Самый сложный пример в мире по математике
10 сложнейших математических задач, с которыми академики не могут справиться и по сей день
Гипотеза Коллатца
Другие названия: гипотеза 3n+1, сиракузская проблема, числа-градины. Если взять любое натуральное число n и совершить с ним следующие преобразования, рано или поздно всегда получится единица. Четное n нужно разделить надвое, а нечетное — умножить на 3 и прибавить единицу. Для числа 3 последовательность будет такой: 3×3+1=10, 10:2=5, 5×3+1=16, 16:2=8, 8:2=4, 4:2=2, 2:2=1. Очевидно, что если продолжить преобразование с единицы, то начнется цикл 1,4,2. Достаточно быстро количество шагов в вычислениях начинает превышать сто и на решение каждой новой последовательности требуется все больше ресурсов.
Небольшой прогресс в решении этой задачи почти вековой давности наметился буквально в прошлом месяце. Однако знаменитый американской математик Терренс Тао лишь ближе всех подошел к нему, но ответа все равно пока не нашел. Гипотеза Коллатца является фундаментом такой математической дисциплины, как «Динамические системы», которая, в свою очередь, важна для множества других прикладных наук, например, химии и биологии. Сиракузская проблема выглядит, как простой безобидный вопрос, но именно это делает ее особенной. Почему ее так сложно решить?
Проблема Гольдбаха (бинарная)
Еще одна задачка, формулировка которой выглядит проще пареной репы — любое четное число (больше 2) можно представить в виде суммы двух простых. И это краеугольный камень современной математики. Данное утверждение легко проверяется в уме для небольших значений: 18=13+5, 42=23+19. Причем рассматривая последнее, можно достаточно быстро понять всю глубину проблемы, ведь 42 представляется и как 37+5 и 11+31, а еще как 13+29 и 19+23. Для чисел больше тысячи количество пар слагаемых становится просто огромным. Это очень важно в криптографии, но даже самые мощные суперкомпьютеры не могут перебирать все значения до бесконечности, поэтому нужно какое-то четкое доказательство для всех натуральных чисел.
Проблема была сформулирована Кристианом Гольдбахом в его переписке с другим величайшим светилом математики Леонардом Эйлером в 1742 году. Сам Кристиан ставил вопрос несколько проще: «каждое нечетное число, больше 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел». В 2013 году перуанский математик Харальд Хельфготт нашел окончательное решение этого варианта. Однако предложенное Эйлером следствие этого утверждения, которое и назвали «бинарной проблемой Гольдбаха», до сих пор не поддается никому.
7 самых сложных логических задач, которые решит только один человек из десяти
В связи с началом учебного года мы решили проверить, насколько наши подписчики умны и изобретательны. А ты сможешь решить все, представленные нами, задачи?
Давай проверим, умеешь ли ты считать?
Реши без помощи калькулятора вот этот пример: К 1000 нужно прибавить 40, потом еще 1000. Затем приплюсуйте 30. Есть? Теперь снова 1000. Добавьте 20. Еще раз 1000. И напоследок 10.
А теперь проверь все еще раз с помощью своего телефона. Совпало?
А теперь задачка на логику.
Женщина уронила в стакан, полный кофе, свой перстень. Как он мог остаться сухим?
Как ты думаешь, в чем тут секрет?
«СПИЧКИ ДЕТЯМ НЕ ИГРУШКА»
Сколько спичек на картинке?
Это та загадка, которую ты решишь с помощью детской наивностью. Мы уверены, её можно отгадать с первого раза! Ответь на вопрос: что нужно сделать, когда видишь зеленого человечка?
Учитель рисует на листке бумаги несколько кружков и спрашивает одного ученика: «Сколько здесь кружков?». «Семь» — отвечает ученик. «Правильно. Так сколько здесь кружков?» — опять спрашивает учитель другого ученика. «Пять» — отвечает тот. «Правильно» — снова говорит учитель. Так сколько же кружков он нарисовал на листке?
