Что такое сечение пирамиды
Пирамида
Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.
Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.
Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).
Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.
Некоторые свойства пирамиды
1) Если все боковые ребра равны, то
– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр
– боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы
Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.
Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.
Виды пирамид
Для правильной пирамиды справедливо:
– боковые ребра правильной пирамиды равны;
– в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;
– в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;
– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.
Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.
Узнать ещё
Знание — сила. Познавательная информация
Как построить сечение пирамиды
Разберем, как построить сечение пирамиды, на конкретных примерах. Поскольку в пирамиде нет параллельных плоскостей, построение линии пересечения (следа) секущей плоскости с плоскостью грани чаще всего предполагает проведение прямой через две точки, лежащие в плоскости этой грани.
В простейших задачах требуется построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки, уже лежащие в одной грани.
Построить сечение плоскостью (MNP)
Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.
Треугольник MNP — сечение пирамиды
Точки M и N лежат в одной плоскости ABS, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MN. Он видимый, значит, соединяем M и N сплошной линией.
Точки M и P лежат в одной плоскости ACS, поэтому через них проведем прямую. След — отрезок MP. Мы его не видим, поэтому отрезок MP проводим штрихом. Аналогично строим след PN.
Треугольник MNP — искомое сечение.
Если точка, через которую требуется провести сечение, лежит не на ребре, а на грани, то она не будет концом следа-отрезка.
Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки B, M и N, где точки M и N принадлежат, соответственно, граням ABS и BCS.
Здесь точки B и M лежат в одной грани ABS, поэтому можем через них провести прямую.
Аналогично проводим прямую через точки B и P. Получили, соответственно, следы BK и BL.
Точки K и L лежат в одной грани ACS, поэтому через них можем провести прямую. Ее след — отрезок KL.
Треугольник BKL — искомое сечение.
Однако не всегда через данные в условии точки удается провести прямую. В этом случае нужно найти точку, лежащую на прямой пересечения плоскостей, содержащих грани.
Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.
Точки M и N лежат в одной плоскость ABS, поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN. Аналогично — NP. Оба следа видимые, поэтому соединяем их сплошной линией.
Точки M и P лежат в разных плоскостях. Поэтому соединить их прямой не можем.
Продолжим прямую NP.
Она лежит в плоскости грани BCS. NP пересекается только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. Таких прямых у нас три: BS, CS и BC. С прямыми BS и CS уже есть точки пересечения — это как раз N и P. Значит, ищем пересечение NP с прямой BC.
Точку пересечения (назовем ее H), получаем, продолжая прямые NP и BC до пересечения.
Эта точка H принадлежит как плоскости (BCS), поскольку лежит на прямой NP, так и плоскости (ABC), поскольку лежит на прямой BC.
Таким образом мы получили еще одну точку секущей плоскости, лежащей в плоскости (ABC).
Через H и точку M, лежащую в этой же плоскости, можем провести прямую.
T — точка пересечения прямых MH и AC.
Так как T принадлежит прямой AC, то через нее и точку P можем провести прямую, так как они обе лежат в одной плоскости (ACS).
4-угольник MNPT — искомое сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки M,N,P.
Мы работали с прямой NP, продлевая ее для отыскания точки пересечения секущей плоскости с плоскостью (ABC). Если работать с прямой MN, приходим к тому же результату.
Рассуждаем так: прямая MN лежит в плоскости (ABS), поэтому пересекаться может только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. У нас таких прямых три: AB, BS и AS. Но с прямыми AB и BS уже есть точки пересечения: M и N.
Значит, продлевая MN, ищем точку пересечения ее с прямой AS. Назовем эту точку R.
Точка R лежит на прямой AS, значит, она лежит и в плоскости (ACS), 
которой принадлежит прямая AS.
Поскольку точка P лежит в плоскости (ACS), через R и P можем провести прямую. Получаем след PT.
Точка T лежит в плоскости (ABC), поэтому через нее и точку M можем провести прямую.
Таким образом, получили все то же сечение MNPT.
Рассмотрим еще один пример такого рода.
Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.
Через точки M и N, лежащие в одной плоскости (BCS), проводим прямую. Получаем след MN (видимый).
Через точки N и P, лежащие в одной плоскости (ACS), проводим прямую. Получаем след PN (невидимый).
Через точки M и P прямую провести не можем.
1) Прямая MN лежит в плоскости (BCS), где есть еще три прямые: BC, SC и SB. С прямыми SB и SC уже есть точки пересечения: M и N. Поэтому ищем точку пересечения MN с BC. Продолжив эти прямые, получаем точку L.
Точка L принадлежит прямой BC, а значит, она лежит в плоскости (ABC). Поэтому через L и P, которая также лежит в плоскости (ABC) можем провести прямую. Ее след — PF.
F лежит на прямой AB, а значит, и в плоскости (ABS). Поэтому через F и точку M, которая также лежит в плоскости (ABS), проводим прямую. Ее след — FM. Четырехугольник MNPF — искомое сечение.
2) Другой путь — продолжить прямую PN. Она лежит в плоскости (ACS) и пересекается с прямыми AC и CS, лежащими в этой плоскости, в точках P и N.
Значит, ищем точку пересечения PN с третьей прямой этой плоскости — с AS. Продолжаем AS и PN, на пересечении получаем точку E. Поскольку точка E лежит на прямой AS, принадлежащей плоскости (ABS), то через E и точку M, которая также лежит в (ABS), можем провести прямую. Ее след — FM. Точки P и F лежат водной плоскости (ABC), проводим через них прямую и получаем след PF (невидимый).
Что такое пирамида: определение, элементы, виды, варианты сечения
В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы, виды и возможные варианты сечения пирамиды. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.
Определение пирамиды
Пирамида – это геометрическая фигура в пространстве; многогранник, который состоит из основания и боковых граней (с общей вершиной), количество которых зависит от количества углов основания.
Примечание: пирамида – это частный случай конуса.
Элементы пирамиды
Развёртка пирамиды – фигура, полученная при “разрезе” пирамиды, т.е. при совмещении всех ее граней в плоскости одной из них. Для правильной четырехугольной пирамиды развертка в плоскости основания выглядит следующим образом.
Примечание: свойства пирамиды представлены в отдельной публикации.
Виды сечения пирамиды
1. Диагональное сечение – секущая плоскость проходит через вершину фигуры и диагональ основания. У четырехугольной пирамиды таких сечения два (по одному на каждую диагональ):
2. Если секущая плоскость параллельна основанию пирамиды, она делит ее на две фигуры: подобную пирамиду (считая от вершины) и усеченную пирамиду (считая от основания). Сечением является подобный основанию многоугольник.
Примечание: Существуют и другие виды сечения, но они не так распространены.