Что такое симметричность в математике

Осевая и центральная симметрия

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 2. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М₁ и N₁ — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М₁N₁.

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N₁ на прямую MМ₁.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

Источник

Симметрия

Полезное

Смотреть что такое «Симметрия» в других словарях:

СИММЕТРИЯ — (от греч. symmetria соразмерность) законов физики. Если законы, устанавливающие соотношение между величинами, характеризующими физ. систему, или определяющие изменение этих величин со временем, не меняются при определённых операциях… … Физическая энциклопедия

СИММЕТРИЯ — (от греч. соразмерность), понятие, характеризующее переход объектов в самих себя или друг в друга при осуществлении над ними оп редел. преобразований (преобразований С.); в широком смысле свойство неизменности (инвариантности) некоторых… … Философская энциклопедия

СИММЕТРИЯ — (греч. соразмерность, от syn вместе, и metron мера). Соответствие между собою величины и формы частей, которым предназначено быть вместе. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. СИММЕТРИЯ большая или… … Словарь иностранных слов русского языка

СИММЕТРИЯ — [συμμετρια ρоразмерность] закономерная повторяемость равных частей, слагающих фигуру. С. описывается с помощью элементов симметрии, дающих понятие о соответственных симметрических преобразованиях … Геологическая энциклопедия

симметрия — и, ж. symétrie f., нем. Symmetrie <гр. symmetria соразмерность. 1. Соразмерное, пропорциональное расположение частей чего л. по отношению к центру, середине; соразмерность, пропорциональность чего л. БАС 1. Достаточный рисовальщик, дабы мог… … Исторический словарь галлицизмов русского языка

симметрия — См. соответствие. Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. симметрия согласие, соответствие; неизменность, билатеральность, соразмерность, гармония, равноудаленность,… … Словарь синонимов

СИММЕТРИЯ — (от греческого symmetria соразмерность), в широком смысле инвариантность (неизменность) структуры, свойств, формы (например, в геометрии, кристаллографии) материального объекта относительно его преобразований (т.е. изменений ряда физических… … Современная энциклопедия

СИММЕТРИЯ — (от греч. symmetria соразмерность) в широком смысле инвариантность (неизменность) структуры, свойств, формы материального объекта относительно его преобразований (т. е. изменений ряда физических условий). Симметрия лежит в основе законов… … Большой Энциклопедический словарь

СИММЕТРИЯ — СИММЕТРИЯ, в биологии анатомическое описание формы тела или геометрического рисунка растения или животного. Может быть использована в классификации живых организмов (ТАКСОНОМИИ). В математике симметрией является схожесть, или соответствие, между… … Научно-технический энциклопедический словарь

СИММЕТРИЯ — СИММЕТРИЯ, симметрии, мн. нет, жен. (греч. symmetria). Пропорциональность, соразмерность в расположении частей целого в пространстве, полное соответствие (по расположению, величине) одной половины целого другой половине. Симметрия в планировке… … Толковый словарь Ушакова

Источник

ВИДЫ СИММЕТРИИ

СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ (ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ)

Одна точка называются симметричной другой относительно прямой, если данная прямая проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе. Прямая называется осью симметрии фигуры если каждая точка фигуры симметрична относительно некоторой точки той же фигуры.

зеркальная симметрия

Геометрическая фигура называется симметричной относительно плоскости S, если для каждой точки этой фигуры может быть найдена другая точка этой же фигуры, так что отрезок, соединяющий эти точки, перпендикулярен плоскости S и делится этой плоскостью пополам. Плоскость S называется плоскостью симметрии.

Симметричные фигуры, предметы и тела не равны друг другу в узком смысле слова (например, левая перчатка или ботинок не подходит для правой руки или ноги и наоборот). Они называются зеркально равными.

центральная симметрия

Геометрическая фигура (или тело) называется симметричной относительно центра О, если для каждой точки этой фигуры может быть найдена другая точка этой же фигуры, так что отрезок, соединяющий эти точки, проходит через центр О и делится в этой точке пополам. Точка О называется центром симметрии.