Думаешь все так легко? А теперь попробуй решить задачи, которые считаются самыми сложными в мире!
Первое, над чем мы предлагаем тебе поломать голову – это самая сложная судоку в мире.
Судоку – это японская головоломка с числами. Принцип ее совсем не замысловат. Но ту, которую предложили тебе мы, сможет решить точно не каждый!
«БОГИ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ»
Есть три бога, A, B, и C, один из которых бог истины, другой бог лжи и третий бог случая, причём неясно, кто из них кто. Бог истины всегда говорит правду, бог лжи обманывает, а бог случая может сказать и то, и другое в произвольном порядке. Необходимо определить, кем является каждый из богов, задав три вопроса, на которые можно ответить «да» или «нет», при этом каждый вопрос задаётся только одному богу. Боги понимают вопросы, но отвечают на своём языке, в котором есть слова «da» и «ja», но неизвестно, какое слово обозначает «да», а какое «нет».
Эта логическая задача за авторством американского философа и логика Джорджа Булоса была впервые опубликована в итальянской газете «la Repubblica» в 1992-м году. Так же в загадке есть комментарии создателей:
– Можно задавать одному богу более чем один вопрос (поэтому другим богам может быть не задано ни одного вопроса вообще).
– Каков будет следующий вопрос и кому он будет задан, может зависеть от ответа на предыдущий вопрос.
– Бог случая отвечает случайным образом, зависящим от подбрасываний монетки, спрятанной в его голове: если выпадет аверс, то отвечает правдиво, если реверс — то врёт.
– Бог случая отвечает «da» или «ja» на любой вопрос, на который можно ответить «да» либо «нет».
Ответы на все задачи можно посмотреть по ссылке.
Самый сложный пример в мире по математике
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Тема моей научно-практической работы – «Сложные примеры – легкие решения». Я выбрала эту тему для своей работы, так как для меня очень интересна и увлекательна математика. Чем дольше я учусь в школе и чем больше изучаю математику, тем чаще задаюсь вопросом: «Как можно решать такие сложные задачи и примеры быстро и, не прибегая к помощи калькулятора или компьютера». Интерес к этим вопросам побудил меня искать информацию в интернете, читать статьи и книги с этим связанные, спрашивать своих одноклассников и друзей, что они используют, чтобы облегчить себе изучение математики. Оказалось, что существует масса приемов устного счета, зная которые можно очень быстро считать в уме. Владение такими приемами не только облегчает изучение математики, но и значительно помогает в простой жизни. Мне захотелось поделиться со всеми найденной информацией, но для того, чтоб все легко запомнилось, появилась идея изложить в стихах алгоритмы решения примеров.
Цель моей работы – разработать свое пособие-напоминание, в котором изложены основные алгоритмы решения примеров на умножение и деление двузначных и трехзначных чисел. Это пособие выполнить в виде брошюры с примерами, объяснениями решений в стихах, которые я сочинила сама и иллюстрациями.
Моя гипотеза – с помощью моего пособия дети проявят большой интерес к математике, научатся быстро решать в уме сложные примеры, в том числе благодаря стихотворной форме изложения алгоритма.
Задачи моей работы:
Ознакомиться с алгоритмами решений сложных математических решений в уме.
Выяснить, что знают мои одноклассники о таких приемах.
Сочинить стих – объяснение про каждый пример, используемый в моем пособии.
Составить пособие и распечатать его в виде брошюры.
2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Каждый день каждый человек десятки, а то и сотни раз сталкивается с математикой. Начиная с момента пробуждения, мы весь день применяем в жизни наши математические навыки, иногда не замечая этого (как для приготовления завтрака и измерения пропорций), а иногда (как в магазине, например) вполне осознанно.
Чтобы что-то посчитать, человек применяет свои вычислительные навыки. И навыки эти нужно развивать. А развить их может каждый человек, независимо от его феноменальных математических способностей, хотя бы для того, чтобы не стать жертвой обмана в магазине или на рынке.
