Что такое сигма в статистике
Правило трех сигм
В чем заключается правило трех сигм (3-sigma rule) в статистике
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Приблизительно 99,7% всех значений лежат в пределе трех сигм от математического ожидания, около 95% — в пределах двух сигм, а примерно 68% значений лежат в пределах всего одной сигмы.
Те значения, которые выходят за рамки 3 сигм, принято считать грубыми ошибками. Большое количество таких ошибок может свидетельствовать о том, что распределение на самом деле не является нормальным. В этом заключается практическая польза правила 3 сигм.
Нормальное распределение случайной величины
Нормальное распределение (распределение Гаусса) — это такое распределение вероятностей, функция плотности которого совпадает с функцией Гаусса.
где \(\mu\) — значение математического ожидания, \(\sigma\) – величина среднеквадратического отклонения, \(\sigma^2\) — дисперсия распределения.
Функция плотности — это функция, которая характеризует сравнительную вероятность реализации определенных значений случайной переменной или переменных.
Иными словами, функция плотности показывает, с какой вероятностью случайное значение будет равно заданному. Чем «выше» значение по оси ординат, тем больше вероятность, что случайное значение будет равно данному по оси абсцисс. Таким образом, на графике нормального распределения наиболее вероятно то значение, которое совпадает с точкой максимума. А те значения, которые находятся в «основании» графика, то есть находятся низко по оси Y, менее вероятны.
Нормальное распределение величины центрировано и нормировано.
График нормального распределения тесно связан с центральной предельной теоремой (ЦПТ). Согласно ЦПТ, сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин имеет распределение, близкое к нормальному.
Нормальное распределение не является абстрактным понятием. Ему соответствуют некоторые характеристики живых организмов в популяции, отклонение от мишени при стрельбе, измерения и их погрешности. Во всех этих случаях наиболее распространена группа близких значений, но есть отклонения как в большую, так и в меньшую сторону.
Примеры решения задач
Рассмотрим несколько простых задач на применение правила 3 сигм.
Задача 1
Имеется выборка жителей богатого дома. Средняя зарплата жильцов составляет 150 000 рублей, среднеквадратичное отклонение равно 20 000 рублей. Определите, жители с какой зарплатой вряд ли могут жить в этом доме: А) 205 000 рублей; Б) 95 000; В) 230 000; Г) 87 000.
Решение
Чтобы решить данную задачу, необходимо определить, каковы верхние и нижние границы возможных зарплат в доме. Для этого воспользуемся правилом 3 сигм.
Задача 2
Завод выпускает партии по 100 цилиндрических деталей. Диаметр каждой детали — случайная величина, распределенная по нормальному закону. Математическое ожидание равно 65 мм, а среднее отклонение составляет 0,9 мм. Для упаковки партии используют коробки шириной 6600 мм. Детали кладут в один ряд. Если детали не поместятся в одну коробку, придется брать еще одну. Найдите вероятность, что понадобится только одна коробка.
Решение
Т. к. диаметр каждой детали распределен нормально, то и их общий диаметр также будет распределен нормально.
Для расчета воспользуемся формулами дисперсии и правилом 3 сигм, чтобы вычислить вероятность, что понадобится только одна коробка.
Стандартное отклонение
Стандартное отклонение (англ. Standard Deviation) — простыми словами это мера того, насколько разбросан набор данных.
Вычисляя его, можно узнать, являются ли числа близкими к среднему значению или далеки от него. Если точки данных находятся далеко от среднего значения, то в наборе данных имеется большое отклонение; таким образом, чем больше разброс данных, тем выше стандартное отклонение.
Стандартное отклонение обозначается буквой σ (греческая буква сигма).
Стандартное отклонение также называется:
Использование и интерпретация величины среднеквадратического отклонения
Стандартное отклонение используется:
Рассмотрим два малых предприятия, у нас есть данные о запасе какого-то товара на их складах.
| День 1 | День 2 | День 3 | День 4 | |
|---|---|---|---|---|
| Пред.А | 19 | 21 | 19 | 21 |
| Пред.Б | 15 | 26 | 15 | 24 |
В обеих компаниях среднее количество товара составляет 20 единиц:
Однако, глядя на цифры, можно заметить:
Если рассчитать стандартное отклонение каждой компании, оно покажет, что
Стандартное отклонение показывает эту волатильность данных — то, с каким размахом они меняются; т.е. как сильно этот запас товара на складах компаний колеблется (поднимается и опускается).