поворотная симметрия (симметрия вращения)

При поворотной симметрии переход частей фигуры в новое положение или преобразование исходной фигуры происходит при повороте фигуры на определенный угол вокруг точки, которая называется центром поворота. Поворотная симметрия может рассматриваться на плоскости и в пространстве.

Тело (фигура) обладает симметрией вращения, если при повороте на угол 360°/n (n – целое число, например, 2, 3, 4 и т.д. до бесконечности) вокруг некоторой прямой (оси симметрии) оно полностью совпадает со своим начальным положением. При n = 2 мы имеем осевую симметрию.

симметрия подобия

Представляет собой своеобразный аналог предыдущих симметрий с той лишь разницей, что она связана с одновременным уменьшением или увеличением подобных частей фигуры и расстояний между ними. Простейшим примером такой симметрии являются матрешки.

переносная (трансляционная симметрия)

О такой симметрии говорят тогда, когда при переносе фигуры вдоль прямой на какое-то расстояние, либо расстояние, кратное этой величине, она совмещается сама с собой. Прямая, вдоль которой производится перенос, называется осью переноса.

примеры симметрии геометрических фигур

Разными видами симметрии могут обладать и плоские и объемные фигуры. Например, квадрат, прямоугольник, ромб имеют и центр симметрии и оси симметрии.

Окружность и круг имеют центр симметрии и бесконечно много осей симметрии. Объемные фигуры могут иметь центр симметрии, оси симметрии и обладать зеркальной симметрией.

Правильные многогранники своей симметрией с древних времён привлекали к себе внимание учёных, архитекторов, художников. Их по праву называют самыми симметричными из всех многогранников.

Подробно описал свойства правильных многогранников древнегреческий учёный Платон. Поэтому их называют телами Платона. Правильным многогранникам посвящена 13 книга “Начал” Евклида.

Очень симметричной фигурой является, например, куб. Центром симметрии куба является точка пересечения его диагоналей. Через центр симметрии проходят 9 осей симметрии. Плоскостей симметрии у куба также 9 и проходят они либо через противоположные ребра (6), либо через середины противоположных ребер (3).

Через центр симметрии проходят 9 осей симметрии. Плоскостей симметрии у куба также 9 и проходят они либо через противоположные ребра (6), либо через середины противоположных ребер (3).

Источник

Презентация по математике «Математическая симметрия»

Описание презентации по отдельным слайдам:

СИММЕТРИЯ ТАЙНА ЗЕРКАЛЬНОГО МИРА Гущина н.в.

А что такое симметрия? Так вот, симметрия – это неизменность при каких-либо преобразованиях. Это означает, что при определённых трансформациях, производимых с объектом, тот не изменяется.

История симметрии Однако как люди дошли до такой сложной и одновременно такой простой вещи, как симметрия? Ещё древние греки считали, что симметрия – это гармония, соразмерность. Они же и ввели термин συμμετρία, который сейчас перешёл в русское слово «симметрия» А у древних народов, таких как шумеры и египтяне, у первобытных племён, да и у кое-кого в наше время симметрия ассоциируется не только с красотой и гармонией, но и прежде всего с магией. Не зря же люди в эпоху мегалита для ритуальных целей сооружали кромлихи в форме круга – «идеально симметричной» геометрической фигуры.

Типы симметрии Симметрия бывает двух типов: Математическая симметрия (может встречаться во всём, что можно назвать объектом) Физическая симметрия (может встречаться во всём том, что нельзя назвать объектом) Однако это разграничение весьма условно, потому что стоит лишь физическое явление, обладающее физической симметрией, описать при помощи математических формул или графика, как физическая симметрия тотчас же заменится на математическую.

Математическая симметрия Симметрия в математике. Поступательная. Это вид симметрии, когда объект без каких-либо иных преобразований перемещают копию куда-либо. Вращательная. Это вид симметрии, когда объект без каких-либо иных преобразований поворачивают на заданный угол. Осевая. Это вид симметрии, когда объект отражают без каких-либо иных преобразований относительно оси симметрии, которая является прямой линией Центральная. Это вид симметрии, когда объект без каких-либо иных преобразований отражают относительно центра симметрии, который является точкой.