Развивать их можно, в том числе и с помощью применения различных техник и приемов устного счета. С давних времен люди изобретали или находили все новые такие приемы.
Когда я начала изучать этот вопрос, поняла, что мало знать о таких методах, их надо разобрать, запомнить, и тогда ты сможешь их активно применять в жизни. Разбираться с приемами устного счета оказалось не так уж сложно. Но вот запомнить столько различных задач сразу не удалось.
Так мне пришло в голову, что наиболее понравившиеся мне методы нужно зарифмовать. Ведь стихи запоминаются всегда лучше прозы. Пока я сочиняла стихи, все, используемые мной для работы математические примеры запомнились сами собой. Тогда и возникла идея поделиться своими стихами со своими друзьями, чтобы они тоже смогли легко запомнить алгоритмы решения сложных примеров.
Вас может удивит, но такая смесь математики и литературы дала очень хорошие результаты.
В ходе работы над своим проектом я ознакомилась со множеством подобных работ других учеников и пришла к выводу, что во всех случаях, когда ученики целенаправленно в счете использовали общеизвестные алгоритмы устного счета, скорость вычислений значительно увеличивалась, иногда даже в два раза. В просмотренных мною работах приводились таблицы с результатами таких экспериментов. Поэтому, я не стала доказывать в своей работе результативность применения различных методов устного счета. Это факт общепризнанный.
Моей задачей стало облегчить сам способ запоминания этих методов. Поскольку я очень люблю стихи и в повседневной жизни часто что-нибудь рифмую, выбор способа запоминания стал очевиден.
Вот что у меня получилось.
3.1 Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10.
Надо мысленно раздвинуть цифры этого числа и поставить между ними сумму этих цифр.
Сложи числа две половинки
Помести их в серединку
3.2 Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше или равна 10.
Надо мысленно раздвинуть цифры этого числа и поставить между ними сумму этих цифр. Единицы числа записываем в середину, а десяток прибавляем к первой цифре.
Сложи числа две половинки
Помести их в серединку.
Про десяток не забудь,
Прибавь к началу, Умным будь!
3.3 Умножение на 111 (если сумма чисел множимого меньше 10).
Также мысленно раздвигаем цифры этого числа, находим сумму цифр данного двузначного числа и ставим ее в середину дважды.
Опять сложи две половинки
Помести их в серединку.
Только дважды повтори,
Так как единицы три.
3.4 Умножение на 111 (если сумма чисел множимого больше 10).
Опять мысленно раздвигаем это число, складываем цифры и вставляем их в середину числа. Но поскольку сумма цифр составляет двузначное число, прибавляем его к первым цифрам.
И вновь сложи две половинки
Снова вставь их в серединку
Ну, а так как число двузначное
нужно вставить в ответ два раза
Мы прибавим его однозначно
К первым цифрам. И без отказа!
3.5 Умножение на 25.
Если множимое делится на 4, то сначала можно разделить множимое на 4 и полученное частное умножить на а 100.
При умножении на двадцать пять
Число на сто нам надо умножать,
Потом разделим на четыре,
Вот и ответ мы получили
Чтобы разделить число на 25, надо разделить его на 100 (если делится на 100) и полученное частное умножить на 4, или сначала делимое умножить на 4, а потом полученное произведение разделить на 100:
800 : 25 = (800 : 100) х 4 = 32
225 : 25 = (225 х 4) : 100 = 9
Сделаем наоборот от предыдущего примера
При делении на двадцать пять
Число на сто нам нужно разделять
Потом уже умножим на четыре
Вот снова и ответ мы получили
А если разделить на сто нельзя
То мы пойдем другим путем, друзья
Сначала на четыре мы умножим
Потом на сто поделим и отложим.
3.7 Умножение чисел от 11 до 19.
Умножать такие числа можно используя следующую формулу, которую стоит запомнить.
100 + 10 х (а + в) + а х в
Где а и в это единицы множителей
Формула только на первый взгляд кажется сложной
Любое число из диапазона от 11 до 19 представляем как десятки и единицы.