Расчет среднеквадратичного (стандартного) отклонения
Формулы вычисления стандартного отклонения
Разница между формулами S и σ («n» и «n–1»)
Состоит в том, что мы анализируем — всю выборку или только её часть:
Как рассчитать стандартное отклонение?
Пример 1 (с σ)
Рассмотрим данные о запасе какого-то товара на складах Предприятия Б.
| День 1 | День 2 | День 3 | День 4 | |
| Пред.Б | 15 | 26 | 15 | 24 |
Если значений выборки немного (небольшое n, здесь он равен 4) и анализируются все значения, то применяется эта формула:
Применяем эти шаги:
1. Найти среднее арифметическое выборки:
μ = (15 + 26 + 15+ 24) / 4 = 20
2. От каждого значения выборки отнять среднее арифметическое:
3. Каждую полученную разницу возвести в квадрат:
4. Сделать сумму полученных значений:
5. Поделить на размер выборки (т.е. на n):
6. Найти квадратный корень:
Пример 2 (с S)
Задача усложняется, когда существуют сотни, тысячи или даже миллионы данных. В этом случае берётся только часть этих данных и анализируется методом выборки.
У Андрея 20 яблонь, но он посчитал яблоки только на 6 из них.
Популяция — это все 20 яблонь, а выборка — 6 яблонь, это деревья, которые Андрей посчитал.
| Яблоня 1 | Яблоня 2 | Яблоня 3 | Яблоня 4 | Яблоня 5 | Яблоня 6 |
| 9 | 2 | 5 | 4 | 12 | 7 |
Так как мы используем только выборку в качестве оценки всей популяции, то нужно применить эту формулу:
Математически она отличается от предыдущей формулы только тем, что от n нужно будет вычесть 1. Формально нужно будет также вместо μ (среднее арифметическое) написать X ср.
Применяем практически те же шаги:
1. Найти среднее арифметическое выборки:
Xср = (9 + 2 + 5 + 4 + 12 + 7) / 6 = 39 / 6 = 6,5
2. От каждого значения выборки отнять среднее арифметическое:
X1 – Xср = 9 – 6,5 = 2,5
X2 – Xср = 2 – 6,5 = –4,5
X3 – Xср = 5 – 6,5 = –1,5
X4 – Xср = 4 – 6,5 = –2,5
X5 – Xср = 12 – 6,5 = 5,5
X6 – Xср = 7 – 6,5 = 0,5
3. Каждую полученную разницу возвести в квадрат:
4. Сделать сумму полученных значений:
Σ (Xi – Xср)² = 6,25 + 20,25+ 2,25+ 6,25 + 30,25 + 0,25 = 65,5
5. Поделить на размер выборки, вычитав перед этим 1 (т.е. на n–1):
(Σ (Xi – Xср)²)/(n-1) = 65,5 / (6 – 1) = 13,1
6. Найти квадратный корень:
S = √((Σ (Xi – Xср)²)/(n–1)) = √ 13,1 ≈ 3,6193
Дисперсия и стандартное отклонение
Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии (S = √D). То есть, если у вас уже есть стандартное отклонение и нужно рассчитать дисперсию, нужно лишь возвести стандартное отклонение в квадрат (S² = D).
Дисперсия — в статистике это «среднее квадратов отклонений от среднего». Чтобы её вычислить нужно:
Ещё расчёт дисперсии можно сделать по этой формуле:
Правило трёх сигм
Это правило гласит: вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания более чем на три стандартных отклонения (на три сигмы), почти равна нулю.
Глядя на рисунок нормального распределения случайной величины, можно понять, что в пределах:
Это означает, что за пределами остаются лишь 0,28% — это вероятность того, что случайная величина примет значение, которое отклоняется от среднего более чем на 3 сигмы.
Стандартное отклонение в excel
Вычисление стандартного отклонения с «n – 1» в знаменателе (случай выборки из генеральной совокупности):
1. Занесите все данные в документ Excel.
