Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Механические колебания
Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.
Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.
Свободные колебания
Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.
Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.
Вынужденные колебания
А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.
Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.
Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.
Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.
Автоколебания
Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.
У автоколебательной системы есть три важных составляющих:
Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.
Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.
Характеристики колебаний
Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение характеризуется величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.
Формула периода колебаний
T= t/N
N — количество колебаний [-]
Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.
Формула частоты
ν= N/t = 1/T
N — количество колебаний [-]
Она используется в уравнении гармонических колебаний:
Гармонические колебания
Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением:
Уравнение гармонических колебаний
x — координата в момент времени t [м]
t — момент времени [с]
2πνtв этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ
Фаза колебаний
t — момент времени [с]
Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.
На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.
Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.
На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.
Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.
Математический маятник
Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.
Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.
Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).
Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:
Формула периода колебания математического маятника
g — ускорение свободного падения [м/с^2]
На планете Земля g = 9,8 м/с2
Пружинный маятник
Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.
В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости. Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.
Формула периода колебания пружинного маятника
m — масса маятника [кг]
k — жесткость пружины [Н/м]
Закон сохранения энергии для гармонических колебаний
Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии.
Рассмотрим его на примере математического маятника.
Онлайн-курсы физики в Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!
Колебательное движение очень распространено. Заставить колебаться можно любое тело, если приложить к нему силу — однократно или постоянно. К примеру, если подтолкнуть качели, они начнут качаться вперед-назад, и такое движение будет приблизительно повторяться до тех пор, пока качели полностью не остановятся.
Другой пример колебательного движения — тело, подвешенное к пружине. Если его потянуть вниз и отпустить, то за счет сил упругости оно сначала поднимется вверх, а затем снова опустится вниз, затем движения вверх-вниз будут повторяться. Со временем они прекратятся под действием силы сопротивления воздуха.
Колебаниями можно назвать даже движение гири, которую поднимается тяжелоатлет вверх, а затем опускает в низ. При этом он будет прикладывать к гире силу постоянно. Гиря будет колебаться до тех пор, пока к нему будет прикладываться эта сила.
Колебания— это движения, которые точно или приблизительно повторяются через определенные интервалы времени.
Механические колебания— это колебательные движения, совершаемые физическим телом в механической системе.
Механическая система— совокупность материальных точек (тел), движения которых взаимосвязаны между собой.
Какими бывают колебания?
Напомним, что в механической системе выделяют два вида сил:
Свободные колебания
Свободные колебания— колебания, происходящие в системе под действием внутренних сил после того, как эта система выведена из положения равновесия.
Колебательная система— механическая система, в которой возможно совершение свободных колебаний.
Свободные колебания в колебательной системе могут возникнуть только при наличии двух условий:
Примеры свободных колебаний:
Примером колебательной системы также служит математический маятник — материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити. В действительности такого маятника не существует. Это идеализированная модель реального маятника, примером которого служит тяжелый шарик, подвешенный на длинной нити. В этом случае размером шарика и растяжением нити можно пренебречь.
В колебательную систему математического маятника входят:
В положении равновесия (точка О) шарик висит на нити и покоится. Если его отклонить от положения равновесия до точки А и отпустить, под действием силы тяжести шарик приблизится к положению равновесия. Так как к этому моменту шарик обретет скорость, он не сможет остановиться и приблизится к точке В. Затем он снова вернется в точку А через положение равновесия в точке О. Шарик будет колебаться, пока не затухнут под действием возникающей силы сопротивления воздуха.
Вынужденные колебания
Вынужденные колебания— колебания тел под действием внешних периодически изменяющихся сил.
Примерами вынужденных колебаний служат:
Затухающие и незатухающие колебания
Затухающие колебания— колебания, которые со временем затухают. При этом максимальное отклонение тела от положения равновесия с течением времени уменьшается.
Колебания затухают под действием сил, препятствующих колебательному движению. Так, шарик в сферической чаше перестает колебаться под действием силы трения. Математический маятник и качели перестают совершать колебательные движения за счет силы сопротивления воздуха.
Все свободные колебания являются затухающими, так как всегда присутствует трение или сопротивление среды.
Незатухающимиколебаниями могут быть только те, которые совершаются под действием периодической внешней силы (вынужденные колебания). Так, ветка будет раскачиваться до тех пор, пока дует ветер. Когда он перестанет дуть, колебания ветки со временем затухнут. Иголка швейной машинки будет совершать колебательные движения до тех пор, пока швея вращает ручку привода. Когда она перестанет это делать, иголка сразу остановится.
