Что такое симметрия в математике 4 класс определение
Симметрия
Вам будет интересно: Как сдать физику и что нужно для этого сделать?
Некоторые фигуры не имеют симметрии, поэтому они и называются неправильными или же асимметричными. К таким относятся различные трапеции (кроме равнобедренной), треугольники (кроме равнобедренного и равностороннего) и другие.
Вам будет интересно: Гибкость: определение, средства и методы развития гибкости
Виды симметрии
Также обсудим некоторые виды симметрии, чтобы до конца изучить это понятие. Их разделяют так:
История симметрии
Само понятие симметрии часто бывает отправной точкой в теориях и гипотезах ученых древних времен, которые были уверены в математической гармонии мироздания, а также в проявлении божественного начала. Древние греки свято верили в то, что Вселенная симметрична, потому что симметрия великолепна. Человек очень давно использовал идею симметрии в своих познаниях картины мироздания.
В V веке до нашей эры Пифагор считал сферу самой совершенной формой и думал, что Земля имеет форму сферы и таким же образом движется. Также он полагал, что Земля движется по форме какого-то «центрального огня», вокруг которого должны были вращаться 6 планет (известные на то время), Луна, Солнце и все другие звезды.
А философ Платон считал многогранники олицетворением четырех природных стихий:
Из-за всех этих теорий правильные многогранники называют телами Платона.
Симметрией пользовались еще зодчие Древней Греции. Все их постройки были симметричны, об этом свидетельствуют изображения древнего храма Зевса в Олимпии.
Голландский художник М. К. Эшер также прибегал к симметрии в своих картинах. В частности, мозаика из двух птиц, летящих навстречу, стала основой картины «День и ночь».
Также и наши искусствоведы не пренебрегали правилами симметрии, что видно на примере картины Васнецова В. М. «Богатыри».
Симметрия геометрических фигур и тел
Рассмотрим внимательнее геометрические тела. Например, осью симметрии параболы является прямая, проходящая через ее вершину и рассекающая данное тело пополам. У этой фигуры имеется одна единственная ось.
Симметрия в природе
Природа поражает множеством примеров симметрии. Даже наше человеческое тело устроено симметрично. Два глаза, два уха, нос и рот расположены симметрично относительно центральной оси лица. Руки, ноги и все тело в общем устроено симметрично оси, проходящей через середину нашего тела.
Вывод
Урок «Математика и конструирование» по теме «Осевая симметрия». 4-й класс
Класс: 4
Цель занятия: дать представление об осевой симметрии; научить находить осевую симметрию в фигурах.
Задачи:
Формируемые УУД:
Методическое оснащение: ПК, интерактивная доска, презентация, у каждого ученика: одна из геометрических фигур (квадрат, прямоугольник, равносторонний и прямоугольный треугольники, круг), линейка, ножницы, цветная бумага; карточки с заданиями.
Ход урока
1. Организационный момент
Добрый день, ребята. Мы начинаем урок «Математика и конструирование». Пусть сегодняшний урок принесёт нам радость общения. Сегодня на уроке вас ожидает много интересных заданий и новых открытий! А вашими помощниками пусть будут внимание, целеустремлённость и ваша активная деятельность.
2. Мотивирование к учебной деятельности
— А знаете ли вы, что …
— А знаете ли вы, что…
— Во время сна рост увеличивается на 8 мм. Но после пробуждения он «возвращается» к прежним цифрам.
— А знаете ли вы, что …
— А знаете ли вы, что …
— Число 111 111 магическое! При умножении его на само себя получается такой лёгкий ответ 12 345 654 321.
— А знаете ли вы, что …
— 90% информации человек получает при помощи глаз. Отсюда и пошло выражение «Лучше один раз …»
3. Актуализация знаний
— Посмотрите небольшой видео-ролик и найдите закономерность.
— Что интересного вы заметили? (отражение в воде)
— А где еще отражаются предметы? (В зеркале).
— Подумайте, как в математике называется зеркальное отображение? (СИММЕТРИЯ)
— Отлично! Сформулируйте тему урока. (или нам поможет ребус). (Слайд Симметрия.)
