Самое маленькое составное число

Что такое составные числа в математике 6 класс определение и примеры таблица

Составные числа

Любое натуральное число больше единицы является либо простым либо составным. Простым называют число, которое делится без остатка только на само себя или на единицу (2, 3, 5, 7 и т.д.). Составным называется число, которое имеет больше двух делителей (4, 6, 8 и т.д.).

Таблица составных чисел до 100

4	6	8	9	10	12	14	15	16	18	20	21
22	24	25	26	27	28	30	32	33	34	35	36
38	39	40	42	44	45	46	48	49	50	51	52
54	55	56	57	58	60	62	63	64	65	66	68
69	70	72	74	75	76	77	78	80	81	82	84
85	86	87	88	90	91	92	93	94	95	96	98
99	100

Самое маленькое составное число

Исходя из определения и пользуясь таблицей составных чисел, видно, что наименьшее натуральное составное число — 4.

Важно! Единица — не является ни простым, ни составным числом

Как определить составное ли число?

Возвращаясь к определению, получаем, что если число делиться без остатка на любое число, кроме самого себя и единицы — значит оно составное. Проверить это можно путем перебора делителей (к примеру, начать делить на 2, затем на 3 и т.д.), либо зная признаки делимости.

Простые и составные числа

Всего получено оценок: 138.

Всего получено оценок: 138.

Любое число можно разложить на множители, и количество этих множителей может быть различно. В зависимости от количества множителей, числа делятся на два лагеря: простые и составные. Каждый подвид имеет свои свойства, но главное это возможность легко находить НОД, НОК и работать с дробями с помощью простых и сложных дробей.

Что такое простое и составное число

Простым числом называется число, которое делится только на 1 и на себя. Например, 13 – простое число, делится на 1 и на 13. Сложными или составными называются числа, которые раскладываются на простые множители. Сложные числа легко определить, а для простых составлена специальная таблица.

Большинство простых чисел всегда на слуху, но если у вас не получается разложить на множители большое число, то лучше воспользоваться таблицей простых и составных чисел и делить на каждое число из таблицы поочередно. Это долгий, но надежный способ.

Примеры

Задача 1

Необходимо разложить на множители число 229.

Это задача из разряда ловушек. Такие примеры создаются для того, чтобы все четко запомнили первое правило разложения любого числа: проверить его наличие в таблице простых чисел. Как раз число 229 находится в таблице простых чисел после 200.

Кстати, существуют таблицы для 1000 и 10000 чисел, но для школьных задач 1000 вполне достаточно.

Задача 2

Разложить на простые множители число 669825

Последнее число все еще 5, а значит можно еще раз поделить на 5.

Теперь попробуем поделить на 3:

Попробуем поделить на 7:

$2977:7=425$ (ост.2) – Нацело не делится. Значит нужно пробовать все простые числа поочередно.

$2977:13=229 – а 229$, как мы уже знаем, это простое число. Запишем разложение числа 669825

Задача 3

Выполнить разложение чисел на множители и найти НОД, НОК для двух чисел 745 и 564.

Для начала выполним разложение, а после найдем НОК и НОД. Этот порядок действий проще, потому как первым шагом для нахождения как НОК, так и НОД служи разложение чисел на простые множители.

$745=5*149$ – 149 является простым числом.

$564=2*2*3*47$ – обратите внимание, что в обоих случаях нельзя обойтись без таблицы простых чисел. В уме не получится определить относятся 47 и 229 к простым числам или нет.

НОД для этих чисел не существует. Так как у них нет общих множителей. По той же причине НОК для этих двух чисел будет равняется их произведению.

В 6 классе для закрепления темы решается много похожих задач. Но в дальнейшей программе обучения, когда навык уже будет выработан, числа станут меньше, а задачи практичнее.

Что мы узнали?

Мы дали определение простым и составным числам, поговорили о различиях. Выяснили, для чего нужно это разделение. Поговорили о разложении составных чисел на простые. Решили несколько примеров и узнали, что при разложении больших чисел не обойтись без таблицы простых чисел. А также применили полученные знания для нахождения НОД и НОК.

Какие числа называют составными в математике

Составные числа — понятие и определение

Такие числа, которые используют при счете объектов и предметов, называют натуральными.

Натуральные числа бывают простыми и составными.

Если у числа есть только два делителя — единица и само число — то его называют простым. Самое маленькое простое число — это 2.

Например, к простым относят также 3, 5 и 7.

У 3 есть только два делителя: 1 и 3.

Составные числа являются натуральными и имеют больше двух делителей.

Например, 125 делится на 1, 5, 25, 125. Это составное число.

Единица не относится ни к простым, ни к составным натуральным числам.

Делителем числа называют такое число, при делении на которое полученный результат является целым (не имеет остатка).

Нельзя назвать самое большое составное число, потому что их бесконечное множество. Но можно определить самое маленькое натуральное составное число — это 4.

Чем отличаются от простых

Составные числа отличаются от простых тем, что у них есть еще хотя бы один делитель, который не равен единице и самому числу. Простое число имеет только два делителя: единицу и само себя.

С помощью нахождения делителей определяют, является ли число простым или составным. Чтобы найти делители числа, нужно разложить его на множители.

Разложить число на множители — значит, представить его в виде произведения чисел.

Множители подбирают с помощью применения признаков делимости, а также разложения числа на простые множители.

Разложение на простые множители — это математическая операция, которая представляет число в виде произведения простых множителей.

Основная теорема арифметики:

Любое составное число можно разложить на простые множители (представить в виде произведения) единственным способом.

Применение составных чисел

Каждое составное число в математике представляют в виде произведения двух и более натуральных чисел, которые больше единицы.

Составные числа встречаются повсюду:

Числа позволяют создавать математические модели, с опорой на которые принимаются актуальные решения.

