По каким признакам можно установить что параллелограмм является ромбом
По каким признакам можно установить что параллелограмм является ромбом
Определение 1. Ромб − это параллелограмм, у которого все стороны равны.
На рисунке 1 изображен ромб ABCD.
 |
Определение 2. Ромб − это четырехугольник, у которого все стороны равны.
Ромб разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней областью ромба, а другая внешней областью ромба.
Объединение ромба и ограниченной им части плоскости также называют ромбом.
Свойства ромба
Поскольку ромб является параллелограммом, то имеет следующие свойства:
Ромб имеет также и следующие свойства:
Докажем свойства 6 и 7, сформулировав следующую теорему:
Теорема 1. Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.
Доказательство. По определению 1, \( \small AD = DC \) (Рис.2). Следовательно треугольник \( \small DAC \) равнобедренный. Тогда \( \small \angle DCO = \angle DAO. \) Учитывая, что \( \small AO = OC \) (свойство 5 ромба), получим, что треугольники \( \small DOA \) и \( \small DOC \) равны по двум сторонам и углу между ними (см. статью Треугольники. Признаки равенства треугольников). Тогда равны углы DOC и DOA. Но эти углы смежные и их сумма равна 180°. Следовательно \( \small \angle DOC= \angle DOA=90°. \) То есть диагонали AC и BD перпендикулярны.
 |
Из равенства треугольников \( \small DOA \) и \( \small DOC \) также следует, что \( \small \angle CDO= \angle ADO,\) следовательно BD является биссектрисой угла ADС, то есть BD является биссектрисой ромба ABCD.
Признаки ромба
Признак 1. Если смежные стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм − ромб.
 |
Доказательство. Пусть смежные стороны параллелограмма ABCD равны. То есть имеем: AB=BC (Рис.3). У параллелограмма противоположные стороны равны (Свойство 1 статьи Параллелограмм). Тогда DC=AB=BC=AD. То есть все стороны параллелограмма равны и по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.
Признак 2. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм − ромб.
Доказательство. Пусть диагонали параллелограмма ABCD перпендикулярны (Рис.3). Рассмотрим прямоугольные треугольники AOB и COB. Так как у параллелограмма диагонали точкой пересечения разделяются пополам (Свойство 2 статьи Параллелограмм), то AO=OC. Тогда прямоугольные треугольники AOB и COB равны по двум катетам (AO=OC, BO общий катет (см. статью Прямоугольный треугольник. Свойства, признаки равенства)). Следовательно AB=BC. Тогда по признаку 1 этот параллелограмм является ромбом.
Признак 3. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм − ромб.
 |
Признак 4. Если стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник − ромб.
Доказательство. Пусть у четырехугольника все стороны равны. Тогда этот четырехугольник является параллелограммом (признак 2 статьи Параллелограмм). А по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.
Ромб, его свойства и признаки.
Ромб, его свойства и признаки.
Рассмотрим ещё два вида параллелограмма.
Определение. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Поскольку ромб является параллелограммом, то он обладает теми же свойствами, что и параллелограмм, т.е.: у ромба противолежащие углы равны (стороны у него и так все равны, поэтому в этом свойстве мы опускаем равенство противолежащих сторон); диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Кроме того, ромб обладает ещё и своими, особенными свойствами. Рассмотрим их.
ТЕОРЕМА. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны.
2. и – смежные, значит, по свойству смежных углов
, как, впрочем, и остальные углы (мы знаем, что если угол прямой, то смежный с ним угол также прямой).
3. Итак, прямые и при пересечении образуют прямой угол, значит, эти прямые перпендикулярны, т.е. , ч.т.д.
ТЕОРЕМА. У ромба диагонали являются биссектрисами углов.
Доказать: – биссектриса и
Для того, чтобы доказать, что и являются биссектрисами углов, нам нужно доказать, что они делят эти углы пополам.
Итак, ромб обладает следующими свойствами :
У ромба диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
У ромба диагонали взаимно перпендикулярны.
У ромба диагонали являются биссектрисами его углов.
У ромба противоположные углы равны.
У ромба высоты равны.
Теперь определим признаки ромба.
ТЕОРЕМА ( I признак ромба). Если у параллелограмма две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.
