Что такое свойства и признаки в геометрии

Разница между свойством и признаком

В науке часто используются такие понятия, как «свойство» и «признак». Что они обозначают?

Что представляет собой свойство?

С научной точки зрения под свойством следует понимать некоторый регулярно проявляющий себя атрибут какого-либо объекта. Например, если это стальная пружина, то это может означать, что у нее есть такое свойство, как «пружинистость». Которое, в свою очередь, может состоять из большого количества других, «локальных» свойств — например, упругости, резкости, стойкости и т. д.

Рассматриваемое понятие может как предопределять совершенно уникальные характеристики предмета, так и формировать те или иные критерии для объединения соответствующего предмета в одну группу с какими-либо другими — возможно, и не похожими на него по сути. Особенно если близка их функциональность.

Например, с точки зрения применимости в машиностроении упругие пружины могут быть рассмотрены как детали, относящиеся к одной категории со столь же упругими шинами. По структуре это совершенно разные изделия. Но по свойству упругости и, как следствие, функциональности — очень близкие.

Свойства тех ли иных объектов во многом зависят от способов их использования либо исследования. Например, упругость — это, прежде всего, физическое свойство пружины. В свою очередь, если она выполнена из нержавеющей стали, то она приобретет уже химическое свойство — устойчивость к окислению. Металлическая пружина с точки зрения механической физики обладает, как мы отметили выше, «пружинистостью». Но с точки зрения электродинамики она будет обладать свойством проводимости — поскольку будет способна проводить электрический ток.

Свойства во многих случаях поддаются корректировке, то есть являются принципиально изменяемыми. Например, при размещении пружины в емкости с очень низкой температурой ее упругость может значительно снизиться, она станет хрупкой. С этой точки зрения свойство пружинистости может рассматриваться в данном случае как временный атрибут, который устойчив только при определенных условиях.

Что представляет собой признак?

С точки зрения науки под признаком следует понимать некоторое условие (совокупность условий) для идентификации какого-либо объекта либо отнесения его к той или иной категории. Например, пружина имеет такие признаки, как: спиралевидность, наличие металлической основы, наличие кольцеобразных витков на обоих торцах (что придает пружине устойчивость).

Признаков, как и свойств, у объекта может быть много. Среди них могут выделяться главные (например, спиралевидность у пружины) и «локальные» (например, одинаковый диаметр витков пружинной спирали).

Признак — это постоянный атрибут какого-либо объекта. Принципиально он не может быть скорректирован. Если он будет существенно изменен, то объект станет другим, и его правомерно будет относить уже к другой категории. Например, если пружину в условиях воздействия очень высокой температуры растянуть — вследствие чего она перестанет быть спиралевидной,—то она превратится в проволоку.

Сравнение

Главное отличие свойства от признака заключается в том, что первое — атрибут, который может быть изменен, и от этого тот или иной предмет принципиально не изменит своего предназначения, а также, скорее всего, не претерпит существенных корректировок его структура. В свою очередь, признак — ключевое условие идентификации предмета либо его отнесения к определенной категории. В случае его изменения предмет станет другим.

Очевидно, что свойства предметов дополняются различными признаками, и наоборот. При этом наличие у какого-либо объекта тех или иных свойств во многом предопределяется его признаками. И если изменятся вторые — осуществится также корректировка первых.

Определив,в чем разница между свойством и признаком, отразим выводы в таблице.

Источник

7 класс. Геометрия. Начальные геометрические сведения. Признаки, свойства и определения.

7 класс. Геометрия. Начальные геометрические сведения. Признаки, свойства и определения.

Вопросы

Задай свой вопрос по этому материалу!

Поделись с друзьями

Комментарии преподавателя

Определение. Примеры определений

Опре­де­ле­ние – это пер­вич­ное опи­са­ние объ­ек­та.

Смеж­ные углы – это такие углы, ко­то­рые до­пол­ня­ют друг друга на 1800.

Тре­уголь­ник на­зы­ва­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, если две его сто­ро­ны равны.

Также встре­ча­ют­ся и такие ва­ри­ан­ты этого опре­де­ле­ния:

Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник – это тре­уголь­ник, в ко­то­ром две сто­ро­ны между собой.

Рав­но­бед­рен­ным на­зы­ва­ет­ся тре­уголь­ник, у ко­то­ро­го две сто­ро­ны равны.

Тре­уголь­ник, у ко­то­ро­го две сто­ро­ны равны, на­зы­ва­ют рав­но­бед­рен­ным.

Клю­че­вые слова: это, на­зы­ва­ют.