Математическая симметрия Центральная симметрия

Математическая симметрия Вращательная симметрия

Математическая симметрия Поступательная симметрия

Математическая симметрия Осевая симметрия

Математическая симметрия Симметрия в биологии. Лучевая (радиальная) симметрия. Это вид симметрии, когда через тело живого организма можно провести много осей, а также и плоскостей симметрии. Чаще всего такие организмы имеют форму шара, а по радиусам у них расположены различные органы. Двусторонняя симметрия. Это вид симметрии, когда у живого организма можно провести одну ось и одну плоскость симметрии, которые делят живой организм на две похожие (не одинаковые. ) части. ИМЕЕТ МНОГО ОБЩЕГО С ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ В МАТЕМАТИКЕ. Спиральная симметрия. Это вид симметрии, при котором часть живого организма «скопирована», а получившиеся «копии» уложены по спирали. ИМЕЕТ МНОГО ОБЩЕГО С ПОСТУПАТЕЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ В МАТЕМАТИКЕ.

Математическая симметрия Симметрия в биологии

Математическая симметрия Симметрия в биологии

Математическая симметрия Спиральная симметрия

Математическая симметрия Симметрия в химии и физике. В химии и в физике симметрия проявляется в основном в геометрической конфигурации молекул, что сказывается на специфике физических и химических свойств молекул в изолированном состоянии, во внешнем поле и при взаимодействии с другими атомами и молекулами. Что же до видов, то там они такие же, как и в математике. Например, молекула аммиака NH3 обладает симметрией правильной треугольной пирамиды, а молекула метана CH4 — симметрией тетраэдра. Однако у сложных молекул, как правило, отсутствует симметрия. Симметрия в строении атомов относится и к физике и к химии. Также математической симметрией будет обладать любая модель (формула), иллюстрирующая физический закон, который обладает физической симметрией.

Математическая симметрия Симметрия в химии: молекула аммиака NH3 обладает симметрией правильной треугольной пирамиды, а молекула метана CH4 — симметрией тетраэдра В Х И М И И

Математическая симметрия Симметрия в химии

Математическая симметрия Симметрия в искусствах. В пластических искусствах симметрия проявляется, главным образом, в общей симметрии изображённого, так как для нашего глаза, по результатам психологических исследований, приятнее видеть что-то симметричное, нежели ассиметричное. В стихах рифма представляет собой поступательную симметрию. Ритм – тоже, только иногда эта симметрия не соблюдается

Математическая симметрия Симметрия в искусствах

Математическая симметрия Симметрия в искусствах

Физическая симметрия Простейший пример проявления физической симметрии – действие равно противодействию

Палиндромы Во всех языках мира есть слова и даже фразы, которые одинаково читаются как в одну сторону, так и в другую. Они называются палиндромы. Первый палиндром был создан в Древнем Риме. Точнее, это «супер-палиндром», потому что фразу эту можно прочесть и читая сначала первые буквы всех слов, затем вторые, и т.д. Вот она: S A T O R A R E P O T E N E T O P E R A R O T A S “Sator Arepo Tenet Opera Rotas”, которая означает «Сеятель Арепо с трудом удерживает колёса».

НАПРИМЕР: “А ЛУНА КАНУЛА” “А РОЗА УПАЛА НА ЛАПУ АЗОРА” ПАЛИНДРОМ НАБОКОВА: Я ЕЛ МЯСО ЛОСЯ, МЛЕЯ… РВАЛ ЭОЛ АЛОЭ, ЛАВР. ТЕ ЕМУ”ИШЬ! И УМЕЕТ РВАТЬ!” ОН ИМ: ”Я МИНОТАВР”

Роль симметрии в мире А собственно, как бы нам жилось без симметрии? Точнее, какую роль играет симметрия в нашем мире? Неужели она лишь украшает его? Оказывается, что без симметрии наш мир выглядел бы совсем по-другому. Ведь это именно на симметрии основаны многие законы сохранения. Например, законы сохранения энергии, импульса и момента импульса являются следствиями пространственно-временных симметрий, которые являются, как математическими, так и физическими симметриями. И без этих симметрий не было бы законов сохранений, которые во многом управляют нашим миром. Так что симметрия – пожалуй, чуть ли не самая главная вещь во Вселенной.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДВ-056986

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Москве новогодние каникулы в школах могут начаться с 27 декабря

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году пройдет в доковидном формате

Время чтения: 1 минута

В МГУ заработала университетская квантовая сеть

Время чтения: 1 минута

Петербургский Политех перевел студентов на дистанционку

Время чтения: 1 минута

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Симметрия в математике

В общем, каждая структура в математике будет иметь свой собственный вид симметрии, многие из которых перечислены в указанных выше пунктах.

