По кругу расставлены 99 натуральных чисел известно что каждые два соседних
По кругу расставлены 99 натуральных чисел известно что каждые два соседних
По кругу в некотором порядке по одному разу написаны натуральные числа от 9 до 18. Для каждой из десяти пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель.
а) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1?
б) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители попарно различны?
в) Какое наибольшее количество попарно различных наибольших общих делителей могло при этом получиться?
а) Да, могло. Например, если числа записаны в порядке 9, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 18, 17, 10.
б) Всего по кругу записано 10 чисел. Для каждой пары соседних чисел мы ищем наибольший общий делитель, следовательно, получим 10 наибольших общих делителей. Если они все попарно различны, то хотя бы один из них не меньше 10. Но такого быть не может, так как для данных чисел наибольший из всевозможных наибольших общих делителей есть НОД(18, 9) = 9.
в) Числа 11, 13 и 17 являются простыми, наибольшие общие делители этих чисел со всеми остальными числами равняются 1. Каждое из чисел имеет двух соседей, следовательно, хотя бы два числа из этих трёх будут иметь по крайней мере одного соседа, отличного от этих трёх чисел. Таким образом, хотя бы четыре из всех наибольших общих делителей будут равняться 1, то есть совпадать. Следовательно, не может быть больше, чем семь попарно различных наибольших общих делителей, поскольку всего их десять, причём четыре совпадают. Для расстановки 9, 18, 12, 16, 14, 13, 11, 17, 10, 15 получается ровно 7 попарно различных наибольших общих делителей.
Ответ : а) Да; б) нет; в) семь.
Приведем решение пункта б) Сергея Николаева.
Среди чисел от 9 до 18 есть простые числа 11, 13, 17. Для пары, содержащей простое число, наибольший общий делитель равен 1. Следовательно, хотя бы для двух пар наибольшие общие делители совпадают.
1. По кругу расставлены 100 чисел?
1. По кругу расставлены 100 чисел.
Известно, что каждое число равно среднему арифметическому двух соседних.
Докажите, что все числа равны.
А)очевидно, что случай, когда все числа равны, является решением задачи
Б)предположим, что все числа не равны между собой
тогда возьмем наибольшее из них(оно, очевидно, найдется, иначе, если его нет, то все равны между собой и мы приходим к п.
обозначим наибольшее число буквой X
но ни один из соседей не может быть больше X, так как мы взяли X наибольшим числом
отсюда получаем, что оба соседа X в точности равны ему самому, следовательно, число, стоящее слева или справа от соседа числа X, так же равно X(т.
отсюда получаем, что все числа в круге равны X = > ; равны между собой, что и требовалось доказать.
Среднее арифметическое двух чисел равно 23?
Среднее арифметическое двух чисел равно 23.
Чему должно быть равно третье число, чтобы среднее арифметическое трёх чисел было равно 27.
Известно что среднее арифметическое двух чисел равно 12?
Известно что среднее арифметическое двух чисел равно 12.
65 и что одно число на 1.
Найдите второе число.
Помогите решить По кругу расставлены 2015 натуральных чисел?
Помогите решить По кругу расставлены 2015 натуральных чисел.
Докажите, что найдутся два соседних числа такие, что после их выкидывания оставшиеся числа нельзя разбить на две группы с равной суммой.
Среднее арифметическое двух чисел равно 23?
Среднее арифметическое двух чисел равно 23.
Чему должно быть равно третье число, чтобы среднее арифметическое трёх чисел было равно 27?
Среднее арифметическое двух чисел равно 5, 6?
Среднее арифметическое двух чисел равно 5, 6.
Известно, что первое число составляет 60% их суммы.
По кругу записанно 100 чисел, каждое из которых равно среднему арифметическому своих соседей?
По кругу записанно 100 чисел, каждое из которых равно среднему арифметическому своих соседей.
Докажите, что все 100 чисел равны!
Среднее арифметическое двух чисел равно 6, 4?
Среднее арифметическое двух чисел равно 6, 4.
Известно, что 1 число составляет 75% их суммы.
Среднее арифметическое двух чисел равно 84 первое число равно 69 найдите второ число?
Среднее арифметическое двух чисел равно 84 первое число равно 69 найдите второ число.
Среднее арифметическое двух чисел равно 23?
Среднее арифметическое двух чисел равно 23.
Чему должно быть равно третье число чтобы среднее арифметическое трех чисел было равно 27.
По кругу расставлены 99 натуральных чисел известно что каждые два соседних
а) Приведите пример 5 различных натуральных чисел, расставленных по кругу так, что наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел равно 105.
б) Можно ли расставить по кругу 8 различных натуральных чисел так, чтобы наименьшее общее кратное двух соседних чисел равнялось 300, а наибольший общий делитель любых трёх подряд идущих чисел равнялся 1?