— Тогда Давайте поставим перед собой цель урока.
— Назовите предметы, которые вы считаете СИММЕТРИЧНЫМИ. (запись на доске) не знаем…, не уверенны…
— В переводе с греческого языка симметрия звучит как «гармония», означая красоту.
Симметрия придает гармоничность, законченность.
4. Практическая работа. Введение в новую тему «Ось симметрии»
Исследование квадрата.
— У вас на столе лежат квадраты.
— Сложите квадрат пополам и четко прогладим линию сгиба.
— Покажите! Что мы наблюдаете?
— Какие получились части квадрата? (Одинаковые)
— Обведите цветным карандашом получившуюся прямую. Это и есть ось симметрии!
Вывод: в квадрате мы нашли ось симметрии. Ось симметрии делит фигуру на одинаковые равные части. Эти половинки совпадают.
— Давайте попробуем сложить квадрат вновь пополам, но по-другому.
— Обведите эту линию.
— Как еще можно сложить квадрат? (по диагонали)
— Так сколько же осей симметрии у квадрата? (4)
— Правильно! Запишем это в таблицу
5. Физминутка (рисуем руками в воздухе)
Много ль надо нам, ребята,
Для умелых наших рук?
Нарисуем 2 квадрата,
А на них огромный круг.
А потом ещё кружочек,
Треугольный колпачок.
Вот и вышел очень, очень
Развесёлый чудачок!
— Подойдите к окну, Пусть отдохнут ваши глаза, посмотрите по сторонам, полюбуйтесь красотой зимнего дня. Возможно, вы увидите симметричные предметы.…. Перечислите. Продолжаем работать!
6. Работа в группах
Исследование разных геометрических фигур. Защита.
— Каждый должен работать на общий результат.
— Один говорит, другие слушают.
— Своё несогласие высказывай вежливо.
Ваша задача узнать, симметрична ли фигура? сколько осей симметрии имеет геом. фигура? Выступать будет один представитель от группы. Вам дается 1 мин на исследование. И 1 мин на выступление. Используете алгоритм для выступления №1. (и демонстрирует на большой фигуре.)
— Возьмите фигуры из конверта. Приступайте к исследованию.
— Что нужно сделать, чтобы провести ось симметрии? (перегнуть фигуры пополам)
— Проведите оси симметрии, если это возможно. Цветным карандашом.
— Слушаем представителя 1-й группы.
— Приглашаем представителя 2-й группы.
— Слушаем представителя 3-й группы.
— Слушаем представителя 4-й группы. (На доске заполняю результаты исследований в таблице)
ИТОГ. МОЛОДЦЫ. ВСЕ ГРУППЫ СПРАВИЛИСЬ С 1 ЗАДАНИЕМ.
— Назовите самую «несимметричную» фигуру. (Прям. Треугольник)
— Назовите самую «симметричную» фигуру. (круг)
— В Древней Греции круг считался венцом совершенства. И не случайно! У него больше всего осей симметрий!
7. Исследование в разных областях. Защита
— Мы выяснили, что в математике, не у всех фигур, но симметрия существует. Только ли в этой области она может быть?
— Оказывается, все в мире, всё построено по принципу симметрии. Древние греки считали, что Вселенная симметрична просто потому, что симметрия прекрасна. Используя красоту и гармонию природы, человек многое создал в мире симметрии своими руками. Об этих и многих других предметах мы сейчас и поговорим.
— Продолжим нашу исследовательскую работу.
— Возьмите конверт №2. Ознакомьтесь с темой исследования.
Приступайте к работе. Защита по алгоритму.
(Выступления групп. Выводы. Заполнение таблицы на доске.)
ИТОГ. МОЛОДЦЫ. ВСЕ ГРУППЫ СПРАВИЛИСЬ С 2 ЗАДАНИЕМ.
— Итак, мы доказали, что Симметрия- это не только красота. Симметричность формы нужна рыбе, чтобы плыть, птице, чтобы летать. Поэтому мы можем сделать вывод, что симметрия в природе неспроста: она ещё и полезна, т.е. целесообразна.