Динамика колебательного движения
Для того чтобы описать количественно колебания тела пол действием силы упругости пружины или колебания шарика, подвешенного на нити, воспользуемся законами механики Ньютона.
Уравнение движения тела, колеблющегося под действием сил упругости
Рассмотрим колебательное движение шарика, вызванное силой упругости, возникшей при растяжении горизонтальной пружины вдоль оси Ох.
Согласно II закону Ньютона произведение массы тела на ускорение равно равнодействующей всех сил приложенных к телу. Поскольку сила трения пренебрежимо мала, мы можем считать, что в этой механической системе действует единственная сила — сила упругости. Учтем, что шарик колеблется вдоль одной прямой, и выберем одномерную систему координат Ох. Тогда:
Согласно закону Гука, проекция сила упругости прямо пропорциональная смещению шарика из положения равновесия (точки О). Смещение равно координате x шарика, причем проекция силы и координаты имеют разные знаки. Это связано с тем, что сила упругости всегда направлена к точке равновесия, в то время как расстояние от этой точки во время движения увеличивается в обратную сторону. Отсюда делаем вывод, что сила упругости равна:
где k — жесткость пружины.
Тогда уравнение движения шарики принимает вид:
Пример №1. Груз массой 0,1 кг прикрепили к пружине школьного динамометра жесткостью 40 Н/м. В начальный момент времени пружина не деформирована. После того, как груз отпускают, возникают колебания. Чему равна максимальная скорость груза?
Максимальной скорости груз достигнет при максимальном его отклонении от положения равновесия — в нижней точке траектории. Учтем, что тело движется вниз под действием силы тяжести. Но в то же время на него действует сила упругости, которая возникает в пружине и нарастает до тех пор, пока не становится равной по модулю силе тяжести. Применив III закон Ньютона получим:
∣ ∣ ∣ → F т я ж ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ → F у п р ∣ ∣ ∣
где y m a x — максимальное отклонение груза от положения равновесия. В этой точке скорость тела будет максимальная. Для нахождения этой величины используем формулу из кинематики:
Начальная скорость равна нулю. Отсюда:
Максимальная скорость равна:
Уравнение движения математического маятника
Ниже на рисунке представлен математический маятник. Если мы выведем из положения равновесия шарик и отпустим, возникнет две силы:
При колебаниях шарика также будет возникать сила сопротивления воздуха. Но так как она очень мала, мы будем ею пренебрегать.
Чтобы описать динамику движения математического маятника, удобно силу тяжести разложить на две составляющие:
Причем компонента → F τ направлена перпендикулярно нити, а → F n — вдоль нее.
Компонента → F τ представляет собой проекцию силы тяжести в момент, когда нить маятника отклонена от положения равновесия (точки О) на угол α. Следовательно, она равна:
Знак «–» мы здесь поставили по той причине, что компоненты силы тяжести → F τ и α имеют противоположные знаки. Ведь если отклонить шарик на угол α>0, то составляющая → F τ будет направлена в противоположную сторону, так как она будет пытаться вернуть шарик в положение равновесия. И ее проекция будет отрицательной. Если же шарик отклонить на угол α → F τ будет направлена в обратную сторону. В этом случае ее проекция будет положительной.
Разделим обе части выражения на массу шарика m и получим:
Внимание!Чтобы перевести градусы в радианы, нужно умножить градусы на число π и поделить результат на 180. К примеру 2 о = 2∙3,14/180 рад., или 2 о = 0,035 рад.
При малом отклонении также дугу ОА мы можем принять за длину отрезка OA, который мы примем за s. Тогда угол α будет равен отношению противолежащего катета (отрезка s) к гипотенузе (длине нити l):
Это уравнение похоже на то уравнение, которое мы получили для описания колебательного движения шарика под действием силы упругости. И оно также позволяет сделать вывод, что ускорение прямо пропорционально координате.
При отклонениях на малый угол мы можем пользоваться следующей формулой:
Чтобы найти длину нити, нужно выразить угол α в радианах:
Тогда длина нити равна:
Основные характеристики колебательного движения
Амплитуда — максимальное отклонение тела от положения равновесия. Обозначается буквой A, иногда — xmax. Единиц измерения — метр (м).
Период — время совершения одного полного колебания. Обозначается буквой T. Единица измерения — секунда (с).
Период и частота колебаний связаны между собой следующей формулой:
Период колебаний также можно вычислить, зная количество совершенных колебаний N за время t:
Поскольку частота — это величина, обратная периоду колебаний, ее можно выразить в виде:
Пример №3. Определить частоту колебаний груза, если суммарный путь, который он прошел за 2 секунды под действием силы упругости, составил 1 м. Амплитуда колебаний равна 10 см.