Примеры решения задач

Найдите среди чисел 16, 37, 11, 58 и 13 составные.

По определению, число является составным, если оно имеет хотя бы один делитель, кроме 1 и самого себя.

16 делится нацело, например, на 2 и 8, значит, 16 является составным.

37 можно найти в таблице простых чисел.

2	79	191	311	439	577	709	857
3	83	193	313	443	587	719	859
5	89	197	317	449	593	727	863
7	97	199	331	457	599	733	877
11	101	211	337	461	601	739	881
13	103	223	347	463	607	743	883
17	107	227	349	467	613	751	887
19	109	229	353	479	617	757	907
23	113	233	359	487	619	761	911
29	127	239	367	491	631	769	919
31	131	241	373	499	641	773	929
37	137	251	379	503	643	787	937
41	139	257	383	509	647	797	941
43	149	263	389	521	653	809	947
47	151	269	397	523	659	811	953
53	157	271	401	541	661	821	967
59	163	277	409	547	673	823	971
61	167	281	419	557	677	827	977
67	173	283	421	563	683	829	983
71	179	293	431	569	691	839	991
73	181	307	433	571	701	853	997

Число 11 также найдем в таблице простых чисел.

58 можно разделить на 2, так как по признаку делимости, если число оканчивается четной цифрой, то оно делится нацело на 2. Значит, число имеет делитель, который отличается от 1 и 58. Следовательно, 58 — составное.

13 находим в таблице простых чисел.

Докажите, что число 296 является составным.

Число является составным, если у него есть хотя бы один делитель, кроме единицы и самого себя.

Для нахождения делителя, используем признаки делимости.

296 заканчивается на 6. Цифра 6 — четная, значит, по признаку делимости число делится без остатка на 2. И, если у него есть хотя бы один делитель, кроме 1 и 296 (в данном случае это 2), то оно является составным.

Что и требовалось доказать.

Можно ли говорить о том, что все четные числа являются составными?

Ответ: нет, так как, например, число 2 является четным, но при этом простым, потому что имеет только два делителя — 1 и 2.

Приведите примеры четырех составных чисел, кратных 3.

Числа, которые кратны трем, делятся на 3 нацело.

Вспоминаем признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться нацело на 3.

Тогда нужными нам примерами могут быть: 27, 126, 45 и 99.

27: составное число, так как имеет хотя бы один делитель, кроме 1 и самого себя — это 3. Сумма цифр числа равняется 9. Девять кратно 3.

126: составное, так как делится нацело на 2 — в разряде единиц стоит четная цифра 6. Сумма цифр — 1 + 2 + 6 = 9 — 9 кратно 3.

45: составное, делится нацело на 5 по признаку делимости. Сумма цифр равна 9, девять кратно 3.

99: составное, так как делится нацело на 9 по признаку делимости. Сумма цифр равна 18, а 18 кратно 3.

Простые и составные числа

Основные определения

Натуральные числа больше единицы бывают простые и составные.

Простое число — это натуральное число больше 1, у которого есть всего два делителя: единица и само число.

Составное число — похоже на простое. Это точно такое же натуральное число больше единицы, которое делится на единицу, на само себя и еще хотя бы на одно натуральное число.

Число 1 — не является ни простым, ни составным числом, так как у него только один делитель — 1. Именно этим оно отличается от всех остальных натуральных чисел.

Число 2 — первое наименьшее простое, единственное четное, простое число. Все остальные — нечетные.

Число 4 — первое наименьшее составное число.

В математике есть первые простые и составные числа, но последних таких чисел не существует.

А еще не существует простых чисел, которые оканчиваются на 4, 6, 8 или 0. В числе простых есть только одно число, которое заканчивается на 2 — и это само число 2. Из оканчивающихся на 5 — число 5. Все остальные оканчиваются на 1, 3, 7 или 9, за исключением 21, 27, 33 и 39.

Таблица простых чисел до 1000

2	3	5	7	11	13	17	19	23
29	31	37	41	43	47	53	59	61
67	71	73	79	83	89	97	101	103
107	109	113	127	131	137	139	149	151
157	163	167	173	179	181	191	193	197
199	211	223	227	229	233	239	241	251
257	263	269	271	277	281	283	293	307
311	313	317	331	337	347	349	353	359
367	373	379	383	389	397	401	409	419
421	431	433	439	443	449	457	461	463
467	479	487	491	499	503	509	521	523
541	547	557	563	569	571	577	587	593
599	601	607	613	617	619	631	641	643
647	653	659	661	673	677	683	691	701
709	719	727	733	739	743	751	757	761
769	773	787	797	809	811	821	823	827
829	839	853	857	859	863	877	881	883
887	907	911	919	929	937	941	947	953
967	971	977	983	991	997

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Составные числа – примеры, определение (6 класс, математика)

Простые и составные числа – это нетрудное разделение чисел. Различать простые и составные числа– значит правильно раскладывать числа на множители, находить общий знаменатель у двух дробей и решать пример или задачу. Сегодня подробнее поговорим о том, какие числа называют составными.

Что такое простые числа

Начинать разбираться с вопросом нужно с определения простых чисел. Итак, простым числом называют любое число, которое делиться само на себя и на 1. Наиболее ярким примером, который просто запомнить ученикам, является число 13.

По числу 13 сразу видно, что разделить его можно либо на 13 и получить 1, либо на 1 и получить 13.

Следует понимать, что речь идет именно о делении числа нацело. С остатком: целым или дробным – можно делить практически любые числа.

Для того, чтобы не гадать каждый раз: какое именно число перед вами, можно и нужно пользоваться таблицами простых чисел. В средней школе достаточно таблицы со значениями простых чисел до 100.

