспособна давать однозначные предсказания гравитационных эффектов».
Критику ОТО Эйнштейна можно продолжать ещё и далее, однако и одного этого достаточно для того, чтобы признать полную её несостоятельность как фундаментальной физической теории. Панегерики же ОТО в популярной и научной литературе, на мой взгляд – осознанная (главным образом), хорошо проплаченная и вредоносная для науки дезинформация.

3. Релятивистская теория гравитации А. Логунова

РТГ Логунова базируется на следующих положениях:
1. Пространство Минковского есть фундаментальное пространство.
2. Гравитационное поле в указанном пространстве описывается симметричным тензором второго ранга и является реальным физическим полем, обладающим плотностью энергии-импульса, ненулевой массой покоя и спиновыми состояниями 2 и 0.
3. Движение вещества под действием гравитационного поля в пространстве с метрикой эквивалентно его движению в эффективном римановом пространстве с соответствующей метрикой, определяемой «подключением» гравитационного поля к метрическому тензору по принципу геометризации.
4. Даётся способ определения плотности лагранжиана.
На этом базисе РТГ Логунова строится однозначно. О её предсказаниях можно почитать в [3].

4. Космология в ОТО А. Эйнштейна и РТГ А. Логунова

Для описания чёрной дыры средствами ОТО пришлось использовать метрический тензор, связанный со сферической системой отсчёта координат, начало которой расположено в центре тяжёлого коллапсирующего тела. Но есть и другие варианты ОТО. У К. Гёделя четырёхмерное пространственно-временное многообразие не распадается однозначно на пространство и время, т. е. пространственные координаты не ортогональны к мировым линиям движения. Модель имеет такое же право на существование, как и модель расширяющейся Вселенной А.А. Фридмана. Но что же тогда, возникает вопрос, происходит на самом деле во Вселенной с точки зрения ОТО. – А что, хотите, то мы вам «докажимо»!.
РТГ Логунова не страдает такой неоднозначностью. Все предсказываемые ею эффекты в масштабах Солнечной системы совпадают с предсказаниями, получаемыми средствами ОТО. Не то в космологии.
В космологии Логунова открылось новое свойство не только замедлять действием гравитации ход времени, но и останавливать процесс замедления, а, следовательно, процесс сжатия вещества. Возникает явление «самоограничения» гравитационного поля, которое играет важную роль во Вселенной. Согласно РТГ, однородная и изотропная Вселенная может быть только «плоской» и развивается циклически от некоторой максимальной плотности до минимальной и т. д. При этом теория устраняет известные проблемы ОТО: сингулярности, причинности, плоскостности. Эффект «самоограничения» поля исключает возможность образования «чёрных дыр», теория предсказывает существование «тёмной» материи.
Феномен красного смещения связан с моделью Фридмана. Но попытка совместить её с эффектом Доплера приводит к логическому противоречию. Эффект Доплера имеет место лишь в том случае, если удаляющиеся друг от друга скопления галактик перемещаются в пространстве. Если же астрофизические объекты удаляются друг от друга из-за того, что расширяется само пространство, то эффект Доплера вообще наблюдать невозможно, поскольку масштабные линейки будут изменяться по тем же самым законам, которые управляют изменением пространства. Поэтому в современной космологии, основанной на решении уравнений ОТО, возникает бесконечная теоретическая путаница.
В РТГ Логунова феномен красного смещения объясняется гравитационным эффектом. Согласно решению уравнений, составленных по правилу сочетания двух метрических тензоров, материя во Вселенной, при рассмотрении её в крупномасштабном плане, покоится. Гравитационное поле претерпевает циклическое изменение во времени. Наличие этого циклического процесса объясняется тем, что гравитоны обладают собственной массой, которая оценивается величиной порядка 10-66 г.
Когда Вселенная находится в фазе уменьшения интенсивности гравитационного поля, электромагнитный сигнал, приходящий из некоторой удалённой точки Вселенной к наблюдателю, попадает в то место пространства, где частоты электромагнитных излучений оказываются выше соразмерно той длительности, которая требуется для распространения сигнала. Отсюда частотная разница в стандартном спектре и спектре приходящего издали сигнала.