Во время одного колебания груз проходит расстояние, равное 4 амплитудам. Посмотрите на рисунок. Положение равновесия соответствует состояние 2. Чтобы совершить одно полное колебание, сначала груз отводят в положение 1. Когда его отпускают, он проходит путь 1–2 и достигает положения равновесия. Этот путь равен амплитуде колебаний. Затем он продолжает движение до состояния 3. И в это время он проходит расстояние 2–3, равное еще одной амплитуде колебаний. Чтобы вернуться в исходное положение (состояние 1), нужно снова проделать путь в обратном направлении: сначала 3–2, затем 2–1.
Следовательно, количество колебаний равно отношению пройденного пути к амплитуде, помноженной на 4:
Так как мы знаем, что эти колебания совершались в течение 2 секунд, для вычисления частоты мы можем использовать формулу:
В таблице представлены данные о положении шарика, колеблющегося вдоль оси Ох, в различные моменты времени.
Каков период колебаний шарика?
Алгоритм решения
Решение
Из таблицы видно, что амплитуда колебаний равна 15 мм. Следовательно, максимальное отклонение в противоположную сторону составляет –15 мм. Расстояние между двумя максимальными отклонениями от положения равновесия шарика равно половине периода колебаний. Этим значения в таблице соответствует время 1 и 3 секунды соответственно. Следовательно, разница между ними — половина периода. Тогда период будет равен удвоенной разнице во времени:
Массивный груз, подвешенный к потолку на пружине, совершает вертикальные свободные колебания. Пружина всё время остается растянутой. Как ведут себя потенциальная энергия пружины, кинетическая энергия груза, его потенциальная энергия в поле тяжести, когда груз движется вверх к положению равновесия?
Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
1)
увеличивается
2)
уменьшается
3)
не изменяется
Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.
Алгоритм решения
Решение
Потенциальная энергия пружины определяется формулой:
где k — коэффициент жесткости пружины, а x — ее удлинение. Величина x была максимальной в нижней точке траектории. Когда пружина начинает сжиматься, она уменьшается. Так как потенциальная энергия зависит от квадрата x прямо пропорционально, то при уменьшении этой величины потенциальная энергия пружины тоже уменьшается.
Кинетическая энергия тела определяется формулой:
В нижней точке траектории скорость шарика была равна нулю. Но к этому времени потенциальная энергия пружины достигла максимума. Она начинает с ускорением поднимать шарик вверх, сжимаясь. Следовательно, скорость растет. Так как кинетическая энергия зависит от квадрата скорости тела прямо пропорционально, то при увеличении скорости этой величины кинетическая энергия шарика тоже увеличивается.
Потенциальная энергия тел в поле тяжести земли определяется формулой:
Масса и ускорение свободного падения шарика — постоянные величины. Следовательно, потенциальная энергия зависит только от расстояния до поверхности земли. Когда пружина поднимает шарик, расстояние между ним и землей увеличивается. Так как потенциальная энергия зависит от расстояния прямо пропорционально, то при его увеличении потенциальная энергия шарика тоже растет.
В таблице представлены данные о положении шарика, прикреплённого к пружине и колеблющегося вдоль горизонтальной оси Ох, в различные моменты времени.
Из приведённого ниже списка выберите два правильных утверждения и укажите их номера.
А) Потенциальная энергия пружины в момент времени 1,0 с максимальна.
Б) Период колебаний шарика равен 4,0 с.
В) Кинетическая энергия шарика в момент времени 2,0 с минимальна.
Г) Амплитуда колебаний шарика равна 30 мм.
Д) Полная механическая энергия маятника, состоящего из шарика и пружины, в момент времени 3,0 с минимальна.
Алгоритм решения
Решение
Согласно утверждению «А», потенциальная энергия пружины в момент времени 1,0 с максимальна. Потенциальная энергия пружины максимальна, когда она отклоняется от положения равновесия на максимальную возможную величину. Из таблицы видно, что в данный момент времени ее отклонение составило 15 мм, что соответствует амплитуде колебаний (наибольшему отклонению от положения равновесия). Следовательно, утверждение «А» — верно.