В старших классах придется расширить справочную литературу и найти таблицу со значениями простых чисел до 1000.

Что такое составные числа

Нетрудно догадаться, что составных чисел в разы больше, чем простых. Составным числом является число, которое не является простым. Вот и все определение, в этом нет ничего сложного.

Разберемся с тем, почему эта группа чисел называется составными. Разберемся на примере, возьмем уже знакомое нам число 13 и умножим его на другое простое число: 2.

13*2=26 – в результате получилось составное число, которое можно разделить на 1,2,13,26. Это число состоит из двух множителей: 2 и 13. Значит, составными числами называют числа, которые состоят из нескольких простых множителей. Иначе говоря, в состав числа входят 2 и более простых множителя.

По аналогии с простыми числами, составные числа называют сложные. Разделение чисел на простые и сложные запомнить куда проще, чем деление на простые и составные.

Зачем это нужно?

Зачем нужно деление на простые и составные числа в математике? Все просто, это нужно, чтобы упростить разложение на множители. Вместо того, чтобы долго искать на какие числа, собственно, раскладывать большое значение, можно просто воспользоваться таблицей.

А разложение на простые множители в свою очередь помогает в определении наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Эти значения нужны для сложения, вычитания и сравнения дробей.

Каким числом является 1?

Само собой, к составным числам 1 так же отнести нельзя, поэтому 1 считается числом вне категорий.

Каким числом является 0?

Ноль в противоположность единицы можно разделить вообще на любое число и получить все тот же ноль. Также ноль не раскладывается на простые множители. Чтобы объяснить этот математический эффект с точки зрения теории, было решено вынести ноль за категории простых и составных чисел.

Что мы узнали?

Мы поговорили о делении чисел на простые и составные числа. Выделили, два особых числа, которые не относятся ни к одной из группу. Также сказали, зачем вообще была введена эта классификация и привели примеры составных чисел.

Источник

Простые и составные числа

Основные определения

Натуральные числа больше единицы бывают простые и составные.

Простое число — это натуральное число больше 1, у которого есть всего два делителя: единица и само число.

Составное число — похоже на простое. Это точно такое же натуральное число больше единицы, которое делится на единицу, на само себя и еще хотя бы на одно натуральное число.

Число 1 — не является ни простым, ни составным числом, так как у него только один делитель — 1. Именно этим оно отличается от всех остальных натуральных чисел.

Число 2 — первое наименьшее простое, единственное четное, простое число. Все остальные — нечетные.

Число 4 — первое наименьшее составное число.

В математике есть первые простые и составные числа, но последних таких чисел не существует.

А еще не существует простых чисел, которые оканчиваются на 4, 6, 8 или 0. В числе простых есть только одно число, которое заканчивается на 2 — и это само число 2. Из оканчивающихся на 5 — число 5. Все остальные оканчиваются на 1, 3, 7 или 9, за исключением 21, 27, 33 и 39.

Таблица простых чисел до 1000

2	3	5	7	11	13	17	19	23
29	31	37	41	43	47	53	59	61
67	71	73	79	83	89	97	101	103
107	109	113	127	131	137	139	149	151
157	163	167	173	179	181	191	193	197
199	211	223	227	229	233	239	241	251
257	263	269	271	277	281	283	293	307
311	313	317	331	337	347	349	353	359
367	373	379	383	389	397	401	409	419
421	431	433	439	443	449	457	461	463
467	479	487	491	499	503	509	521	523
541	547	557	563	569	571	577	587	593
599	601	607	613	617	619	631	641	643
647	653	659	661	673	677	683	691	701
709	719	727	733	739	743	751	757	761
769	773	787	797	809	811	821	823	827
829	839	853	857	859	863	877	881	883
887	907	911	919	929	937	941	947	953
967	971	977	983	991	997

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Источник

Что такое составные однозначные числа

Простые и составные числа

Натуральные числа, большие единицы, в зависимости от количества их делителей, подразделяются на простые и составные числа.

Простое число — это натуральное число, которое больше единицы и делится только на единицу и само на себя.

2, 5, 7, 11 — простые числа.

2 — делится на 1 и на 2.

5 — делится на 1 и на 5.

7 — делится на 1 и на 7.

11 — делится на 1 и на 11.

Составное число — это натуральное число, которое больше единицы, делится не только на единицу и само на себя, но и ещё хотя бы на одно натуральное число.

4, 6, 9, 10 — составные числа.

4 — делится на 1, на 2 и на 4.

6 — делится на 1, на 2, на 3 и на 6.

9 — делится на 1, на 3 и на 9.

10 — делится на 1, на 2, на 5 и на 10.

Наименьшее простое число — число 2 (оно же первое простое число). Это единственное чётное простое число. Все остальные простые числа нечётные.

Наименьшее составное число — число 4 (оно же первое составное число).

Простых и составных чисел бесконечно много, есть первое простое и составное число, но нет последнего простого и составного числа.

Единица имеет только один делитель — само число 1. Этим единица отличается от всех остальных натуральных чисел, поэтому условились считать, что единица не является ни простым, ни составным числом.

Не существует простых чисел, оканчивающихся на 4, 6, 8 или 0. Среди простых чисел есть только одно число, оканчивающееся на 2 — само число 2, из оканчивающихся на 5 — тоже есть только одно число — само число 5. Все остальные простые числа, кроме 2 и 5, оканчиваются на 1, 3, 7 или 9. Не все числа, оканчивающиеся на 1, 3, 7, 9, являются простыми, например числа 21, 27, 33, 39 и многие другие — составные.

Калькулятор

Простые числа – это натуральные числа, их можно разделить только на два значения: единицу и себя. К натуральным относят те, которые используются во время счета, поэтому должно выполняться требование, чтобы они были положительными и целыми. Делители также не должны быть отрицательными и дробными.