Получаем формулу: (10+a)×(10+b).
Раскрываем скобки: 100+10×b+10×a+a×b.
Выносим за скобки общий множитель и получаем окончательную формулу, по которой можно считать и которую есть смысл запомнить: 100+10×(a+b)+a×b.
100 + 10 х (4 + 8) + 4 х 8 =
Чтобы перемножить два числа
Между десятью и двадцатью
Единицы перемножь сперва
И запомни как свою семью.
А еще сложи их и умножь
На десятку. Это тоже впрок.
Вот теперь сложи все результаты
И еще плюс сто. И весь урок.
3.8 Старинный русский способ умножения.
Умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа.
Произведение не изменяется, если один множитель вдвое увеличить, а другой вдвое уменьшить.
Первое число дели на два,
Второе же, напротив, умножай.
Дели до единицы и тогда
Записывай ответ и отдыхай!
Произведение не изменяется, если один множитель вдвое увеличить, а другой вдвое уменьшить.
Немного усложняется, если делимое нечётное число, то нужно откинуть единицу и делить остаток пополам, но в результате прибавить все те числа, которые стоят напротив нечётных чисел левого столбца.
19 х 17 = 272 + 17 + 34 = 323
А если разделить на 2 нельзя,
То просто единицу убирай
Все делать точно так же продолжай
3.9 Умножение двузначных чисел на 9, 99, 999.
К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель.
Так как 10а-а=9а, то для умножения числа а на 9 достаточно от увеличенного в 10 раз числа а отнять само число. Аналогично умножение на 99 и на 999. Число а умножают на 100 и на 1000 и отнимают само число.
Сколько девяток – столько нулей
Пусть даже три, ты не робей
Смело нули к числу припиши,
Ну, а потом, число отними.
3.10 Умножение трёхзначного числа на 999.
Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трёхзначного числа. Тогда получается шестизначное произведение: первые три цифры есть умножаемое число, только на уменьшенное на единицу, а остальные три цифры (кроме последней) – «дополнения» первых до 9.
Но в принципе, здесь работает тот же принцип, что и в предыдущем примере.
385 х 999 = 385000 – 385 = 384615
Даже, если множитель трехзначный
Три нуля к нему прибавить можно
И само число из цифры этой
Вычесть для тебя совсем не сложно.
3.11 Умножение чисел от 91 до 99 друг на друга.
Первый множитель вычесть из 100, второй множитель вычесть из 100, результаты сложить. Сумму вычесть из 100 и записать ответ первыми цифрами ответа. Далее перемножить ответы и записать следующими цифрами ответа.
100 – 97 = 3, 100 – 94 = 4.
4 + 3 = 7, 100 – 7 = 93, 4 х 3 = 12.
Из ста вычесть и второй и первый
Все сложить, поверьте, это верно.
Результат опять от ста отнимем
И началом для ответа примем.
А в конец ответа – очень просто,
Перемножим отнятое от ста.
3.12 Умножение трёхзначных чисел от 101 до 109.
Если к одному из чисел прибавить единицы второго числа, то это
последние цифры ответа.
105 + 7 = 112, 5 х 7 = 35.
Целое число плюс единицы
И отправим их за знак «равно»
Только единицы перемножим
И поставим рядом заодно.
3.13 Умножение двузначного числа на 101.
Самое простое правило: припишите число к самому себе.
На сто один умножить просто
Число ставь рядом как по росту.
3.14 Применение моего пособия.
Стихи получились не сложными и легкими в запоминании. Я раздала своим одноклассникам брошюры, в которых объясняются сами методы устного счета и рядом располагаются стихи для запоминания метода.
Спустя месяц, я провела исследование способом анкетирования и получила такие результаты. Из 29 опрошенных 20 человек сказали, что мои стихи им очень помогли в запоминании способов быстрого счета.