СОДЕРЖАНИЕ

Симметрия в геометрии [ править ]

Симметрия в исчислении [ править ]

Четные и нечетные функции [ править ]

Даже функции [ править ]

Пусть f ( x ) будет вещественнозначной функцией действительной переменной, тогда f будет, даже если следующее уравнение выполняется для всех x и -x в области определения f :

Странные функции [ править ]

Опять же, пусть f ( x ) будет вещественнозначной функцией действительной переменной, тогда f будет нечетным, если следующее уравнение выполняется для всех x и -x в области определения f :

Интеграция [ править ]

Серия [ править ]

Симметрия в линейной алгебре [ править ]

Симметрия в матрицах [ править ]

Согласно определению матричного равенства, которое требует, чтобы элементы во всех соответствующих позициях были равны, одинаковые матрицы должны иметь одинаковые размеры (поскольку матрицы разных размеров или форм не могут быть равными). Следовательно, симметричными могут быть только квадратные матрицы.

Например, следующая матрица 3 × 3 является симметричной:

Каждая квадратно- диагональная матрица симметрична, поскольку все недиагональные элементы равны нулю. Точно так же каждый диагональный элемент кососимметричной матрицы должен быть равен нулю, поскольку каждый является собственным отрицательным.

Симметрия в абстрактной алгебре [ править ]

Симметричные группы [ править ]

Симметричные полиномы [ править ]

Примеры [ править ]

В двух переменных X ₁ и X ₂ одна имеет симметричные многочлены, такие как:

Симметричные тензоры [ править ]

Теория Галуа [ править ]

Автоморфизмы алгебраических объектов [ править ]

Примеры [ править ]

Симметрия в теории представлений [ править ]

Симметрия в квантовой механике: бозоны и фермионы [ править ]

В квантовой механике у бозонов есть представители, симметричные относительно операторов перестановки, а у фермионов есть антисимметричные представители.

обязательно антисимметричен. Чтобы доказать это, рассмотрим матричный элемент:

Первый и последний члены в правой части являются диагональными элементами и равны нулю, а вся сумма равна нулю. Таким образом, элементы матрицы волновых функций подчиняются:

Симметрия в теории множеств [ править ]

Симметричное отношение [ править ]

Симметрия в метрических пространствах [ править ]

Изометрии пространства [ править ]

Изометрии использовались для унификации рабочего определения симметрии в геометрии и для функций, вероятностных распределений, матриц, строк, графиков и т. Д. [8]

Симметрии дифференциальных уравнений [ править ]

Для обыкновенных дифференциальных уравнений знание соответствующего набора симметрий Ли позволяет явно вычислить набор первых интегралов, что дает полное решение без интегрирования.

Симметрии могут быть найдены путем решения связанной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. [9] Решение этих уравнений часто намного проще, чем решение исходных дифференциальных уравнений.

Симметрия в вероятности [ править ]

В других случаях, таких как «взятие случайного целого числа» или «взятие случайного действительного числа», нет вообще никаких распределений вероятностей, симметричных относительно перемаркировки или обмена одинаково длинных подинтервалов. Другие разумные симметрии не выделяют одно конкретное распределение, или, другими словами, не существует уникального распределения вероятностей, обеспечивающего максимальную симметрию.

Возможная симметрия случайности с положительными результатами состоит в том, что первое применяется к логарифму, т. Е. Результат и его обратная величина имеют одинаковое распределение. Однако эта симметрия не выделяет однозначно какое-либо конкретное распределение.

Для «случайной точки» на плоскости или в пространстве можно выбрать начало координат и рассмотреть распределение вероятностей с круговой или сферической симметрией соответственно.

Источник