Они широко применяются в криптографии, когда необходимо закодировать важную информацию от посторонних глаз. Шифрование касается каждого человека, так как используется в создании электронной почты, банковских карт. Даже мобильная связь защищается кодами.

Кроме того, используются на системах, защищающих транспортные средства от угонщиков, создают преграду для атак вирусов и взломов компьютерных сайтов. При попытке продолжить разложение простых чисел или определить закономерность появления, возникают новые способы математических расчетов.

Математика предлагает начинать знакомиться с данными понятиями в средней школе, в 5 или в 6 классе.

Проверка на принадлежность к определенному множеству достаточно простая:

Простые числа можно делить только на 1 и на такое же число. Например 3 и 7 — простые числа, 3 делится на 1 и на 3, 7 делится на 1 и на 7.

Составные числа можно делить не только на себя и единицу. При этом не должно получаться остатка. Они делятся на одно или несколько значений. Например, 8 и 6 относят к составным. Восьмерка делится на 1, 2, 4, 8; шестерка – на 1, 2, 3 и 6.

Определение простых чисел позволяет исключить из их ряда единицу. Она характеризуется наличием только одного делителя, не являющегося отрицательным значением. Получить ее можно, используя только один способ, умножив саму на себя.

Простые двузначные числа определяются по внешнему виду:

Если оканчиваются четной цифрой, то точно являются составными. То же касается и значений, имеющих больше двух знаков.

Если на конце находится цифра 5, то она входит в число делителей.

Такие простые способы помогают легко классифицировать многозначные показатели.

Некоторые двузначные вводят в заблуждение с первого взгляда, если оканчиваются на единицу. Кажется, что разложить на множители их невозможно. Но есть исключения, например: 21, 81. Чем дальше, тем больше отклонений от этой закономерности.

Последовательность простых чисел

Есть целые алгоритмы, помогающие получать новое, ранее неизвестное значение.

Существуют таблицы, в которых собраны найденные числа, имеющие не больше двух делителей, например, до 200, 1000 или больше.

Последовательность можно продолжать бесконечно, начинается она так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т. д.

Наименьшее и наибольшее простое число

Самым меньшим значением, делящимся на себя и 1, является 2. Это единственное простое значение, являющееся четным. Остальные всегда делятся на два, то есть получают третий делитель.

Простых чисел много и их количество стремится к бесконечности, потому узнать самое большое невозможно.

Нескончаемость ряда была доказана еще до нашей эры Евклидом. Он предложил перемножить все известные исследуемые значения и прибавить к ним единицу.

При его делении в любом случае будет оставаться остаток, то есть отнести к составным невозможно. Что противоречит тому факту, что были использованы все известные простые числа, в том числе и самое большое. Значит, предположение о конечности ряда является неверным.

В настоящее время известно значение, имеющее около 25 миллионов знаков. Оно относится к наибольшему из открытых наукой, это 2 82 589 933

Множество простых чисел

Множествами называются совокупности элементов, объединенных в одно целое общими свойствами.

Для изучаемых объектов к ним относятся:

принадлежность к натуральным;

наличие максимум двух делителей.

Простые числа можно определить, используя решето Эратосфена. Нужно выписать в ряд все значения, с которыми предстоит работать. Выбрать самое маленькое и вычеркнуть его, затем продолжать действие, убирая кратные ему.

Например, в ряду от 1 до 100 первым таким объектом будет 2. Поэтому и вычеркивать нужно значения, кратные двойке, то есть те, которые делятся на нее.

По окончании из оставшихся выбрать новое простое, искать кратные ему и также убирать. Повторять, пока это представляется возможным.

В итоге, все составные окажутся зачеркнутыми.

Эратосфен использовал свое открытие следующим образом. Он брал папирус, записывал на нем необходимые значения, при отборе прокалывал неподходящие острым предметом (отсюда название «решето Эратосфена»). Поэтому они как будто просеивались через сито, и в списке оставались видимыми только необходимые.

Некоторые свойства простых чисел

Выделяют свойства, объединенные в теоремы, постулаты. Многие являются основой математических правил, используемых в настоящее время.

Изучением занимается теория чисел, при использовании формул простые числа обозначаются буквой n.

Известны следующие правила:

Если рассматривать два простых числа (n), одно из которых делится на другое, то можно утверждать, что они равны.

Все являются нечетными, за исключением двойки.

Можно выделить пары, разница между которым равна 2. При их сложении получается значение, кратное трем. Их так и называют парными или близнецами. Исключение составляют две первые цифры в ряду, 3 и 5, так как сумму, полученную при их сложении, нельзя разделить на 3.

Для каждого натурального значения (N), большего единицы, существует n, превышающее его. При этом удвоенное натуральное будет больше n.

Если одно из двух N делится на n, то их произведение также будет делиться на него.

Любое N, за исключением единицы, можно отнести к n или представить в виде их произведения.

Если взять составное число и разложить его на множители n, то среди них окажется один, квадрат которого будет меньше первоначального составного.

Некоторые n имеют пары, которые можно найти, перевернув n наоборот. Например, 13 и 31, 37 и 73. То же самое касается трехзначных n: 107 и 701, 709 и 907.

Если N возвести в степень, представленную n, а затем вычесть N, то полученное значение будет делиться на используемое n. Это правило представляет собой малую теорему Ферма.

Действия с простыми числами

Можно использовать разные арифметические действия, складывать, умножать, вычитать, делить. Простые числа могут являться основанием и показателем степени.

Источник

Простые числа – это натуральные числа, их можно разделить только на два значения: единицу и себя. К натуральным относят те, которые используются во время счета, поэтому должно выполняться требование, чтобы они были положительными и целыми. Делители также не должны быть отрицательными и дробными.