В заключение я бы хотела сказать, что выбранная мной тема мне очень понравилась, мне было очень интересно искать разные возможности облегчения устного счета. Оказалось очень интересно и захватывающе самой разбираться в примерах, проверять и перепроверять работает ли алгоритм, сочинять стихи и разрабатывать свое пособие, а потом раздать его друзьям.
В ходе работы над проектом мне удалось кратко познакомиться с историей появления различных приемов устного счета и узнать, как человечество развивалось в этом направлении.
Цель моей работы было создание своего пособия по запоминанию некоторых методов устного счета. Указанное пособие основано на стихах про математические примеры, которые я сочинила сама. Цель моей работы достигнута.
После знакомства с моей брошюрой, ребята стали интересоваться математикой и, в частности, исследованием алгоритмов устного счета. А это, в свою очередь, развивает память, мышление, другие умственные способности, приучает к поиску решений в любых жизненных ситуациях. Таким образом, казалось бы простая тема получила большой отклик у моих одноклассников и все получили новые знания.
Владимиров, А. И. Интересные способы быстрого счета / А. И. Владимиров, В. В. Михайлова, С. П. Шмелева. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2016. — № 6.1 (9.1). — С. 15-17. — URL: https://moluch.ru/young/archive/9/633/ (дата обращения: 27.10.2020).
Гарднер М. «Математические чудеса и тайны.» М. 1978.
«Библиотечка Первого сентября»,серия «Математика».Вып.3(15). http//portfolio 1 September ru/subjest
Топ сложных заданий ЕГЭ по математике, в которых ошибается каждый третий
Математика — царица наук, а ты в её королевстве даже не холоп, а пятое дерево в седьмом ряду? У тебя ещё есть возможность это исправить, ведь мы собрали для тебя самые сложные задания в ЕГЭ по математике, чтобы знал, на что обратить внимание и не допускал в них ошибок.
Задание 8
Для того, чтобы решить это задание, тебе нужно научиться представлять объёмную фигуру в пространстве, а также уметь соотносить размеры одной фигуры с другой. Для более чёткого понимания этой темы можешь склеить модели фигур из бумаги и использовать их при подготовке.
Задание 9
Чтобы получить максимальный балл за это задание, тебе нужно уделить особое внимание преобразованию тригонометрических выражений и их вычислению. В учебнике этому посвящён целый раздел, не поленись его изучить, если рассчитываешь на хороший результат.
Задание 14
В любой геометрической задаче важно знать свойства фигуры, которая в ней дана. Именно из-за недостаточных теоретических знаний выпускники путаются в последовательности решения, неправильно строят чертёж и пытаются самостоятельно вывести формулу вместо того, чтобы использовать уже существующую и не тратить время на долгие логические рассуждения.
Задание 16
Больше всего сложностей в этом задании возникает на этапе построения чертежа, поэтому важно быть внимательным. Неправильный рисунок разрушит твои шансы на успех ещё до того, как приступишь к расчётам. Баллы теряют также из-за неправильного построения доказательств, поэтому внимательно изучи теоремы, которые даются в учебнике, чтобы понять логику и не ошибиться.
Задание 17
Это пункт лучше всего показывает, как математика может помочь тебе в обычной жизни. Чаще всего ошибки в нём допускаются при вычислении и составлении модели задачи — выпускники не видят взаимосвязи между величинами и из-за этого путаются в них. И не забывай писать пояснения к своим действиям, так ты не запутаешься и не потеряешь драгоценные баллы.
Задание 19
Многие абитуриенты надеются на удачу и в этом задании пишут ответ да или нет наугад. Но даже в случае угадывания, этого недостаточно. Комиссии необходимо видеть аргументированное решение с пояснениями. Поэтому обрати внимание на раздел, который посвящён вероятности.
Когда математика становится слишком сложной
Математики давно пытаются привыкнуть к тому, что некоторые задачи в принципе невозможно решить
Мы любим повторять, что всё возможно. В книге Джастера Нортона «Мило и волшебная будка» король отказывается сообщить Мило, что его цель недостижима, поскольку «многое становится возможным, если не знаешь, что оно невозможно» [правда, это слова других персонажей книги / прим. перев.]. Но в реальном мире некоторые вещи и вправду невозможны, и мы можем доказать это при помощи математики.