5. Критика теории гравитации А. Логунова
5.1. РТГ отрицает чёрные дыры, хотя богатые наблюдательные данные не оставляют этому «перлу теории» никаких шансов.
5.2. Более чем сомнительны и выводы по красному смещению. Взять хотя бы Туманность Андромеды с фиолетовым смещением, которая столкнётся с нашей галактикой Млечный путь через 4 миллиарда лет. А ведь есть и другие подобные объекты.

1. На сегодня у физиков нет такой теории гравитации, которая бы «честно» без подгонок объяснила хотя бы часть наблюдательных данных. О способности же теорий гравитации к выполнению своей главной функции – предсказанию новых эффектов, приходится только мечтать.
2. В ближайшие 20-30 лет трудно ожидать какого-либо прорыва в теории гравитации. «Истина – дочь Времени», а оно сейчас таково, что загадок тьма, а светлых идей не густо. Мы не знаем толком, что такое эфир (физический вакуум), чёрные дыры, тёмная материя, какова природа красного смещения, что такое магнитное поле и т.д. и т.п. У нас нет сегодня даже общепринятой теории электромагнитного поля. Электродинамика Фарадея-Максвелла тупик – она не знает даже того, что магнитное поле имеет две компоненты и не может объяснить десятки простейших явлений…
Разве можно, не решив всех этих вопросов, создать разумную (хоть в какой-то степени) теорию гравитации? – Да вряд-ли кто-либо из современных эйнштейнов порадует нас таким чудом из чудес.

Источник

Несколько слов о физических теориях как приближениях реального мира

Предисловие

Решил написать небольшую статью, рассматривающую современный уровень развития некоторых физических теорий (в моём уровне понимания) в контексте сравнения с теориями, названными классической нерелятивистской физикой.

В первую очередь хочу указать, что классической нерелятивистской физикой я называю часть теоретической физики, которая была создана в второй половине XVIII — первой половине XIX века Лагранжем, Гамильтоном и позже расширены другими физиками в течении XIX века (я тут не упоминаю имена этих физиков, которые могли способствовать приведению теории и её мат. аппарата к современному виду, включая уроженцев Российской империи).

Классическая нерелятивистская механика и теория гравитации

Основы классической механики были заложены И. Ньютоном, сформулировавшим свои «3 закона» в труде «Математические начала натуральной философии» (год издания — 1687), хотя следует упомянуть принцип относительности, сформулированный Г. Галилеем в 1632 году (тоже использую год издания).

В самом простейшем случае можно сказать, что механика Ньютона (как и Лагранжа, и Гамильтона) может быть сформулирована в виде:

где p — это импульс, в общем случае — так называемый «обобщенный импульс», а F — сила. В отсутствии магнитного поля (а слабое или сильное взаимодействие я здесь тем более не упоминаю) эта сила может быть консервативной. Консервативной называется такая сила, работа которой на любой траектории не зависит от формы траектории и скорости движения (это в том числе отсылка к релятивистской динамике, фактически получается, что в СТО не существует понятия «консервативная сила»).

Для консервативных сил упомянутый выше закон может быть переписан в виде

где x — обобщенная координата, а p — соответствующий ей обобщенный импульс.

Подобная формулировка «2 закона Ньютона» является более общей, т. к. она получается при записи уравнения Лагранжа или уравнения Гамильтона. Уравнения Лагранжа и Гамильтона выводятся из принципа наименьшего действия. Действие — интеграл, который имеет размерность Дж *с и берется между 2 конфигурациями системы, то есть наборами координат и импульсов (x,p). В общем случае он выражается разными способами для разных подходов к классической механике.

Если говорить о классической теории гравитации, то она формулируется в виде закона гравитации Ньютона (через силу, а можно и записать через потенциальную энергию)

где сила действует в направлении притягивающего тела (этим сила гравитации отличается от электрической силы, которая создает отталкивание для одинаковых зарядов).