— К какой области можно отнести эти предметы, созданные руками человека?
8. Подведение итогов «Кластер». Оценивание
— Какие цели мы ставили в начале урока? …(Что такое симметрия? Где встречается?)
— Что вы выяснили для себя?
— Какие слова, словосочетания, связи, явления события … и т.д. возникают с этой темой?
Домашнее задание
— Ребята, это не все ОБЛАСТИ, где ВСТРЕЧАЕТСЯ СИММЕТРИЯ. Подумайте дома, подготовьте картинку, в какой области можно встретить симметрию. (Спорт, искусство,…и т.д.)
— Символом симметрии является БАБОЧКА.
Я предлагаю вам создать уникальный узор на крыльях бабочки или выполнить другой симметричный рисунок на выбор. Подойдите, возьмите, что вам больше нравится.
— Рассмотрите иллюстрацию к мультфильму. Что увидел Енот в пруду?
— А можно ли проверить, доказать, СИММЕТРИЧНЫ ли предметы из повседневной жизни, крупные, твёрдые… НЕ бумажные.
Факультатив по математике в 4-м классе «Симметрия»
Цели:
Оборудование:
Ход урока
I. Орг. момент.
II. Мозговой штурм.
Как вы знаете, наука геометрия зародилась в глубокой древности. Люди наблюдая за животными, растениями, окружающим миром заметили, что часто половинки разных тел похожи друг на друга, создавая порядок и красоту. Строя жилища и храмы, украшая их орнаментами, размечая землю, измеряя расстояния и площади, человек применял свои знания о природе, о форме, размерах и взаимном расположении предметов, он использовал свои геометрические знания, полученные из наблюдений и опытов. Почти все великие учёные древности и средних веков были выдающимися геометрами. Древнегреческий философ Платон, проводивший беседы со своими учениками, одним из девизов своей школы провозгласил: «Не знающие геометрию не допускаются!». Было это примерно 2400 лет назад. Из геометрии вышла наука, которая называется математикой. Мы начнём своё занятие с нескольких практических задач.
Запишите сегодняшнее число и оставьте место для темы урока.
Задача 1. Сложите 7 палочек так, чтобы образовалось 3 треугольника (сторона каждого треугольника должна быть равной длине палочки).
Задача 2. Нарисуйте квадрат. Разделите его на 4 равные части разными способами.
Задача 3. Нарисуйте прямоугольник. Разместите 12 точек в прямоугольнике так, чтобы у каждой стороны в прямоугольнике было по 4 точки.
Задача 4. Графический диктант: Отступите по 3 клеточки сверху и слева и поставьте точку. 1 клеточку вправо, 1-вверх, 1-вправо, 3-вниз, 1-влево, 1-вверх, 1 влево,1-вверх. Отступите 2 клеточки вправо и начертите зеркало. Постройте изображение в зеркале. Кто знает, какую картинку мы получили?
(Все решения проверяются у доски).
III. Новый материал.
С явлением симметрии мы встречаемся повседневно. Удивляемся и восхищаемся, рассматривая крохотную снежинку, стрекозу с прозрачными крыльями или изящный цветок, а может и красивую машину или величественную фигуру самолёта или ракеты. Используя красоту и гармонию природы, человек создал многое в мире симметрии своими руками: купола церквей, архитектурные здания, самолёты, корабли и т.д. Об этих и многих других предметах мы можем сказать, что они красивы. И в основе их красоты лежит симметрия. Но симметрия — это не только красота. Симметричность формы нужна рыбе, чтобы плыть, птице, чтобы летать. Поэтому мы можем сделать вывод, что симметрия в природе неспроста: она ещё и полезна, т.е. целесообразна. В природе красивое всегда целесообразно, а целесообразное всегда красиво. Симметрия проявляется обычно в форме и цвете. Есть симметрия и в музыке, и в поэзии, и даже в буквах и цифрах. Посмотрите, перед вами вырезанные из бумаги некоторые буквы. Симметрия — рождает из них новые буквы. (Демонстрируются буквы А, Г-Т, К-Ж-Л, З, М. Н, Ф-Р и т.д., вырезанные и сложенные по оси симметрии).