Так как – параллелограмм, то у него противолежащие стороны равны.
– ромб (по определению), ч.т.д.
ТЕОРЕМА ( II признак ромба). Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом. 
по свойству диагоналей параллелограмма, значит, – медиана (по опред-нию).
ТЕОРЕМА ( III признак ромба). Если у параллелограмма диагональ является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм является ромбом. 
ТЕОРЕМА ( IV признак ромба). Если у параллелограмма высоты равны, то такой параллелограмм является ромбом.
ТЕОРЕМА ( V признак ромба). Если в четырёхугольнике все стороны равны, то он является ромбом.
Если у параллелограмма две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.
Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом.
Если у параллелограмма диагональ является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм является ромбом.
Если у параллелограмма высоты равны, то такой параллелограмм является ромбом.
Если в четырёхугольнике все стороны равны, то он является ромбом.
Сторона ромба равна см. Найдите периметр ромба.
Найдите все углы ромба, если его сторона равна диагонали.
Найдите углы ромба, если основание перпендикуляра, опущенного из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам.
Периметр ромба равен см, расстояние между противолежащими сторонами равно см. Найдите углы ромба.
Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на меньше другого.
Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.
Докажите, что параллелограмм, у которого две смежные стороны равны, является ромбом.
Докажите, что если каждая диагональ четырёхугольника делит пополам два его угла, то этот четырёхугольник является ромбом.
Через точку пересечения диагоналей ромба проведены перпендикуляры к его сторонам. Докажите, что точки пересечения этих перпендикуляров со сторонами ромба являются вершинами прямоугольника.
В параллелограмме биссектрисы углов и пересекают стороны параллелограмма и в точках и соответственно. Докажите, что четырёхугольник – ромб.
В ромбе перпендикуляр, проведённый из вершины тупого угла к стороне ромба, делит эту сторону пополам. Найдите углы ромба.
Докажите, что четырёхугольник, вершины которого находятся в серединах сторон прямоугольника, является ромбом.
Периметр ромба равен см. Найдите сторону ромба.
Два ромба имеют общую точку пересечения диагоналей, причём, меньшие диагонали этих ромбов взаимно перпендикулярны. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину стороны одного ромба, перпендикулярна стороне другого.
Найдите величину большего угла ромба, если его сторона равна одной из его диагоналей.
Докажите, что треугольник равнобедренный.
В ромбе биссектриса угла делит сторону ромба пополам. Найдите тупой угол ромба.
Параллелограмм: свойства и признаки
Определение параллелограмма
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Как выглядит параллелограмм:
Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.
Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.
Свойства диагоналей параллелограмма:
Биссектриса параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.
Свойства биссектрисы параллелограмма:
Как найти площадь параллелограмма:
Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.
P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.
У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Свойства параллелограмма
Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.
Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:
А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.
Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.
В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.
Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:
Теорема доказана. Наше предположение верно.
Признаки параллелограмма
Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.
Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 1 признак параллелограмма:
Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:
Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.
Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.
Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:
Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:
Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.
Вот так быстро мы доказали первый признак.
Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 2 признак параллелограмма:
Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:
Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:
Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.
Шаг 3. Из равенства треугольников следует:
А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.
Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.
Доказали второй признак.
Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 3 признак параллелограмма:
Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:
Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.
Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).
Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.
Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.
Ромб. Свойства и признаки ромба
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Если у ромба – прямые углы, то он называется квадратом.
Свойства ромба
1. Поскольку ромб – это параллелограмм, то все свойства параллелограмма верны для ромба.
Помимо этого:
2. Диагонали ромба перпендикулярны.
3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4.
Признаки ромба
Чтобы параллелограмм 
оказался ромбом, необходимо выполнение одного из следующих условий:
1. Все стороны параллелограмма равны между собой (
).
2. Диагонали пересекаются под прямым углом (
).
3. Диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов.
Площадь ромба
Смотрите также таблицу-шпаргалку «Площади простейших фигур» здесь.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Презентация по геометрии по теме «Ромб» ( 8 класс)
Описание презентации по отдельным слайдам:
Описание слайда:
Учитель: Бондарева В.В.
Экономический лицей
ФГБОУ ВО РЭУ им. Г.В.Плеханова
Ромб и его свойства
Описание слайда:
Природа говорит языком математики: буквы этого языка – круги, треугольники и иные математические фигуры.