в) Какое наибольшее количество различных чисел можно расставить по кругу так, чтобы наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел было равно 60?
б) Нет. Каждое число в круге должно являться делителем числа 300. Поскольку 
делителей всего 
включая 1 и 300. Наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел должно равняться 300, поэтому рядом с числом 1 может стоять только 300 и число 1 не может находиться в круге. Среди делителей числа 300 есть 6 делителей, кратных 2 и не кратных 4, 6 делителей, кратных 5 и не кратных 25, и 2 делителя, кратных 10 и не кратных 4 и 25. Поэтому 10 чисел среди делителей числа 300 кратны 2 или 5 и не кратны их квадратам. Среди 8 чисел, выписанных в круг, не будет числа 1, поэтому там будет хотя бы одно число, кратное 2 или 5 и не кратное их квадратам. Рядом с таким числом с обеих сторон будут стоять числа, кратные тому же простому числу (2 или 5), поэтому наибольший общий делитель этих трёх подряд идущих чисел будет больше 1.
в) Каждое число, выписанное в круг, обязано быть делителем числа 60. У числа 
всего 12 делителей, считая 60 и 1. Среди этих делителей есть простое число 2, на квадрат которого делится 60. Рядом с числом 2 может стоять только число 60, чтобы их наименьшее общее кратное равнялось 60 (число, стоящее рядом с 2, должно делиться и на 4, и на 3, и на 5), поэтому число 2 не может быть написано. Рядом с числами 5 и 10 могут быть написаны только числа 12 и 60, поэтому если в круге больше 4 чисел, то 5 и 10 не могут одновременно находиться в круге. Аналогично 3 и 6 не могут быть написаны одновременно, поскольку рядом с ними могут быть написаны только числа 20 и 60. Значит, всего может быть выписано в круг не более 8 чисел. Пример чисел 60; 6; 20; 30; 4; 15; 12; 10 показывает, что наибольшее искомое количество чисел равно 8.
Ответ: а) Например, 105; 3; 35; 21; 5; б) нет; в) 8.
По кругу расставлены 99 натуральных чисел известно что каждые два соседних
На окружности некоторым способом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?
в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стояших через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?
а) При любой расстановке разность числа 11 и любого соседнего с ним числа меньше 11. Значит, всегда найдутся хотя бы две разности меньше 11.
б) Например, для расстановки 1, 12, 2, 13, 3, 14, 4, 15, 5, 16, 6, 17, 7, 18, 8, 19, 9, 20, 10, 21, 11 все разности не меньше 10.
в) Оценим значение k. Рассмотрим числа от 1 до 7. Если какие-то два из них стоят рядом или через одно, то найдется разность меньше 7. Иначе они стоят через два, поскольку всего чисел 21. В этом случае число 8 стоит рядом или через одно с каким-то числом от 2 до 7 и найдется разность меньше 7.
Таким образом, всегда найдется разность меньше 7. Все разности могут быть не меньше 6. Например, для расстановки 1, 8, 15, 2, 9, 16, 3, 10, 17, 4, 11, 18, 5, 12, 19, 6, 13, 20, 7, 14, 21 все разности не меньше 6.
Ответ: а) нет; б) да; в) 6.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Верно получены все перечисленные результаты (см. критерий на 1 балл). | 4 | ||||||||
| Верно получены три из перечисленных результатов (см. критерий на 1 балл). | 3 | ||||||||
| Верно получены два из перечисленных результатов (см. критерий на 1 балл). | 2 | ||||||||
| Верно получен один из перечисленных результатов: ― приведен верный пример в пункте а); ― обоснованное решение пункта б); ― доказательство невозможности равенства полученных произведений в); ― доказательство того, что любое четное натуральное число является По кругу расставлены 99 натуральных чисел известно что каждые два соседнихНа окружности некоторым способом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего. а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11? б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10? в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стояших через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k? а) При любой расстановке разность числа 11 и любого соседнего с ним числа меньше 11. Значит, всегда найдутся хотя бы две разности меньше 11. б) Например, для расстановки 1, 12, 2, 13, 3, 14, 4, 15, 5, 16, 6, 17, 7, 18, 8, 19, 9, 20, 10, 21, 11 все разности не меньше 10. в) Оценим значение k. Рассмотрим числа от 1 до 7. Если какие-то два из них стоят рядом или через одно, то найдется разность меньше 7. Иначе они стоят через два, поскольку всего чисел 21. В этом случае число 8 стоит рядом или через одно с каким-то числом от 2 до 7 и найдется разность меньше 7. Таким образом, всегда найдется разность меньше 7. Все разности могут быть не меньше 6. Например, для расстановки 1, 8, 15, 2, 9, 16, 3, 10, 17, 4, 11, 18, 5, 12, 19, 6, 13, 20, 7, 14, 21 все разности не меньше 6. Ответ: а) нет; б) да; в) 6.
|