Формулировка закона гравитации через потенциальную энергию может быть выражена простейшей фразой:

Сумма кинетической энергии T(v) и потенциальной энергии U(r) остается постоянной все время движения частицы (системы частиц) вдоль их траектории.
Из этого закона можно получить простейшее уравнение:

В том случае, если мы смогли свести задачу к 1-мерной координате r (расстояние между центрами масс этих 2 тел) — мы можем записать решение задачи через интеграл:

Дальнейший метод решения — взять корень и дальше получаем простейшее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Тут возникает 2 проблемы:

Сила Лоренца (деленная на электрический заряд частицы) тут интересна тем, что является по сути приближением для понятия «напряженность электрического поля E в системе отсчета частицы, движущейся со скоростью v» для скоростей v, много меньших скорости света.

Специальная теория относительности

Специальная теория относительности (СТО) была создана в 1892-1905 годах трудами Х. Лоренца, А. Пуанкаре и А. Эйнштейна. Описывает инерциальные системы отсчета (ИСО), строго говоря её постулаты нарушаются сразу, как только система отсчета перестает быть инерциальной (характер движения системы перестает быть равномерным и прямолинейным). В квантовой теории поля (по моему скромному пониманию) работает такой «закон», что после нахождения СО в состоянии неинерциального движения первый из упомянутых ниже постулатов перестает выполняться вообще, даже на время будущего равномерного и прямолинейного движения.
Наверное все помнят постулаты СТО, из которых выводятся преобразования Лоренца, но я сформулирую их следующим образом:

Она описывает связь между энергией частицы, импульсом и массой покоя.

Одно из следствий СТО — частица с массой покоя выше 0 не может достигнуть скорости света, хотя ещё энергия может расти выше «классического» предела

Данное утверждение согласуется с тем фактом, что элементарная частица может иметь кинетическую энергию, которая существенно больше этой величины.

И конечно следует упомянуть метрику Лоренца, также известную, как метрика Минковского:

Через эту метрику можно ввести понятие «длина 4-вектора», к 4-векторам относятся:

В этом случае я применил систему обозначений, при которой время измеряется в метрах, а скорость света равна единице. То есть, «хорошая» запись 4-вектора требует, чтобы он состоял из 4 величин одинаковой размерности.

Важное свойство любого 4-вектора — его значение при переходе в другую систему отсчета преобразуется так же, как соответствующие компоненты 4-координаты.

В электродинамике существует такая величина, как 4-мерная плотность тока. Вектор 4-тока может быть записан в виде:

Также следует упомянуть, что существуют ковариантные (как первая запись 4-тока) и контравариантные (как вторая запись) вектора. Переход между этими векторами осуществляется по формуле:

здесь применено соглашение Эйнштейна, которое означает, что в этой записи подразумевается суммирование по паре одинаковых индексов, расположенных в верху и внизу.

И так как статья о приближениях, конечно упомяну, как можно показать приближение СТО к механике Ньютона и как можно использовать. Из формулы (1) можно выразить энергию через импульс:

Кинетическую энергию можно выразить как разницу между полной энергией E и энергией покоя:

И в приближении p * я тут применил в смысле комплексного сопряжения. Конечно по определению не очень хорошо вводить метрику с комплексными элементами тензора, но физика не всегда оперирует действительными величинами, так что оставлю выражение в таком виде. В общем случае можно попробовать подставить в уравнения вообще любой (то есть не действительный) вид метрики, но Вы тогда можете получить комплексный тензор энергии-импульса. Все компоненты метрического тензора могут зависеть от координат, но при этом эти зависимости должны оставаться достаточно гладкими, так как тензор является решением дифференциального уравнения.

Понятие кривизны пространства-времени вводится в ОТО через такие понятия, как символы Кристоффеля и ковариантную производную (в необходимом мне смысле ковариантная производная записана здесь).