Они широко применяются в криптографии, когда необходимо закодировать важную информацию от посторонних глаз. Шифрование касается каждого человека, так как используется в создании электронной почты, банковских карт. Даже мобильная связь защищается кодами.

Кроме того, используются на системах, защищающих транспортные средства от угонщиков, создают преграду для атак вирусов и взломов компьютерных сайтов. При попытке продолжить разложение простых чисел или определить закономерность появления, возникают новые способы математических расчетов.

Математика предлагает начинать знакомиться с данными понятиями в средней школе, в 5 или в 6 классе.

Проверка на принадлежность к определенному множеству достаточно простая:

Простые числа можно делить только на 1 и на такое же число. Например 3 и 7 — простые числа, 3 делится на 1 и на 3, 7 делится на 1 и на 7.

Составные числа можно делить не только на себя и единицу. При этом не должно получаться остатка. Они делятся на одно или несколько значений. Например, 8 и 6 относят к составным. Восьмерка делится на 1, 2, 4, 8; шестерка – на 1, 2, 3 и 6.

Определение простых чисел позволяет исключить из их ряда единицу. Она характеризуется наличием только одного делителя, не являющегося отрицательным значением. Получить ее можно, используя только один способ, умножив саму на себя.

Простые двузначные числа определяются по внешнему виду:

Если оканчиваются четной цифрой, то точно являются составными. То же касается и значений, имеющих больше двух знаков.

Если на конце находится цифра 5, то она входит в число делителей.

Такие простые способы помогают легко классифицировать многозначные показатели.

Некоторые двузначные вводят в заблуждение с первого взгляда, если оканчиваются на единицу. Кажется, что разложить на множители их невозможно. Но есть исключения, например: 21, 81. Чем дальше, тем больше отклонений от этой закономерности.

Последовательность простых чисел

Есть целые алгоритмы, помогающие получать новое, ранее неизвестное значение.

Существуют таблицы, в которых собраны найденные числа, имеющие не больше двух делителей, например, до 200, 1000 или больше.

Последовательность можно продолжать бесконечно, начинается она так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т. д.

Наименьшее и наибольшее простое число

Самым меньшим значением, делящимся на себя и 1, является 2. Это единственное простое значение, являющееся четным. Остальные всегда делятся на два, то есть получают третий делитель.

Простых чисел много и их количество стремится к бесконечности, потому узнать самое большое невозможно.

Нескончаемость ряда была доказана еще до нашей эры Евклидом. Он предложил перемножить все известные исследуемые значения и прибавить к ним единицу.

При его делении в любом случае будет оставаться остаток, то есть отнести к составным невозможно. Что противоречит тому факту, что были использованы все известные простые числа, в том числе и самое большое. Значит, предположение о конечности ряда является неверным.

В настоящее время известно значение, имеющее около 25 миллионов знаков. Оно относится к наибольшему из открытых наукой, это 2 82 589 933

Множество простых чисел

Множествами называются совокупности элементов, объединенных в одно целое общими свойствами.

Для изучаемых объектов к ним относятся:

принадлежность к натуральным;

наличие максимум двух делителей.

Простые числа можно определить, используя решето Эратосфена. Нужно выписать в ряд все значения, с которыми предстоит работать. Выбрать самое маленькое и вычеркнуть его, затем продолжать действие, убирая кратные ему.

Например, в ряду от 1 до 100 первым таким объектом будет 2. Поэтому и вычеркивать нужно значения, кратные двойке, то есть те, которые делятся на нее.

По окончании из оставшихся выбрать новое простое, искать кратные ему и также убирать. Повторять, пока это представляется возможным.

В итоге, все составные окажутся зачеркнутыми.

Эратосфен использовал свое открытие следующим образом. Он брал папирус, записывал на нем необходимые значения, при отборе прокалывал неподходящие острым предметом (отсюда название «решето Эратосфена»). Поэтому они как будто просеивались через сито, и в списке оставались видимыми только необходимые.

Некоторые свойства простых чисел

Выделяют свойства, объединенные в теоремы, постулаты. Многие являются основой математических правил, используемых в настоящее время.

Изучением занимается теория чисел, при использовании формул простые числа обозначаются буквой n.

Известны следующие правила:

Если рассматривать два простых числа (n), одно из которых делится на другое, то можно утверждать, что они равны.

Все являются нечетными, за исключением двойки.

Можно выделить пары, разница между которым равна 2. При их сложении получается значение, кратное трем. Их так и называют парными или близнецами. Исключение составляют две первые цифры в ряду, 3 и 5, так как сумму, полученную при их сложении, нельзя разделить на 3.

Для каждого натурального значения (N), большего единицы, существует n, превышающее его. При этом удвоенное натуральное будет больше n.

Если одно из двух N делится на n, то их произведение также будет делиться на него.

Любое N, за исключением единицы, можно отнести к n или представить в виде их произведения.

Если взять составное число и разложить его на множители n, то среди них окажется один, квадрат которого будет меньше первоначального составного.

Некоторые n имеют пары, которые можно найти, перевернув n наоборот. Например, 13 и 31, 37 и 73. То же самое касается трехзначных n: 107 и 701, 709 и 907.

Если N возвести в степень, представленную n, а затем вычесть N, то полученное значение будет делиться на используемое n. Это правило представляет собой малую теорему Ферма.

Действия с простыми числами

Можно использовать разные арифметические действия, складывать, умножать, вычитать, делить. Простые числа могут являться основанием и показателем степени.

Извлечь корень из них невозможно.