IV. Практическая работа.
— А теперь мы с вами используем один из способов построения симметричной картинки. Возьмите лист бумаги и капните (мазните) на него в указанном месте краской. Сложите лист пополам, прогладьте ладошкой и разверните. Что у вас получилось?
— Капля отпечаталась на другой стороне.
— Измерьте расстояния от линии сгиба до каждой картинки. Что вы можете сказать?
— Расстояния по разную сторону от неё одинаковы.
— Может кто-то знает, какая картина получилась с точки зрения математики? (Ответы детей).
— Вы получили симметричную картинку. При этом линия сгиба является осью симметрии. Этот вид симметрии так и называется – осевая симметрия. Подобный приём иногда используют в своём творчестве художники. Если удачно «накапать» краской, то можно получить довольно красивые картинки.
V. Домашнее задание.
Попытайтесь создать свой шедевр в стиле «симметризма» на рисунке «Летом в симметричном лесу». Можете нарисовать от руки или в среде «Живая геометрия» и покажите на рисунке ось симметрии каждого объекта (цветов, деревьев, птиц и т.д.).
VI. Физ.минутка.
Я буду показывать вам геометрические фигуры (Приложение 2), а вы должны догадаться сколько раз выполнять каждое упражнение.
Ай да счёт, игра и только!
VII. Закрепление.
Символом симметрии считается строение и рисунок крыльев бабочки. Сейчас мы с вами посмотрим презентацию «Симметрия». (Приложение 1).
— Итак, какая тема нашего сегодняшнего урока.
— Симметрия.
— Запишите.
— Кто может сказать, что такое симметрия? (Oтветы детей).
Давайте запишем: Симметрия-это соразмерность, одинаковость в расположении частей тела.
— Назовите примеры симметричных тел.
VIII. Физ. минутка.
Дадим зарядку и отдых нашим глазам.
IX. Работа со средой «Живая геометрия».
Пройдите к компьютерам, откройте среду «Paint» и выполните задание.
X. Тест «Симметрия».
Откройте папку «Симметрия», найдите тест. Приложение 3. Выполните.
IX. Итог урока.
Урок окончен. Всем спасибо!
Используемая литература:
Симметрия (в математике)
1) симметрия (в узком смысле), или отражение (зеркальное) относительно плоскости a в пространстве (относительно прямой а на плоскости), ‒ преобразование пространства (плоскости), при котором каждая точка М переходит в точку M’ такую, что отрезок MM’ перпендикулярен плоскости a (прямой а ) и делится ею пополам. Плоскость a (прямая а ) называется плоскостью (осью) С.
Простейшими видами пространственной С., помимо С., порожденной отражениями, являются центральная С., осевая С. и С. переноса.
Комбинации С., порожденные отражениями и вращениями (исчерпывающие все виды С. геометрических фигур), а также переносами, представляют интерес и являются предметом исследования в различных областях естествознания. Например, винтовая С., осуществляемая поворотом на некоторый угол вокруг оси, дополненным переносом вдоль той же оси, наблюдается в расположении листьев у растений ( рис. 8 ) (подробнее см. в ст. Симметрия в биологии). С. конфигурации молекул, сказывающаяся на их физических и химических характеристиках, имеет значение при теоретическом анализе строения соединений, их свойств и поведения в различных реакциях (см. Симметрия в химии). Наконец, в физических науках вообще, помимо уже указанной геометрической С. кристаллов и решёток, приобретают важное значение представления о С. в общем смысле (см. ниже). Так, симметричность физического пространства-времени, выражающаяся в его однородности и изотропности (см. Относительности теория ), позволяет установить т. н. сохранения законы ; обобщённая С. играет существенную роль в образовании атомных спектров и в классификации элементарных частиц (см. Симметрия в физике).
Лит.: Шубников А. В., Симметрия. (Законы симметрии и их применение в науке, технике и прикладном искусстве), М. ‒ Л., 1940; Кокстер Г. С. М., Введение в геометрию, пер. с англ., М., 1966; Вейль Г., Симметрия, пер. с англ., М., 1968; Вигнер Е., Этюды о симметрии, пер. с англ., М., 1971.