У свой­ства осо­бен­ность в том, что объ­ект уже дан (на­при­мер, мы его видим), его не нужно опи­сы­вать, а нужно ука­зать его свой­ства на ос­но­ве уви­ден­но­го.

Примеры свойств

На­при­мер «стол», его опре­де­ле­ние – пред­мет ме­бе­ли в виде ши­ро­кой го­ри­зон­таль­ной пла­сти­ны на опо­рах, нож­ках. А, видя его, можно ука­зать на его свой­ства (рис. 1): он имеет че­ты­ре ножки, пря­мо­уголь­ной формы и т. д. На ри­сун­ке 2 изоб­ра­жен также стол по опре­де­ле­нию, но свой­ства у него немно­го дру­гие: круг­лая форма, ци­лин­дри­че­ские ножки и т. д.

Свой­ства рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка

Рис. 3. Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник

Мы знаем, что этот тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, ис­хо­дя из ри­сун­ка 3, ука­зы­ва­ем на его свой­ства: в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке углы при ос­но­ва­нии равны, вы­со­та, про­ве­ден­ная к ос­но­ва­нию, сов­па­да­ет с ме­ди­а­ной и бис­сек­три­сой.

Опре­де­ле­ние и свой­ство пря­мо­уголь­ни­ка

Рис. 4. Пря­мо­уголь­ник

Опре­де­ле­ние: пря­мо­уголь­ник – это че­ты­рех­уголь­ник, у ко­то­ро­го все углы пря­мые.

А когда пря­мо­уголь­ник дан (рис. 4), мы можем ука­зать свой­ство – у пря­мо­уголь­ни­ка диа­го­на­ли равны.

Признак и свойство

При­знак от­ли­ча­ет­ся от свой­ства тем, что в свой­стве фи­гу­ра дана и мы го­во­рим о ней, а в при­зна­ке нам не дана фи­гу­ра и мы ее рас­по­зна­ем.

Из­ве­стен при­знак жи­вот­но­го – хобот. Можно пред­по­ло­жить, что это слон.

А если из­вест­но, что жи­вот­ное – слон, то свой­ством его будет на­ли­чие хо­бо­та. Так же и в гео­мет­рии.

Свой­ства и при­знак рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка

Рис. 5. Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник

Свой­ство: в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке углы при ос­но­ва­нии равны. В этом слу­чае дан тре­уголь­ник (рис. 5).

При­знак: если в тре­уголь­ни­ке углы при ос­но­ва­нии равны, то этот тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный. В этом слу­чае мы не знаем, что этот тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, но, зная, что углы при ос­но­ва­нии равны, де­ла­ем вывод, что тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный.

В свой­стве объ­ект уже дан и мы опре­де­ля­ем его ха­рак­те­ри­сти­ки, в при­зна­ке мы пы­та­ем­ся опре­де­лить объ­ект с по­мо­щью ка­ких-то ха­рак­те­ри­стик, а опре­де­ле­ние дает пер­вич­ное по­ни­ма­ние, что это за объ­ект.

Пары свойство-признак

Свой­ство: у слона есть хобот.

При­знак: если у жи­вот­но­го есть хобот, то это слон.

При­знак: если в тре­уголь­ни­ке углы при ос­но­ва­нии равны, то тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный.

Свой­ство: в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке углы при ос­но­ва­нии равны.

Свой­ство: если тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, то вы­со­та, про­ве­ден­ная к ос­но­ва­нию, сов­па­да­ет с ме­ди­а­ной и бис­сек­три­сой.

При­знак: если в тре­уголь­ни­ке вы­со­та сов­па­ла с ме­ди­а­ной, то тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный.

Не все­гда пары при­знак-свой­ство вы­пол­ня­ют­ся на прак­ти­ке.

Рас­смот­рим это на гео­мет­ри­че­ском при­ме­ре.

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

Свой­ство: смеж­ные углы в сумме дают 1800

Рис. 7. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

Сле­ду­ет пом­нить, что свой­ства и при­зна­ки не все­гда идут па­ра­ми.

Определение признака и свойства фигуры

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

Во­прос: по­че­му в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке две сто­ро­ны равны между собой (рис. 8)?

Ответ: по опре­де­ле­нию.

Во­прос: по­че­му в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке углы при ос­но­ва­нии равны?

Ответ: по свой­ству. По­то­му что мы знаем, что это за тре­уголь­ник.

Во­прос: по­че­му если в тре­уголь­ни­ке углы при ос­но­ва­нии равны, то этот тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный?

Ответ: по при­зна­ку. В дан­ном слу­чае не дано, что тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный.