Согласно утверждению «Б», период колебаний шарика равен 4,0 с. Один период колебаний включает в себя 4 фазы. В течение каждой фазы шарик на пружине проделывает путь, равный амплитуде. Следовательно, мы можем найти период колебаний, умножив время одной фазы на 4. В момент времени t = 0 с, шарик находился в положении равновесия. Первый раз он отклонился на максимальную величину (15 мм) в момент времени t = 1,0 с. Значит, период колебаний равен 1∙4 = 4 с. Следовательно, утверждение «Б» — верно.
Согласно утверждению «В», кинетическая энергия шарика в момент времени 2,0 с минимальна. В этот момент времени, согласно данным таблицы, шарик проходит положение равновесия. В этом положении скорость шарика всегда максимальна. Поэтому кинетическая энергия, которая зависит от квадрата скорости прямо пропорционально, минимальной быть не может. Следовательно, утверждение «В» — неверно.
Согласно утверждению «Г», амплитуда колебаний шарика равна 30 мм. Амплитуда колебаний — есть расстояние от положения равновесия до точки максимального отклонения шарика. В данном случае оно равно 15 мм. Следовательно, утверждение «Г» — неверно.
Согласно утверждению «Д», полная механическая энергия маятника, состоящего из шарика и пружины, в момент времени 3,0 с минимальна. Полная механическая энергия колебательной системы — это совокупность кинетической и потенциальной энергий. И при отсутствии сил трения она остается величиной постоянной. Она лишь превращается из одного вида энергии в другую. Следовательно, утверждение «Д» — неверно.
Колебательные процессы широко распространены в природе. Одним из видов таких процессов являются свободные колебания. Рассмотрим их особенности.
Колебания и их виды
Колебания – это изменение состояния системы вокруг некоторого положения равновесия. Для возникновения колебаний необходим первоначальный импульс. А дальнейшее поведение системы может быть различным. В одних случаях сразу после прекращения воздействия система приходит в равновесие. И тогда, чтобы в системе продолжали происходить колебания, необходимо постоянно совершать работу по изменению состояния системы.
В других случаях система, выведенная из равновесия, не сразу приходит в исходное состояние, а совершает много колебательных движений, несмотря на то, что внешнее воздействие давно закончилось.
Описанные два вида колебаний называются соответственно вынужденными и свободными.
Вынужденные колебания – это колебания, совершаемые под действием внешней силы (поршень в двигателе). Свободные колебания – это колебания, совершаемые под действием внутренних сил системы (маятник).
Условия возникновения свободных колебаний
Условия возникновения свободных колебаний можно проследить на примере пружинного маятника. Такой маятник представляет собой груз, подвешенный на пружине.
Рис. 2. Пружинный маятник.
В положении равновесия пружина немного растянута, компенсируя вес груза (либо не имеет растяжения, если маятник горизонтален). При выведении из положения равновесия, в пружине возникает сила, тем большая, чем сильнее отклонение, и груз начнет движение.
Однако, в момент достижения точки равновесия, груз будет иметь некоторую скорость и кинетическую энергию. Остановиться здесь он не сможет. Он продолжит движение дальше, замедляясь и создавая в пружине новое напряжение, направленное в сторону, противоположную отклонению. В момент, когда он остановится – пружина вновь будет сжата, и снова начнет толкать груз к положению равновесия.
Таким образом, мы видим три условия, необходимых для возникновения свободных колебаний:
Есть еще одно, менее очевидное условие. Если пружинный маятник окажется в сильновязкой жидкости, то даже если вывести его из положения равновесия, груз медленно вернется в равновесие, и колебания не возникнут. Причина в том, что энергия сжатой пружины будет истрачена не на разгон груза, а на преодоление сопротивления вязкой жидкости.
Таким образом, последнее условие возникновения свободных колебаний – потери в системе должны быть достаточно малы, чтобы энергия, возвращающая систему в положение равновесия, терялась медленно.
Примерами свободных колебаний является не только пружинный маятник, но и обычный маятник (качели), часовой балансир, натянутая звенящая струна, прыгающий мяч и многое другое.
в зависимости от ситуации свободные колебания в системе могут быть желательны, а могут быть вредны. Если свободные колебания желательны (часовой маятник) – то принимают все меры для уменьшения потерь. Если свободные колебания вредны (детали машин и механизмов) – то вводят элементы, увеличивающие потери – демпферы и амортизаторы.
Что мы узнали?
Свободные колебания – это колебания, совершаемые под действием внутренних сил системы. Для их возникновения необходимо, чтобы в системе было одно положение равновесия, из которого система была бы выведена, чтобы возникала сила, возвращающая систему в равновесие, и чтобы потери в системе были достаточно малы.
Рис. 2. Пружинный маятник.