Что такое осевая симметрия? Само слово «симметрия» имеет греческие корни и говорит о существующем определенном порядке расположения частей некого предмета, а также о его соразмерности.
Под симметрией понимается такое качество предметов, что их можно совместить друг с другом при некоторых преобразованиях.
Что такое симметрия
Наиболее часто это понятие встречается в геометрии. Объект считается симметричным, если после некоторых геометрических преобразований он смог сохранить свои первоначальные свойства.
В качестве примера стоит рассмотреть обычный круг. Если его вращать вокруг условного центра, он сохранит свою форму и первоначальные характеристики. Поэтому этот геометрический предмет смело можно назвать симметричным.
Виды симметрии определяются возможными преобразованиями для данного объекта и его свойствами, которые в результате проведенных манипуляций должны сохраниться. В случае, когда это условие не соблюдается, можно утверждать о наличии асимметрии.
Рис. 1 Фигуры, обладающие симметричностью
Центральная симметрия
Это явление относительно некой точки. Она представляет собой преобразование множества точек пространства или поверхности, во время которого ее центр всегда постоянен и не меняет своего положения.
Данный вид симметрии предполагает, что на равном расстоянии от ее центра располагаются два предмета, например, две точки. Если провести между ними условную прямую, они будут располагаться на ее противоположных концах, а середина этой прямой и будет являться осевым центром.
Если считать центр неподвижным и начать преобразовывать прямую (т. е. вращать ее относительно центральной точки), то точки на ее концах опишут две кривые. Все точки одной кривой будут иметь такие же симметричные точки на другой кривой.
Объекты, обладающие центром симметрии, представляют большой интерес для ученых. В геометрии насчитывается достаточно много таких объектов. К ним относятся прямые, отрезки, окружность, прямоугольник и др. Центрально симметричные объекты встречаются и в природе.
Рис. 2 Графическое представление центральной симметрии
Осевая симметрия
Это симметрия относительно прямой. В данном классе две точки симметричны относительно некой прямой, если она пересекает центр отрезка, соединяющего эти две точки и является перпендикуляром к нему. Любая точка прямой симметрична сама себе.
Рис. 3 Наглядное представление осевой симметрии
В качестве наглядно примера можно взять обычный бумажный лист, если его сложить пополам. Если через линию сгиба провести прямую – это и будет центром.
Определенная точка одной половины листы имеет такую же симметричную точку на другой его части, расположенную на перпендикуляре на таком же расстоянии от осевой линии. Одна часть листа тетради является по сути зеркальным отображением другой.
Рис. 4 Примеры осевой симметрии
Фигуры, имеющие несколько осей симметрии
Есть предметы и геометрические фигуры с некоторым числом осей. Для начала в качестве примера стоит рассмотреть прямоугольник и ромб, которые имеют две такие оси.
Две оси симметрии характерны для прямоугольника. Это прямые, которые проведены через точки, являющиеся серединами его противоположных сторон.
То же самое (наличие двух осей) присуще и ромбу. Оси являются прямыми, содержащими диагонали данной геометрической фигуры.
Интерес представляет и квадрат, у которого насчитывается четыре оси. Данная фигура является одновременно и ромбом, и прямоугольником. Остальные виды параллелограммов не имеют осей симметрии вообще.
Рис. 5 Оси симметрии ромба
Единственной фигурой, у которой есть три оси симметрии, является равносторонний треугольник. Они представляют собой не что иное, как его медианы, линии соединяющие середины его сторон. Медианы равностороннего треугольник – это его и биссектрисы, и высоты.
Рис. 6 Оси симметрии равностороннего треугольника
В обычной жизни многие даже не задумываются о том, как часто они сталкиваются с различными видами симметрии. Это понятие характерно не только для мира математики.
Симметрия встречается в мире природы, архитектуре, в мире искусства и композиции, а также в других сферах человеческой жизни.
Осознание данного факта прошло долгий путь во времени, над ним задумывались великие умы на протяжении многих столетий. С древних времен и до настоящего времени определение этого понятия прошло долгий путь развития.