Тензор кривизны впервые введен немецким математиком Бернхардом Риманом в работе «Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen» ([1]), впервые опубликованной уже после смерти Римана. С помощью упомянутых выше символов этот тензор четвертого ранга можно записать в таком виде:

И достаточным условием того, что все компоненты тензора кривизны будут равны нулю, будет равенство нулю всех символов Кристоффеля:

Тривиальным условием для выполнения этого будет диагональность матрицы g и условие для любой перестановки индексов

Теперь перейду к тому, как получить пространство-время с нулевым тензором кривизны, а точнее — тензором Риччи. Тензором Риччи называют свертку тензора кривизны по первому и последнему индексу:

Забегая вперед скажу, что согласно уравнению Эйнштейна нулевой тензор Риччи может быть только в пустом пространстве (когда все компоненты тензора энергии-импульса равны нулю). В таком пространстве мы не получим гравитации по теории Ньютона. Желающие могут попробовать найти такую метрику, которая отличная от метрики Минковского, но сохраняет нулевой тензор Риччи. Возможно, что Вы откроете гравитационные волны.

Проведя свертку тензора Риччи по оставшимся 2 индексам мы получим скалярную кривизну:

Теперь перейду к самому уравнению Эйнштейна, также известному как уравнение Эйнштейна-Гильберта.

Цитата из Википедии:

Летом 1915 года Эйнштейн приехал в Гёттингенский университет, где прочитал ведущим математикам того времени, в числе которых был и Гильберт, лекции о важности построения физической теории гравитации и имевшихся к тому времени у него наиболее перспективных подходах к решению проблемы и её трудностях. Между Эйнштейном и Гильбертом завязалась переписка с обсуждением данной темы, которая значительно ускорила завершение работы по выводу окончательных уравнений поля. До недавнего времени считалось, что Гильберт получил эти уравнения на 5 дней раньше, но опубликовал позже: Эйнштейн представил в Берлинскую академию свою работу, содержащую правильный вариант уравнений, 25 ноября, а заметка Гильберта «Основания физики» была озвучена 20 ноября 1915 года на докладе в Гёттингенском математическом обществе и передана Королевскому научному обществу в Гёттингене, за 5 дней до Эйнштейна (опубликована в 1916 году). Однако в 1997 году была обнаружена корректура статьи Гильберта от 6 декабря, из которой видно, что Гильберт выписал уравнения поля в классическом виде не на 5 дней раньше, а на 4 месяца позже Эйнштейна. В ходе завершающей правки Гильберт вставил в свою статью ссылки на параллельную декабрьскую работу Эйнштейна, добавил замечание о том, что уравнения поля можно представить и в ином виде (далее он выписал классическую формулу Эйнштейна, но без доказательства).

При выводе уравнения гравитационного поля ученые применили 2 принципа:

Эти утверждения я считаю доказанными учеными. Другие ученые могли вводить модификацию действия Эйнштейна, наиболее известный пример — теория Бранса-Дикке. Достаточных доказательств этих теорий в наблюдениях пока не получено. Желающие изучить саму теорию могут почитать например здесь.
С учетом введенных выше обозначений уравнение Эйнштейна можно записать в следующем виде:

где G — гравитационная постоянная. Краткий смысл уравнения можно сформулировать так:

Квантовая механика

Квантовая механика была создана физиками для описания микроскопических систем. Одним из первых достижений квантовой теории, подтверждавшейся в наблюдаемых данных, была полуклассическая модель атома Н. Бора, созданная в 1913 году. Я применю для записи уравнений квантовой механики такую вольность — обозначу приведенную постоянную Планка буквой h (вместо символа «h с чертой»). Постулат теории Бора, имеющий минимальное отношение к настоящей квантовой механике, это постулат о квантовании момента импульса электрона массы m на «орбитах» в атоме:

где n — натуральное число (в настоящей квантовой механике момент импульсам может быть 0, но это число n, называемое «главное квантовое число», является натуральным).