(Г. Галилей)
Описание слайда:
Любой ли четырёхугольник является параллелограммом?
Любой ли параллелограмм является прямоугольником?
Чему равна сумма углов параллелограмма?
Одна сторона прямоугольника равна 6см, а другая сторона больше её на 2см. Чему равен периметр прямоугольника?
Каково свойство диагоналей прямоугольника?
Диагонали прямоугольника равны.
Сумма длин диагоналей прямоугольника 12 см. Найдите длину каждой диагонали.
Диагонали прямоугольника равны.
Описание слайда:
По рисунку определите
и сформулируйте признак
параллелограмма
В
А
С
D
О
А
А
В
В
С
С
D
D
Признаки параллелограмма
3
1
2
Описание слайда:
На рисунке изображены прямоугольники. По рисунку определите и сформулируйте свойства прямоугольника.
Противолежащие стороны прямоугольника равны
Противолежащие углы прямоугольника равны
Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам
Диагонали прямоугольника равны.
Описание слайда:
Признаки прямоугольника
По каким признакам можно установить, что параллелограмм является прямоугольником?
Если один из углов параллелограмма прямой, то этот параллелограмм – прямоугольник.
Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.
Описание слайда:
Четырёхугольник DEFK- прямоугольник, DE = 9см, DK = 12cм, DF = 15см, угол DME = α. Определите:
К
D
F
E
М
α
9см
FK =
= 15см
EK =
7,5см
MF =
42см
PDEFK =
27см
PEMF =
180º-α
DMK=
α/2
DKM=
90º- α/2
DEK=
Описание слайда:
Ромб — фигура непростая,
Две в себе объединяет:
Треугольник раз и два —
Фигура стала вдруг одна.
Четыре в ромбе стороны.
Между собой они равны.
Четыре в ромбе и угла,
Равны между собой по два.
Описание слайда:
Ромбом называют параллелограмм
у которого
все стороны равны
Описание слайда:
Это интересно
Rhombob (греч.)- бубен
Карточная масть
Веретено
Описание слайда:
Свойства параллелограмма
Особое свойство
ромба
D
А
В
С
Описание слайда:
Свойства параллелограмма
Противолежащие стороны
ромба равны
Противолежащие стороны параллелограмма равны
1
Противолежащие углы
ромба равны
Противолежащие углы параллелограмма равны
Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам
2
3
Свойства ромба
Описание слайда:
Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.
Док-во:
Док-во:
D
А
В
С
О
Описание слайда:
Четырёхугольник DEFK- ромб, EО = 9см, DЕ= 10cм, DF = 16см, угол DEК = α. Определите:
К
D
F
E
α
10см
DK =
9см
OK =
8см
OF =
40см
PDEFK =
20см
PFOK =
90º
DOE=
2α
DEF=
90º- α
ODK=
О
Описание слайда:
Описание слайда:
Описание слайда:
Если диагональ параллелограмма является биссектрисой угла, то этот параллелограмм – ромб.
Описание слайда:
Биссектрисы углов А и В параллелограмма АВСD пересекают его стороны ВС и АD в точках F и Е соответственно. Определите вид четырёхугольника ABEF.
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Похожие материалы
Презентация по геометрии по теме «Прямоугольник» ( 8 класс)
Презентация по геометрии по теме «Параллелограмм» ( 8 класс)
Презентация по геометрии по теме «Многоугольники» ( 9 класс)
Презентация «Признаки равенства треугольников»
Итоговый зачёт за 1 полугодие
Презентация на тему «Теорема Пифагора»
Презентация по геометрии на тему «первый признак равенства треугольников»
Презентация по геометрии на тему «Четырехугольники. Зачет»
Не нашли то что искали?
Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5357330 материалов.
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
В Ленобласти педагоги призеров и победителей олимпиады получат денежные поощрения
Время чтения: 1 минута
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Трехлетнюю олимпиаду среди школ запустят в России в 2022 году
Время чтения: 1 минута
Каждый третий российский школьник хотел бы стать разработчиком игр
Время чтения: 2 минуты
ОНФ проверит качество охраны в российских школах
Время чтения: 2 минуты
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.