Люди используют термин «невозможно» разными способами. Он может описывать просто маловероятные вещи – такие, как найти две одинаковых колоды перемешанных карт. Он может описывать задачи, практически невозможные по причине отсутствия времени, места или ресурсов – такие, как переписать всю Библиотеку Конгресса от руки. Устройства типа вечного двигателя невозможны физически, поскольку их существование противоречило бы нашему пониманию физики.
Математическая невозможность – это другое. Мы начинаем с недвусмысленных предположений, и, используя математические рассуждения и логику, заключаем, что некоторые исходы событий невозможны. Никакая удача, настойчивость, время или навыки не сделают задачу выполнимой. История математики полнится доказательствами невозможности. Многие из них считаются наиболее примечательными результатами математики. Но так было не всегда.
Кара за, возможно, самое первое доказательство невозможности, была строгой. Историки считают, что в пятом веке до н.э. Гиппас из Метапонта, последователь Пифагора, обнаружил, что невозможно найти отрезок, которым можно было бы измерить как длину стороны, так и длину диагонали правильного пятиугольника. Сегодня мы говорим, что длина диагонали правильного пятиугольника со стороной длины 1 – золотое сечение, ϕ = 1/2 (1 + √5) – является иррациональным числом. Открытие Гиппаса стало вызовом кредо Пифагора, «всё есть число», поэтому легенды говорят, что Гиппаса либо утопили в море, либо просто изгнали из рядов пифагорейцев.
Более века спустя Евклид возвысил прямую и круг, сочтя их фундаментальными кривыми геометрии. Впоследствии многие поколения геометров чертили всякое – делили углы, проводили перпендикуляры, и так далее – только при помощи циркуля и линейки. Однако определённые конструкции, казавшиеся простыми, поставили греческих геометров в тупик, приобрели в итоге мифический статус, и раздражали математиков более 2000 лет. Это задачи деления произвольного угла на три части, построение стороны куба, объём которого в два раза превышает объём заданного, построение всех правильных многоугольников, а также построение квадрата с площадью, равной площади заданного круга.
Хотя задачи эти по своей природе геометрические, доказательство невозможности их решения таковым не является. Чтобы продемонстрировать невозможность их решения, потребовалась новая математика.
В XVII века Рене Декарт сделал фундаментальное открытие: если мы ограничим себя только циркулем и линейкой, мы не сможем строить отрезки любой длины. Если мы начнём с отрезка длиной 1, мы сможем строить только такие отрезки, длину которых можно выразить при помощи целых чисел, сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня (как золотое сечение).
Поэтому одной из стратегий поиска доказательства невозможности решения геометрической задачи – то есть, что некий объект нельзя построить – будет показать, что длину некоего отрезка итоговой фигуры нельзя выразить указанным способом. Но для того, чтобы это строго показать, потребовалась зарождавшаяся тогда алгебра.
Сходным образом он доказал, что невозможно использовать классические инструменты для трисекции любого угла или построения определённых правильных многоугольников – к примеру, семистороннего. Интересно, что все три доказательства невозможностей были размещены на одной странице. Как у Исаака Ньютона и Альберта Эйнштейна были свои annus mirabilis (годы чудес), так и эту ситуацию можно назвать pagina mirabilis – страницей чудес.
Доказательство невозможности оставшейся задачи, квадратуры круга, потребовала чего-то нового. В 1882 году Фердинанд фон Линдеман доказал ключевой момент – что число π нельзя построить – доказав его трансцендентность, то есть, что оно не является корнем никакого многочлена.
Этим классическим задачам можно приписать дурную репутацию и считать их сиренами, заманивавшими математиков, чтобы те разбивались об острые скалы невозможности. Но я считаю их музами, вдохновлявшими многие поколения творческих мыслителей.