Дальнейшим этапом развития квантовой механики было формулирование Э. Шрёдингером уравнения, названного позднее его именем. Это уравнение записывается через особый оператор, называемый «гамильтониан». Оператор получатся из функции Гамильтона путем замены классического импульса на оператор импульса:

где x — обобщенная координата, соответствующая классическому обобщенному импульсу p_x.

В общем случае уравнение Шрёдингера записывается для волновой функции (обозначается греческой буквой «пси») как нестационарное:

здесь применен частный случай, когда в функции Гамильтона классической системы обобщенный импульс имеет вид обычного классического импульса. А для случая консервативных систем уравнение Шрёдингера может быть записано в стационарной форме, которая может рассматриваться как уравнение для нахождения собственных функций и собственных значений оператора Гамильтона:

где E — соответствующее собственное значение оператора.

Для рассмотрения перехода от квантовой механики к классической рассмотрим замену волновой функции в уравнении Шрёдингера на следующую переменную:

Уравнение Шрёдингера можно решать путем разложения функции S (имеющей размерность действия) по степеням постоянной Планка:

После подстановки функции S в уравнение получает следующий вид:

где константа A была сокращена.

Для получения уравнения классической механики (известного как уравнение Гамильтона-Якоби) нам следует указать, что величина действия S на любой классической траектории имеет величину много больше, чем постоянная Планка. После этого последний член уравнения может быть откинут.

При необходимости более точного решения уравнения применяется упомянутое выше разложение действия по степеням h. Функция S₁ находится как решение уравнения Гамильтона-Якоби, после чего подставляется в систему уравнений, полученную путем разложения уравнения по степеням h (то есть что левая и правая часть должна совпасть или при переносе в одну сторону коэффициенты условного полинома должны стать равны нулю).

Идеология приближенного решения уравнения Шрёдингера (точнее — нахождения поправок к уровням энергии) может быть сформулирована так:
Используя волновые функции невозмущенного гамильтониана H₀ и величину возмущения H₁ (равную H — H₀) путем нескольких итераций можно найти новые уровни энергии E.

Гамильтониан физической системы представляется в виде:

где… подразумевают, что в разных случаях нам требуется учесть разное число поправок, которые, как правило, имеют разный порядок малости. Эти поправки к гамильтониану называются возмущениями, а волновые функции гамильтониана H₁ должны быть точно известны. Соответствующая теория решения уравнения называется «теория возмущений«.
Если нам известны волновые функции гамильтониана H₁, то они образуют базис линейного пространства (ЕМНИП). Это означает, что вообще любая волновая функция может быть представлена в виде линейной комбинации волновых функций невозмущенного гамильтониана. С учетом этого можно показать, что первый порядок теории возмущений приводит к изменению энергии уровня под номером n на величину

$» data-tex=»display»/>

Данное выражение называется матричным элементом оператора H₂ по волновым функциям, соответствующим состояниям с номерами n и n.

Самое первое (по времени открытия) и (ЕМНИП) самое большое по величине отклонение уровней энергии атома водорода от предсказания нерелятивистской квантовой механики может быть получено при условии подстановки в виде возмущения гамильтониана системы оператора кинетической энергии в форме формулы (2):

$» data-tex=»display»/>

Вы могли увидеть, что эта величина отрицательна. Тут есть 2 замечания. Во первых, оператор импульса здесь соответствует релятивистскому импульсу, который может превысить mc — значит в релятивистском случае растет и первый член в разложении кинетической энергии. Во вторых, к тому моменту, как формула 2 начинает падать с ростом импульса, Вы точно знаете, что должны были учесть:

Вместо послесловия

На этом я заканчиваю свой обзор, так как он приблизился к границам моей области знаний. Но наука не стоит на месте. За 100 лет после формулировки ОТО были открыты гравитационные волны, а за 100 лет после формулировки постулатов Бора был открыт целый набор элементарных частиц и, фактически, 3 новых фундаментальных взаимодействия. СТО и квантовая механика уже нашли применение в практических устройствах (речь идет не только про экспериментальные научные установки, но и про множество оптических устройств).

Список упомянутых источников:
1. Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, vol. 13, 1867

Источник