Заключение

Се­год­ня на уроке мы разо­бра­ли раз­ни­цу между опре­де­ле­ни­я­ми, при­зна­ка­ми и свой­ства­ми. Вспом­ним. Опре­де­ле­ние – это пер­вич­ное по­ни­ма­ние того, что за объ­ект перед нами. Свой­ство – это когда дан объ­ект и мы его изу­ча­ем. При­знак со­сто­ит в том, что объ­ект не дан и мы пы­та­ем­ся его вы­де­лить из общей массы.

Источник

Методическая разработка по геометрии «Признак или свойство?»

Признак или свойство?

Понятия «признак», «свойство» являются одними из фундаментальных в геометрии. Однако в школьных учебниках определения этих понятий практически не встречаются.

Я считаю, что уверенное владение этими понятиями является необходимым условием хорошего знания математики.

Великий сыщик Шерлок Холмс имел в своем распоряжении громадное количество общих утверждений, которыми он умело пользовался, опираясь на дедуктивный метод – от общего к частному. Так, например, из общего утверждения

«Если человек имеет татуировку в виде якоря, то этот человек – моряк»

И частного рассуждения

«Джон Смит имеет татуировку в виде якоря»,

Холмс делает вывод:

Здесь общее утверждение есть не что иное, как признак моряка, т.е. только ему присущая черта. В словаре русского языка можно найти определение моряка: «Моряком называется человек, который служит во флоте». Приведенный пример показывает, что определение и признак – разные утверждения.

Подведем итог. Во всяких утверждениях вида «Если А, то этот человек – моряк» А является признаком моряка.

Заметим, что синонимом слова «признак» является слово «примета». И тогда можно вспомнить известные признаки хорошей погоды, плохой погоды.

В утверждении вида «Если человек – моряк, то А» А выражает свойство моряка. Вместо А можно подставить подходящие утверждения, например, «любит море», «умеет вязать морские узлы». Свойство отличается от признака тем, что присуще не только моряку. Но, с другой стороны, если вы встретили моряка, то он обязательно обладает этим свойством.

В качестве домашнего задания можно предложить ребятам выписать в тетради утверждения, которые выражали бы свойства умного человека, скучного человека, доброго человека, сильного человека.

Успешное овладение понятиями признак и свойство – один из главных этапов осмысленного подхода к решению задач.

Для этого на уроках необходимо включать в уроки небольшие логические игры и упражнения, цель которых – научить ребят хорошо разбираться в том, что есть «признак», а что есть «свойство». Вот примеры таких упражнений.

Упражнение 1. Используя слова «признак» или «свойство», назовите следующие утверждения:

«Если человек любит животных, то он добрый».

«Если человек сильный, то сможет подтянуться 20 раз».

«Если человек голодный, то он злой».

«Если человек умный, то он подумает прежде, чем сказать».

Упражнение 2. Сформулируйте в виде «Если …, то…» утверждения:

«В том то и признак настоящего искусства, что оно всегда современно, насущно-полезно» (Ф.Достоевский).

«У всех учеников 7 «Б» класса есть замечательное свойство: они любят математику».

Упражнение 3. Назовите двумя способами, используя слова «свойство» и «признак», утверждение:

«Если человек спортсмен, то он обладает хорошим здоровьем».

«Если человек хорошо играет в шахматы, то он умеет мыслить логически».

Следует довести до понимания ученика, что в одном и том же общем утверждении содержится как признак, так и свойство. Поэтому на первых парах наибольшую ценность представляют задачи, в которых используются и свойство, и признак.

Пусть, например требуется доказать что биссектрисы накрест лежащих углов при параллельных прямых параллельны.

Прямые параллельны, следовательно, надо использовать утверждения вида «Если прямые параллельны, то:», то есть свойства параллельных прямых. Далее, нужно доказать, что биссектрисы параллельны, значит, надо использовать признак параллельных прямых.

Упражнение 4. Назовите углы, которые обладают тем же свойством, что и

а) вертикальные углы; б) смежные углы.

а) углы при основании равнобедренного треугольника, накрест лежащие углы при параллельных прямых, соответственные углы;

б) углы треугольника, внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

В данном упражнении закрепляется понимание того, что свойство – это нечто непременно присущее данному объекту, но подобным свойством могут обладать и другие объекты.

Упражнение 5. Назовите признаки: а) равных углов; б) параллельных прямых; в) равнобедренного треугольника.

Данное упражнение должно сформировать понимание того, что объект может иметь много признаков, и по одному признаку найти все объекты данного вида мы не сможем.

Например, признаком того, что число делится на 2, является его делимость на 4, на 6, на 10. Используя один из этих признаков мы действительно находим числа, которые делятся на 2, но это будут не все такие числа.