2. Выберите поле, в котором вы хотите отобразить результат.
3. Введите в этом поле «=СТАНДОТКЛОНА(«
4. Выделите поля, где находятся данные, потом закройте скобки.
5. Нажмите Ввод (Enter).
В случае если данные представляют всю генеральную совокупность (n в знаменателе), то нужно использовать функцию СТАНДОТКЛОНПА.
Коэффициент вариации
Коэффициент вариации — отношение стандартного отклонения к среднему значению, т.е. Cv = (S/μ) × 100% или V = (σ/X̅) × 100%.
Стандартное отклонение делится на среднее и умножается на 100%.
Можно классифицировать вариабельность выборки по коэффициенту вариации:
Среднеквадратическое отклонение
Среднеквадрати́ческое отклоне́ние (синонимы: среднеквадрати́чное отклоне́ние, квадрати́чное отклоне́ние; близкие термины: станда́ртное отклоне́ние, станда́ртный разбро́с) — в теории вероятностей и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания.
Содержание
Основные сведения
Измеряется в единицах измерения самой случайной величины. Равно корню квадратному из дисперсии случайной величины. Среднеквадратическое отклонение используют при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического, при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами.
Стандартное отклонение (оценка среднеквадратического отклонения случайной величины Пол, стены вокруг нас и потолок, x относительно её математического ожидания на основе несмещённой оценки её дисперсии):
Правило трёх сигм
Правило трёх сигм (
) — практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале 
. Более строго — не менее чем с 99,7 % достоверностью значение нормально распределенной случайной величины лежит в указанном интервале (при условии, что величина 
истинная, а не полученная в результате обработки выборки).
Интерпретация величины среднеквадратического отклонения
Большое значение среднеквадратического отклонения показывает большой разброс значений в представленном множестве со средней величиной множества; маленькое значение, соответственно, показывает, что значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения.
Например, у нас есть три числовых множества: <0, 0, 14, 14>, <0, 6, 8, 14>и <6, 6, 8, 8>. У всех трёх множеств средние значения равны 7, а среднеквадратические отклонения, соответственно, равны 7, 5 и 1. У последнего множества среднеквадратическое отклонение маленькое, так как значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения; у первого множества самое большое значение среднеквадратического отклонения — значения внутри множества сильно расходятся со средним значением.
В общем смысле среднеквадратическое отклонение можно считать мерой неопределенности. К примеру, в физике среднеквадратическое отклонение используется для определения погрешности серии последовательных измерений какой-либо величины. Это значение очень важно для определения правдоподобности изучаемого явления в сравнении с предсказанным теорией значением: если среднее значение измерений сильно отличается от предсказанных теорией значений (большое значение среднеквадратического отклонения), то полученные значения или метод их получения следует перепроверить.
Практическое применение
На практике среднеквадратическое отклонение позволяет определить, насколько значения в множестве могут отличаться от среднего значения.
Климат
Предположим, существуют два города с одинаковой средней максимальной дневной температурой, но один расположен на побережье, а другой внутри континента. Известно, что в городах, расположенных на побережье, множество различных максимальных дневных температур меньше, чем у городов, расположенных внутри континента. Поэтому среднеквадратическое отклонение максимальных дневных температур у прибрежного города будет меньше, чем у второго города, несмотря на то, что среднее значение этой величины у них одинаковое, что на практике означает, что вероятность того, что максимальная температура воздуха каждого конкретного дня в году будет сильнее отличаться от среднего значения, выше у города, расположенного внутри континента.
Спорт
Предположим, что есть несколько футбольных команд, которые оцениваются по некоторому набору параметров, например, количеству забитых и пропущенных голов, голевых моментов и т. п. Наиболее вероятно, что лучшая в этой группе команда будет иметь лучшие значения по большему количеству параметров. Чем меньше у команды среднеквадратическое отклонение по каждому из представленных параметров, тем предсказуемее является результат команды, такие команды являются сбалансированными. С другой стороны, у команды с большим значением среднеквадратического отклонения сложно предсказать результат, что в свою очередь объясняется дисбалансом, например, сильной защитой, но слабым нападением.