То же касается и более новой невозможной задачи, возникающей из такого простого действия, как переход через мост. Представьте, что вы живёте в Питтсбурге, «городе мостов», как многие из моих учеников. Какой-нибудь велосипедист, любящий приключения, может задуматься – можно ли, начав поездку из дома, проехать ровно один раз по каждому из 22 мостов, пересекающих основные реки Питтсбурга, и вернуться домой.
В 1735 году прусский мэр поставил аналогичную задачу перед Леонардом Эйлером, только для Кёнигсберга (ныне Калининград). Семь мостов этого города объединяют три берега реки и остров. Сначала Эйлер отмёл эту задачу, как не математическую: «Решения такого рода мало связаны с математикой, и я не понимаю, почему вы ожидаете, что его выдаст вам математик, а не кто-либо ещё».
Однако вскоре Эйлер доказал невозможность решения этой задачи, и в процессе создал новую область математики, названную им геометрией расположений – то, что мы сегодня называем топологией. Он понял, что конкретные детали – точные расположения мостов, форма участков земли, и т.п. – были не важны. Важны были только их связи. Позднее математики уточнили формулировки Эйлера с использованием того, что мы сегодня называем графами. Идея связности лежит в основе изучения социальных сетей, интернета, эпидемиологии, лингвистики, планирования оптимальных маршрутов, и т.д.
Мосты Кёнигсберга: Леонард Эйлер доказал, что невозможно построить такой маршрут по Кёнигсбергу, который бы пересекал все мосты города только один раз. Он сделал это, избавившись от ненужных деталей, и сведя задачу к самым необходимым элементам, которые позднее стали обозначать при помощи более абстрактной структуры – графа.
Доказательство Эйлера было удивительно простым. Он рассудил, что каждый раз, когда мы приходим, а потом уходим с конкретного участка земли, мы должны исключить два моста. Поэтому на каждый участок земли должно вести чётное количество мостов. Но поскольку на каждый участок Кёнигсберга вело нечётное количество мостов, построить такой маршрут было невозможно. Сходным образом три моста, ведущие на остров Герз на реке Аллегейни в Питтсбурге, делают невозможным построение искомого велосипедного маршрута.
Как показывает эта задача, невозможности не ограничиваются абстрактной математикой. У них могут быть последствия и в реальном мире – иногда даже политические.
Недавно математики обратились к такому понятию, как джерримендеринг. В США после каждой переписи штаты должны переделывать избирательные округа. Но иногда правящая партия переписывает их границы смехотворным образом для максимизации своих политических сил.
Во многих штатах есть требование «компактности» округов, не имеющего строгого математического определения. В 1991 году Дэниел Полсби и Роберт Поппер предложили 4πA/P 2 в качестве способа измерения компактности округа площади A и периметра P. Эти значения варьируются от 1 для круглого округа до почти нуля у деформированных округов с длинным периметром.
Тем временем Николас Стефанопулос и Эрик Макги ввели в 2014 году понятие «разрыва эффективности» в качестве меры политической честности плана изменения округов. Две разных стратегии джерримендеринга заключаются либо в том, чтобы у оппозиции в округе оказалось менее 50% голосов, или около 100%. Каждая из этих тактик заставляет оппозицию терять голоса, теряя нужных кандидатов, или тратя голоса на тех, кому это не нужно. Разрыв эффективности описывает относительное количество утерянных голосов.
Обе эти меры полезны для распознавания джерримендеринга. Но в 2018 году Борис Алексеев и Дастин Миксон доказали, что «иногда небольшого разрыва эффективности можно достичь при помощи округов странной формы». То есть, математически невозможно всегда рисовать округа так, чтобы они удовлетворяли и требованиям Полсби-Поппера, и честности в плане разрыва эффективности.
Однако обнаружение и предотвращение тайных методов джерримендеринга – это активно развивающаяся область, привлекающая многих талантливых исследований. Как и с проблемами античности или с задачей о мостах Кёнигсберга, я уверен, проблема джерримендеринга вдохновит творческий подход и поспособствует развитию математики.