Таблица простых чисел до 1000

Таблица простых числе до 10000

Источник

Простые натуральные числа: определение, таблица до 1000, взаимно простые числа

Сколько нулей в числе

Узнать количество нулей, и сколько десятков, сотен, тысяч, миллионов, миллиардов, триллионов содержится в любом числе.Сколько нулей в числе

Простые числа до 1000

101	103	107	109	113	127	131	137	139	149	151
157	163	167	173	179	181	191	193	197	199	211	223
227	229	233	239	241	251	257	263	269	271	277	281
283	293	307	311	313	317	331	337	347	349	353	359
367	373	379	383	389	397	401	409	419	421	431	433
439	443	449	457	461	463	467	479	487	491	499	503
509	521	523	541	547	557	563	569	571	577	587	593
599	601	607	613	617	619	631	641	643	647	653	659
661	673	677	683	691	701	709	719	727	733	739	743
751	757	761	769	773	787	797	809	811	821	823	827
829	839	853	857	859	863	877	881	883	887	907	911
919	929	937	941	947	953	967	971	977	983	991	997

Зачем это нужно?

Зачем нужно деление на простые и составные числа в математике? Все просто, это нужно, чтобы упростить разложение на множители. Вместо того, чтобы долго искать на какие числа, собственно, раскладывать большое значение, можно просто воспользоваться таблицей.

А разложение на простые множители в свою очередь помогает в определении наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Эти значения нужны для сложения, вычитания и сравнения дробей.

Самое большое простое число, которое известно.

Самое большое известное простое число – это 2 57885161 – 1. Это число состоит из 17 425 170 десятичных цифр и называется простое число Мерсенна (M_57885161).

Наименьшее и наибольшее простое число

Самым меньшим значением, делящимся на себя и 1, является 2. Это единственное простое значение, являющееся четным. Остальные всегда делятся на два, то есть получают третий делитель.

Простых чисел много и их количество стремится к бесконечности, потому узнать самое большое невозможно.

Нескончаемость ряда была доказана еще до нашей эры Евклидом. Он предложил перемножить все известные исследуемые значения и прибавить к ним единицу.

При его делении в любом случае будет оставаться остаток, то есть отнести к составным невозможно. Что противоречит тому факту, что были использованы все известные простые числа, в том числе и самое большое. Значит, предположение о конечности ряда является неверным.

В настоящее время известно значение, имеющее около 25 миллионов знаков. Оно относится к наибольшему из открытых наукой, это 2 82 589 933

Метод Марена Мерсенна

Марен Мерсенн Французский математик

Однако, с появлением компьютеров, они теперь могли выполнять эти вычислительные вычисления, которые раньше делались людьми самым кропотливым и трудоемким образом. Мы определенно достигли более высоких простых чисел Мерсенна и простых чисел на общем уровне. Поиск простых чисел так же активен, как и другие численные поиски, выполняемые компьютерами. Другой числовой поиск, аналогичный движению простых чисел, заключается в добавлении десятичных разрядов к некоторым иррациональным числам, таким как пи (отношение длины окружности к диаметру). Однако непрерывный поиск следующего по величине простого числа существенно сложнее, чем поиск следующей цифры числа Пи.

Даже самые большие компьютеры (суперкомпьютеры) тратят значительное количество времени, чтобы проверить, является ли новое число (которое обычно ошеломляюще огромным) само по себе простым числом, и требуется еще больше времени, чтобы проверить, является ли число основным числом Мерсенна. По этой причине числа Мерсенна представляют большой интерес в области кибербезопасности и криптографии, особенно в отношении шифрования.

В августе 2008 года системный администратор UCLA Эдсон Смит нашел наиболее значимое простое число, известное на тот момент. Смит установил программное обеспечение для Great Internet Mersenne Prime Search (Gimps), проекта распределенных вычислений на добровольной основе. Это число было простым числом Мерсенна длиной 12 978 189 цифр. Чтобы дать представление о том, насколько он велик, на его написание уйдет почти два с половиной месяца, а в случае печати он растянется на 50 км!

Таблица простых чисел

Теперь разберемся с возможностью (а точнее с невозможностью) составления таблицы всех существующих простых чисел. Мы не можем составить таблицу всех простых чисел, потому что простых чисел бесконечно много. Последнее утверждение представляет собой теорему, которую мы докажем после следующей вспомогательной теоремы.

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.

Теперь мы можем доказать, что простых чисел бесконечно много.

Простых чисел бесконечно много.

Так доказано, что всегда может быть найдено новое простое число, не заключающееся среди любого количества наперед заданных простых чисел. Следовательно, простых чисел бесконечно много.

Некоторые свойства простых чисел.

Допустим, p — простое, и p делит ab, тогда p делит a либо b.

Кольцо вычетов Z_n будет называться полем только в случае, если n — простое.

Характеристика всех полей — это нуль либо простое число.

Когда G — конечная группа, у которой порядок |G| делят на p, значит, у G есть элемент порядка p (теорема Коши).

Натуральное p > 1 будет простым лишь в случае, если (p-1)! + 1 можно подулить на p (теорема Вильсона).

Любое простое число, которое большее тройки, можно представить как 6k+1 либо 6k-1, где k — натуральное число. Исходя из этого, когда разность нескольких последовательных простых чисел (при k>1) одинаковая, значит, она точно делится на шесть — к примеру: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.

Теорема Грина-Тао. Есть бесконечные арифметические прогрессии, которые состоят из простых чисел.

Ни одно простое число нельзя представить как n 2k+1 +1, где n>1, k>0. Другими словами, число, которое предшествует простому, не может быть кубом либо более высокой нечётной степенью с основанием, которое больше единицы.

Есть многочлены, у которых множество неотрицательных значений при положительных значениях переменных совпадает с множеством простых чисел. Пример:

Взаимно простые числа – определение и примеры

Приведем примеры взаимно простых чисел.

Заметим, что два простых числа всегда являются взаимно простыми. Однако, два числа не обязательно должны быть простыми, чтобы быть взаимно простыми. Либо одно из них, либо они оба могут быть составными и при этом являться взаимно простыми. Приведем пример, иллюстрирующий это высказывание.

Часто встречаются задания, в которых требуется доказать, что данные целые числа являются взаимно простыми. Доказательство сводится к вычислению наибольшего общего делителя данных чисел и проверке НОД на его равенство единице. Полезно также перед вычислением НОД заглянуть в таблицу простых чисел : вдруг исходные целые числа являются простыми, а мы знаем, что наибольший общий делитель простых чисел равен единице. Рассмотрим решение примера.

Докажите, что числа 84 и 275 являются взаимно простыми.

Определение взаимно простых чисел можно расширить для трех и большего количества чисел.

Из озвученного определения следует, что если некоторый набор целых чисел имеет положительный общий делитель, отличный от единицы, то данные целые числа не являются взаимно простыми.

Обычно далеко не очевидно, что некоторые числа являются взаимно простыми, и этот факт приходится доказывать. Для выяснения, являются ли данные числа взаимно простыми, приходится находить наибольший общий делитель этих чисел, и на основании определения взаимно простых чисел делать вывод.

Чтобы доказать, что данные числа не взаимно простые, можно найти их НОД и убедиться, что он не равен единице. Так и поступим.

Метод простых чисел Ферма

Фермат был твердо убежден в том, что все числа вышеуказанной формы – это простые числа. В дальнейшем он сказал, что он будет производить простые числа для всех целочисленных значений m. Что делает эти числа уникальными и красивыми, но очень хитрыми, так это то, что простые числа становятся чрезвычайно большими очень быстро, даже в пределах первых четырех итераций. Чтобы доказать это, возьмем n в качестве следующих значений, n=0, 1, 2, 3 и 4.

Когда n = 0, m = 2 0 = 1; поэтому F₀ = 2 1 + 1 = 2 + 1 = 3, что является простым. Когда n = 1, m = 2 1 = 2; поэтому F₁ = 2 2 + 1 = 4 + 1 = 5, что является простым. Когда n = 2, m = 2 2 = 4; следовательно, F₂ = 2 4 + 1 = 16 + 1 = 17, что является простым. Когда n = 3, m = 2 3 = 8; следовательно, F₃ = 2 8 + 1 = 256 + 1 = 257, что является простым. Когда n = 4, m = 2 4 = 16; следовательно, F₄ = 2 16 + 1 = 65536 + 1 = 65537, что является простым числом. Теперь, как вы можете заметить, к тому времени, когда мы достигнем F₅, значение достигает 4 294 967 297.

На сегодняшний день мы достигли только F₁₁, даже со всеми лучшими компьютерами и параллельными вычислениями и большой точностью. В конце концов, однако, мы можем сказать, что поиск простых чисел всегда будет идти до бесконечности и дальше!

Последовательность простых чисел

Есть целые алгоритмы, помогающие получать новое, ранее неизвестное значение.

Существуют таблицы, в которых собраны найденные числа, имеющие не больше двух делителей, например, до 200, 1000 или больше.

Последовательность можно продолжать бесконечно, начинается она так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т. д.

Множество простых чисел

Множествами называются совокупности элементов, объединенных в одно целое общими свойствами.

Для изучаемых объектов к ним относятся:

принадлежность к натуральным;

наличие максимум двух делителей.

Простые числа можно определить, используя решето Эратосфена. Нужно выписать в ряд все значения, с которыми предстоит работать. Выбрать самое маленькое и вычеркнуть его, затем продолжать действие, убирая кратные ему.

Например, в ряду от 1 до 100 первым таким объектом будет 2. Поэтому и вычеркивать нужно значения, кратные двойке, то есть те, которые делятся на нее.

По окончании из оставшихся выбрать новое простое, искать кратные ему и также убирать. Повторять, пока это представляется возможным.

В итоге, все составные окажутся зачеркнутыми.

Эратосфен использовал свое открытие следующим образом. Он брал папирус, записывал на нем необходимые значения, при отборе прокалывал неподходящие острым предметом (отсюда название «решето Эратосфена»). Поэтому они как будто просеивались через сито, и в списке оставались видимыми только необходимые.

Попарно простые числа – определения и примеры

Через взаимно простые числа дается определение попарно простых чисел.

Также понятно, что когда речь идет о двух целых числах, то для них понятия «попарно простые» и «взаимно простые» совпадают.

Как определить взаимно простые числа?

Для того чтобы определить взаимно простые числа, можно воспользоваться двумя алгоритмами:

Относительно друг друга два простых числа всегда будут взаимно простыми. А если одно из чисел, делится на другое нацело, то эти числа точно не являются взаимно простыми.

Основная теорема арифметики

Натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел.

Такое разложение будет единственным и может отличаться только порядком множителей.

Это понятие носит название основной теоремы арифметики и используется очень часто.

Посмотрим на примерах, как всё тут работает.

Разложить 6 можно двумя способами, расположив по-разному простые множители: 3 умножить на 2 или 2 умножить на 3

Если попытаемся разложить число 48 на простые множители, то получим:

Чтобы всё сделать правильно при разложении, нужно выделить простой множитель, с оставшимся числом поступить так же и повторять действия, пока не получатся все простые множители.

Посмотрим еще один пример и возьмем 122.

Это число делится без остатка на два, так как оно чётное, получаем 61. Шестьдесят один – это простое число.

Таким образом, разложение числа 122 на простые множители выглядит так:

Возьмем еще большее число, к примеру, 462. При разложении на простые множители получим:

Бывают такие случаи, когда в числовом ряду простые числа стоят через одно составное. Рядом они стоять не могут, ведь каждое второе число будет чётным, значит, оно уже не будет являться простым.

Если простые числа стоят через одно составное, например, 3 и 5 или 71 и 73, или 461 и 463, то они называются «близнецами».

С развитием вычислительной техники было доказано, что простые числа с увеличением располагаются всё дальше друг от друга. Это создаёт проблему при поиске каждого нового простого числа.

Пример 1

Используя основную теорему арифметики, разложите на простые множители числа 72, 228, 896, 994, 105, 98

Решение:

Пример 2

Сколько делителей имеет каждое из чисел: 31, 25, 100, 189, 325, 558, 194?

Решение:

Число 31 имеет два делителя: 1, 31

Число 25 имеет три делителя: 1, 5, 25

Число 100 имеет девять делителей: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

Число 189 имеет восемь делителей: 1, 3, 7, 9, 21, 27, 63, 189

Число 325 имеет шесть делителей: 1, 5, 13, 25, 65, 325

Число 558 имеет двенадцать делителей: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 31, 62, 93, 186, 279, 558

Число 194 имеет четыре делителя: 1, 2, 97, 194

Пример 3

Какое из чисел 129, 565, 441, 70, 237, 816 имеет самое большое количество делителей?

Решение:

Число 129 имеет четыре делителя: 1, 3, 43, 129

Число 565 имеет четыре делителя: 1, 5, 113, 565

Число 441 имеет девять делителей: 1, 3, 7, 9, 21, 49, 63, 147, 441

Число 70 имеет восемь делителей: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70

Число 237 имеет четыре делителя: 1, 3, 79, 237

Число 816 имеет двадцать делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 17, 24, 34, 48, 51, 68, 102, 136, 204, 272, 408, 816

Самое большое количество делителей имеет число 816

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Перед вами кусочек таблицы простых чисел до 1000. По ней можно увидеть, что единственное простое чётное число – это двойка.

На самом деле простых чисел гораздо больше, и самое большое из найдённых на данный момент содержит 23 249 425 десятичных цифр. Вдумайтесь, больше 23 миллионов цифр в записи числа!

Пример

Определим, являются ли взаимно простыми числа 1729 и 282

Определение начинается с разложения на множители:

Обратите внимание, что для разложения таких чисел придется использовать метод перебора. Согласно таблице простых чисел каждый множитель проверяется, после чего деление продолжается. Подбирать множители нужно от маленьких чисел к большим, то есть от 2 и выше.

Как видно, общих множителей у двух чисел нет. Это значит, что числа можно считать взаимно простыми. Не нужно пугаться, если среди множителей попадаются достаточно большие числа. Среди учеников существует миф, что простые числа редко бывают больше 20, это не так. Просто такие числа проще использовать в задачах, чтобы набить руку. На экзамене или в контрольной сложность числа для разложения может быть абсолютно любой

Действия с простыми числами.

1. Произведение простых чисел.

2. Разность простых чисел.

3. Сумма простых чисел.

4. Деление простых чисел.

Что такое составные числа

Нетрудно догадаться, что составных чисел в разы больше, чем простых. Составным числом является число, которое не является простым. Вот и все определение, в этом нет ничего сложного.

Разберемся с тем, почему эта группа чисел называется составными. Разберемся на примере, возьмем уже знакомое нам число 13 и умножим его на другое простое число: 2.

13*2=26 – в результате получилось составное число, которое можно разделить на 1,2,13,26. Это число состоит из двух множителей: 2 и 13. Значит, составными числами называют числа, которые состоят из нескольких простых множителей. Иначе говоря, в состав числа входят 2 и более простых множителя.

По аналогии с простыми числами, составные числа называют сложные. Разделение чисел на простые и сложные запомнить куда проще, чем деление на простые и составные.

Интересная информация

В глубокой древности началось изучение так называемых совершенных и дружественных чисел.

Некоторые из учёных пытались выражать на языке чисел всё, что наблюдали вокруг себя. Даже нематематические понятия дружбы, справедливости и совершенства переводились на язык чисел.

Если число равно сумме всех возможных делителей без него самого, то оно называется совершенным.

Например, самыми элементарными из них будут 6 и 28:

6 = 1 + 2 + 3,

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Если сумма всех возможных делителей числа (кроме него самого) равна второму числу, а сумма всех возможных делителей второго (без него самого) равна первому, то это уже дружественные числа.

Если верить историческим фактам, математик Пифагор считал, что его другом может быть «тот, кто является моим вторым Я, как числа 220 и 284»

Список делителей для 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, сумма делителей равна 284

Список делителей для 284: 1, 2, 4, 71 и 142, сумма делителей равна 220.

Пару дружественных чисел 1184 и 1210 обнаружил в 1866г. итальянский школьник Никколо Паганини, полный тёзка великого скрипача.

Любопытно, что эту пару «проглядели» все великие математики.

Каким числом является 1?

Само собой, к составным числам 1 так же отнести нельзя, поэтому 1 считается числом вне категорий.

Решето Эратосфена

Опишем несколько первых шагов.

Существует более удобный способ для составления таблицы простых чисел, называемый решето Эратосфена. Присутствующее в названии слово «решето» не случайно, так как действия этого метода помогают как бы «просеять» сквозь решето Эратосфена целые числа, большие единицы, чтобы отделить простые от составных.

Первое записанное число 2 является простым. Теперь от числа 2 последовательно перемещаемся вправо на два числа и зачеркиваем эти числа, пока не доберемся до конца составляемой таблицы чисел. Так будут вычеркнуты все числа, кратные двум.

Давайте еще сформулируем и докажем теорему, которая позволит ускорить процесс составления таблицы простых чисел при помощи решета Эратосфена.

Что же нам дает доказанная теорема, касательно решета Эратосфена?

Источник