Упражнение 6. Приведите пример свойства, которое одновременно является признаком.

Из вышесказанного ясно, что это должно быть уникальное свойство, то есть присущее только этому объекту. Например, свойство углов при основании равнобедренного треугольника.

Итак, в конце 7 класса надо добиться понимания того, что:

Признаком А являются такие утверждения В, что верно предложение

Свойством А являются такие утверждения В, что верно предложение

Одно и то же утверждение вида

Можно рассматривать как признак В или как свойство А.

На первых уроках геометрии в 8 классе можно сообщить учащимся, что для тех утверждений, которые мы называли признаками и свойствами, в математике используются термины «достаточное условие» и «необходимое условие».

Например, известное свойство вертикальных углов можно сформулировать следующим образом: «Для того чтобы углы были вертикальными, необходимо, чтобы они были равны» или «Равенство углов является необходимым условием вертикальных углов».

Упражнение 7. Используя термины «необходимо» и «необходимое условие», сформулируйте теоремы о свойстве вертикальных углов, свойствах равнобедренного треугольника.

Возможный ответ: свойство является лишь необходимым условием; следовательно, теорему-свойство углов равнобедренного треугольника можно сформулировать так:

«Для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо, чтобы углы при его основании были равны».

«Для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо, чтобы его медиана являлась высотой».

Упражнение 8. Используя термин «достаточно», сформулируйте признак равенства треугольников и признак равнобедренного треугольника.

Понятия «необходимое условие», «достаточное условие» очень удобно отрабатывать в процессе изучения темы «Четырехугольники». Эта тема содержит большое число утверждений, которые одновременно являются и необходимыми, и достаточными.

Упражнение 9. Установите, какие из утверждений являются верными, а какие-нет:

а) для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали делились точкой пересечения пополам;

б) для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были перпендикулярны;

в) для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были равны.

Ответ: утверждение а) верно.

Рассмотрим подробнее утверждения б) и в). Конечно равенство диагоналей четырехугольника не является достаточным условием для того, чтобы он был прямоугольником, так же как и перпендикулярность диагоналей – лишь необходимое условие для того, чтобы четырехугольник был ромбом.

Задание к упражнению 9: «Заменить слово в предложениях б) и в) так, чтобы данные утверждения стали верными».

Ответ: вместо слова «четырехугольник» надо поставить слово «параллелограмм».

Упражнение 10. Проверьте, верно ли утверждение:

а) для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были равны и точкой пересечения делились пополам;

б) для того чтобы четырех угольник был ромбом, необходимо и достаточно, чтобы все его стороны были равны;

в) для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо и достаточно, чтобы диагонали были биссектрисами его углов.

Упражнение 11. Вставьте вместо многоточия подходящие по смыслу термины «необходимо», «достаточно» и «необходимо и достаточно».

а) для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, … чтобы его противолежащие углы были равны;

б) для того чтобы диагонали в четырехугольнике были равны, … чтобы он был прямоугольником;

в) для того чтобы четырехугольник был квадратом, … чтобы все его углы были равны.

Ответы: а)необходимо и достаточно; б) достаточно; в) необходимо.

Упражнение 12. Сформулируйте в виде «Если А, то В» следующие утверждения:

а) Перпендикулярность диагоналей – необходимое условие для того, чтобы четырехугольник был ромбом;

б) «Знать необходимо не затем, чтобы только знать, но для того, чтобы делать» (М.Горький)

Другими словами: знание – необходимое, но недостаточное условие для того, чтобы делать что то полезное.

Итак, если в 7 классе ученики прочно овладели понятиями «признак» и «свойство», то в 8 классе целесообразно введение терминов «необходимо» и «достаточно», поскольку тема «Четырехугольники» представляет немало возможностей для работы с этими терминами.

Источник

Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы

Понятие аксиомы

Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.

Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.

Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.

Основные аксиомы евклидовой геометрии

Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.

А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.

Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:

Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.

У этой аксиомы два следствия:

Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:

Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.

На картинке можно увидеть, как это выглядит:

Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.

Понятие теоремы

Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.

Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.

Состав теоремы: условие и заключение или следствие.

Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.

Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.

Способы доказательства геометрических теорем

Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.

Приемы для доказательства в геометрии:

Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.

Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:

В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.

Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.

Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:

В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Теоремы без доказательств

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:

Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:

где a, b и c — стороны плоского треугольника,

α — угол, противолежащий стороне а.

Следствия из теоремы косинусов:

Понятия свойств и признаков

У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.

Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.

Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.

Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.

Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.

Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.

Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.

А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.

Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.

Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:

Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.

Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.

Источник