Использование среднеквадратического отклонения параметров команды позволяет в той или иной мере предсказать результат матча двух команд, оценивая сильные и слабые стороны команд, а значит, и выбираемых способов борьбы.
Технический анализ
В техническом анализе среднеквадратическое отклонение используется для построения линий Боллинджера.
См. также
Литература
 |
 Статистические показатели | |||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Описательная статистика |
| ||||||||||||
| Статистический вывод и проверка гипотез |
| ||||||||||||
| Корреляция | Коэффициент корреляции Пирсона · Ранг корреляций (Коэффициент Спирмана для ранга корреляций, Коэффициент тау Кендалла для ранга корреляций) · Переменная смешивания | ||||||||||||
| Линейные модели | Основная линейная модель · Обобщённая линейная модель · Анализ вариаций · Ковариационный анализ | ||||||||||||
| Регрессия | Линейная · Нелинейная · Непараметрическая регрессия · Полупараметрическая регрессия · Логистическая регрессия | ||||||||||||
Полезное
Смотреть что такое «Среднеквадратическое отклонение» в других словарях:
Среднеквадратическое отклонение — мера отклонения опытных данных от выборочного среднего значения или от функциональной зависимости, выражаемая в абсолютных единицах, вычисляется по формулам (4), (12). Источник: ГОСТ 20522 96: Грунты. Методы статистической обработки результатов… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Среднеквадратическое отклонение — показатель связи результатов деятельности взаимного фонда с общей ситуацией на рынке или динамикой соответствующего базового индекса. Если среднеквадратическое отклонение равно 1, то стоимость портфеля фонда в точности повторяет изменения… … Финансовый словарь
Среднеквадратическое отклонение — повторяемости: среднеквадратическое отклонение результатов измерений, полученных в условиях повторяемости (является мерой рассеяния результатов измерений в условиях повторяемости). Источник: ГОСУДАРСТВЕННАЯ СИСТЕМА ОБЕСПЕЧЕНИЯ ЕДИНСТВА… … Официальная терминология
Среднеквадратическое отклонение — * сярэднеквадратычнае адхіленне * mean square deviation or standard deviation описательная статистика (параметр), являющаяся мерой рассеяния для приближенно нормально распределенных данных. Если распределение не соответствует закону нормального… … Генетика. Энциклопедический словарь
среднеквадратическое отклонение — vidutinis kvadratinis nuokrypis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. root mean square deviation vok. mittlere quadratische Abweichung, f rus. среднеквадратическое отклонение, n pranc. écart moyen quadratique, m … Automatikos terminų žodynas
Среднеквадратическое отклонение воспроизводимости — Среднеквадратическое отклонение воспроизводимости: среднеквадратическое отклонение результатов измерений, полученных в условиях воспроизводимости (является мерой рассеяния результатов измерений в условиях воспроизводимости). Источник:… … Официальная терминология
среднеквадратическое отклонение воспроизводимости — 3.6.5.1 среднеквадратическое отклонение воспроизводимости: Среднеквадратическое отклонение результатов измерений, полученных в условиях воспроизводимости (является мерой рассеяния результатов измерений в условиях воспроизводимости). Источник:… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
среднеквадратическое отклонение воспроизводимости результатов испытаний — 3.21 среднеквадратическое отклонение воспроизводимости результатов испытаний sR:Среднеквадратическое отклонение результатов испытаний, полученных в условиях воспроизводимости (см. 3.19) [5]. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
среднеквадратическое отклонение повторяемости (сходимости) результатов испытаний — 3.24 среднеквадратическое отклонение повторяемости (сходимости) результатов испытаний sr: Среднеквадратическое отклонение результатов испытаний, полученных в условиях повторяемости (сходимости) (см. 3.22) [5]. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
среднеквадратическое отклонение (совокупности), стандартное отклонение (совокупности) — 3.13 среднеквадратическое отклонение (совокупности), стандартное отклонение (совокупности) [(population) standard deviation] σ: Положительный квадратный корень из дисперсии совокупности σ2. Источник: ГОСТ Р ИСО 12491 2011: Материалы и изделия… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации