У юры 2 автомобиля 4 медвежонка и 3 мяча

Решение логических задач с помощью графов

Решение логических задач с помощью графов

Графы являются существенным элементом математических моделей в самых разнообразных областях науки и практики. Они помогают наглядно представить взаимоотношения между объектами или событиями в сложных системах. Многие алгоритмические задачи дискретной математики могут быть сформулированы как задачи, так или иначе связанные с графами.

Термин граф впервые ввёл 1936г Венгерский математик Денеш Кениг. Графами были названы схемы, состоящие из точек и соединяющие эти точки отрезков прямых или кривых.

Решение многих математических задач упрощается, если удается использовать графы. Представление данных в виде графа придает им наглядность и простоту. Многие математические доказательства также упрощаются, приобретают убедительность, если пользоваться графами. Для решения логических задач их также удобно использовать.

Графы – это рисунки, которые состоят из точек и линий, соединяющих эти точки.

Ребро может иметь направление, которое указывается стрелочкой.

У графа обязательно есть вершины.

Граф без рёбер называется пустым.

Особым видом графа является дерево. Данная форма модели применяется тогда, когда элементы моделируемого объекта находятся в состоянии какого-либо подчинения и соподчинения, когда есть отношение иерархичности.

Примеры графов вида «Дерево»

Примеры решения задач с помощью графов

У Юры два автомобиля, четыре машинки и три мяча. Он хочет выбрать из этих игрушек один автомобиль, одного медвежонка и один мяч. Сколько у него есть вариантов выбора?

Источник

Задачи, оцениваемые в 2 балла

1.В ящике имеется 3 черных и 5 белых шаров. Какое наименьшее количество шаров надо взять из ящика, не заглядывая в него, чтобы среди вынутых шаров оказалось хотя бы 2 черных шара?

Ответ: нужно вынуть 7 шаров.

2.Если Петя даст Саше 100 рублей, то у друзей будет денег поровну, а если Саша даст Пете 100 рублей, то у Пети будет денег в 9 раз больше, чем у Саши. Сколько денег у каждого?

3)9частей – 1часть = 8частей, 400 : 8 = 50(р.)

3.45 топоров и 30 колунов весят 210 кг. Топор вдвое легче колуна. Сколько весит топор и колун?

4.В записи 1*2*3*4*5 замените звездочки знаками действий и расставьте скобки так, чтобы значение выражения было равно 100.

5.Длина удава 12 метров или 48 попугаев. Какова длина попугая?

Ответ: 25 см

6. Три подруги: Валя, Галл и Катя пришли на День Рождения в платьях разного цвета: розовом, голубом и желтом. Катя была не в желтом платье, Валя не в желтом и не в голубом. Кто из девочек пришел в каком платье?

7. Какие трехзначные числа можно составить из цифр 7, 0 и 9, если цифры в записи могут повторяться.

Ответ: 777, 999, 770, 707, 990, 909, 779, 977, 799, 979, 797, 997, 709, 790, 970, 907.

8. 16 28 41 58

Ответ: 79

9. Продолжи числовой ряд: на 3 числа

10. Написано 99 чисел: 1, 2, 3, …99. Сколько раз в записи встречается цифра 5?

Ответ: 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 57, 58, 59, всего 20 раз.

11. Дома у Светы живут кошки разных пород: сибирская, сиамская и персы. Света взвесила своих кошек, вот результат:

— каждый перс весит 4кг

— каждая сиамская кошка – 3кг

-каждая сибирская – 7кг

Сколько кошек каждой породы живёт у неё дома, если известно, что все они весят 24кг?

Ответ: перс – 1, сиамских – 2, сибирских – 2.

12. Знайка задумал двузначное число. Сумма цифр этого числа равна 12. Если цифру десятков умножить на 2, а цифру единиц умножить на 3 и оба произведения сложить, то получится 29. Какое число задумал Знайка?

Перечислим все двузначные числа, сумма цифр которых 12:

93, 84, 75, 66, 57, 48, 39

Решение удобно оформить в таблице:

Десятки	Единицы
9*2 + 3*3 = 27, 27= 29
8*2 + 4*3 = 28, 28= 29
7*2 + 5*3 =, 29 = 29

Ответ: это число 75.

13. В трёх ящиках 90 кг вишни. В первом и во втором ящиках 66 кг, во втором и третьем – 52 кг. Сколько килограммов вишни в каждом ящике?

1) 90 – 66 = 24(кг) – в третьем ящике.

2)52 – 24 = 28(кг) – во втором ящике.

3)66 – 28 = 38(кг) – в первом ящике.

Ответ: в 1 ящике – 38кг, во 2 – 28кг, в 3 – 24кг.

14. Найди закономерность и запиши следующее число:

Каждое последующее число увеличивается в несколько раз, а именно в 1, 2, 3, 4, значит следующее число увеличится в 5 раз. 48*5=240.

Ответ: 240

15. Счётчик автомобиля показывал 12921 км. Через 2 часа на счётчике опять появилось число, которое читалось одинаково в обоих направлениях. С какой скоростью ехал автомобиль?

1) 13031 – 12921 = 110(км) – проехал.

2) 110 : 2 = 55(км/ч) – скорость.

Ответ: число 13031, со скоростью 55 км/ч.

16. Пять одинаковых мячей и три одинаковых машинки стоят столько же, сколько четыре таких же мяча и четыре машинки. Что дороже, мячик или машинка?

Ответ: они стоят одинаково

17. Мама испекла блинчики. За ужином съели 12 блинчиков. После ужина осталась третья часть всех испечённых блинчиков. Сколько блинчиков испекла мама?

1) 12 : 2 = 6(б.)- одна часть.

2) 6 *3 = 18(б.) – испекла мама.

Ответ: мама испекла 18 блинчиков.

18.Составьте произведение из двух однозначных чисел, так чтобы его значение было больше 20 и меньше 40.Сколькими способами вы можете это сделать?

Ответ: 3*7, 3*8, 3*9, 4*6, 4*7, 4*8, 4*9, 5*5, 5*7, 6*6, то есть всего 10 способов (если считать произведения типа 3*7 и 7*3 одинаковыми).

19.Если бы Коля купил 3 тетради, то у него осталось бы 11 рублей, а если бы он захотел купить 9 тетрадей (таких же), то ему не хватило бы 7 рублей. Сколько денег было у Коли?

Ответ: у Коли было 20 рублей.

20.Запиши число 9, используя четыре раза цифру 2 и знаки действий.

Задачи, оцениваемые в 3 балла

1. Максима спросили, сколько ему лет, и он ответил, что 3 года назад он был в 7 раз старше сестры. Сколько лет Максиму и его сестре?

2. В семье 4 детей. Им 5,8,13 и 15 лет, а зовут их Таня, Юра, Света, Лена. Сколько лет каждому из них, если одна девочка ходит в детский сад, Таня старше, чем Юра, а сумма лет Тани и Светы делится на 3?

3. Пока Катя съедает 2 порции мороженого, Лиза съедает 3 такие же порции. За час девочки съели 10 порций мороженого. Сколько порций за этот час съела Катя?

Ответ: 4порции.

4.У Антона было несколько марок, после того, как ему подарили марок в 2 раза больше, их стало 18. Сколько марок было у Антона?

Ответ: 6 марок.

5. Вставить недостающее число:

Ответ: 6.

6. У Юры 2 автомобиля, 4 медвежонка, 3 мяча. Он хочет выбрать из этих игрушек один автомобиль, одного медвежонка и один мяч. Сколькими способами он это может сделать?

Ответ: 24 способа.

Ответ: в 12 раз.

8. На столе шесть стаканов. 3 из них пустые, а в 3-х вода. Как сделать, чтобы пустые и полные стаканы чередовались? Брать в руки можно только один стакан?

Ответ: Надо перелить воду из второго стакана в пятый и поставить пустой стакан на место.

9.Готовясь к Новому году Чук и Гек мастерили елочные украшения. Они сделали 68 игрушек, из которых получилось 8 наборов: Чук делал наборы по 6 штук, а Гек – по 10 штук в каждом. Сколько наборов сделал каждый из мальчиков?I способ:

1) 8 × 6 = 48 – игрушек в 8 наборах по 6 штук в каждом.

4) 20 : 4 = 5 – наборов по 10 штук в каждом сделал Гек

5) 8 – 5 = 3 – наборов по 6 штук в каждом сделал Чук

Пусть мальчики изготовили по одинаковому числу наборов, тогда

4 4 4 × 6 + 4 × 10 = 24 + 40 = 64 (игр.); 64 В в 3 раза т.е. В*3=А или В+В+В=А, В+10=А, следует, что В+В=10, В=5 5*3=15 или 5+10=15

Ответ: А=15, В=5

12.Майя и Кира вместе весят 40кг, Кира и Соня – 50кг, Соня и Дина – 60кг, Дина и Галя – 70кг, Галя и Майя – 80кг. Сколько весит каждая девочка?

1) 40 + 50 + 60 + 70 + 80 = 300(кг) – удвоенный вес всех девочек.

2) 300: 2 = 150(кг) – вес всех девочек.

3) 40 + 60 = 100(кг) – весят Майя, Кира, Соня, Дина.

4) 150 – 100 = 50(кг) – весит Галя.

5) 80 – 50 = 30(кг) – весит Майя.

6) 70 – 50 = 20(кг) – весит Дина.

7) 60 – 20 = 40(кг) – весит Соня.

40 – 30 = 10(кг) – весит Кира.

13. 5 учеников купили 100 тетрадей. Кирилл и Витя – 52 тетради, Витя и Юра – 43, Юра и Сева – 34, Сева и Миша – 30. Сколько тетрадей купил каждый?

1) 52 + 30 = 82(т.) – купили Кирилл, Витя, Сева, Миша.

2) 100 – 82 = 18(т.) – купил Юра.

3) 43 – 18 = 25(т.) – купил Витя.

4) 52 – 25 = 27(т.) – купил Кирилл.

5) 34 – 18 = 16(т.) – купил Сева.

6)27 + 25 + 16 =68(т.) – купили Витя, Кирилл, Сева.

7) 82 – 68 = 14(т.) – купил Миша.

14. Ученик заплатил за 2 блокнота и 3 открытки 99рублей. Сколько стоит блокнот и открытка, если блокнот в 4 раза дороже открытки?

1 открытка – 1 часть 3 открытки – 3части

1 блокнот – 4 части 2 блокнота – 8 частей

2) 99 : 11 = 9(р.) – цена открытки.

3)9 * 4 = 36(р.) – цена блокнота.

Ответ: цена открытки – 9 рублей, а цена блокнота – 36 рублей.

15. У Серёжи и Кости были старинные монеты. Серёжа отдал Косте столько монет, сколько их было у Кости. Затем Костя отдал Серёже столько монет, сколько их было у Серёжи. В результате у Кости и Серёжи стало по 8 монет. Сколько первоначально было монет у Кости и Серёжи?

В результате передачи монет от Кости к Серёже количество монет у Серёжи удвоилось, т. е. до передачи у Серёжи было 8 : 2 = 4(м.). Тогда у Кости было 8 + 4 = 12(м.). В результате передачи монет от Серёжи Косте количество монет у Кости удвоилось, т. е. до первой передачи у Кости было 12 : 2 = 6(м.). Тогда у Серёжи было 4 + 6 = 10(м.)

Ответ: у Кости было 6 монет, а у Серёжи – 10.

Источник

Задачи, оцениваемые в 1 балл Коля, Вася и Боря играли в шашки. Каждый из них сыграл всего 2 партии. Сколько всего партий было сыграно?

Главная > Документ

Трясцина Людмила Борисовна,

учитель начальных классов МОУ «СОШ № 65 с углубленным изучением английского языка» г.Перми

Задачи, оцениваемые в 1 балл

1.Коля, Вася и Боря играли в шашки. Каждый из них сыграл всего 2 партии. Сколько всего партий было сыграно?

2.Укажи порядок действий:

(a + b) – c + (d + a) + z – (c – b + a)

Ответ : ( a + b) – c + (d + a) + z – (c – b + a)

3.Чему равна сумма двух чисел, если она на 3 больше одного из этих чисел и на 4 больше другого?

4.В коридоре детского сада стояли двухколёсные и трёхколёсные велосипеды. Катя посчитала, что колёс – 18, а рулей всего 7. Сколько было двухколёсных велосипедов?

1) 3 * 4 = 12(к.) – у трёхколёсных велосипедов.

2) 2 * 3 = 6(к.) – у двухколёсных велосипедов.

Всего – 18 колёс и 7 рулей ( по условию задачи)

5.Геологи нашли 7 камней, массы которых 1кг, 2кг, 3кг, 4кг, 5кг. 6кг, 7кг. Эти камни разложили в 4 рюкзака так, что в каждом рюкзаке масса одинаковая. Как это сделали?

Ответ : в 1 рюкзак – 1кг и 6кг, во 2 – 2кг и 5кг, в 3 – 3кг и 4кг, в 4 – 7кг.

6.У Кости в ведре ерши, пескари и окуни – всего 14 рыбок. Ершей на 10 больше, чем пескарей. Сколько ершей, пескарей и окуней в отдельности?

Ответ: ершей-11, пескарей-1, окуней-2.

Задачи, оцениваемые в 2 балла

1.К числу 5 припиши справа цифру так, чтобы получившееся число стало на 49 больше первоначального.

Может быть решено с помощью рассуждения: первоначальное число 5, искомое больше первоначального на 49, 5 + 49 = 54.

Ответ : справа нужно приписать цифру 3

2.У Серёжи и Никиты солдатиков было поровну. Серёжа отдал Никите шесть солдатиков. На сколько солдатиков теперь у Серёжи меньше, чем у Никиты?

Ответ: когда Серёжа отдал Никите 6 солдатиков, то у Серёжи стало на 6 солдатиков меньше, чем было, а у Никиты на 6 солдатика больше, чем было, поэтому у Серёжи на 12 солдатиков меньше, чем у Никиты.

3.Каждый час корабль проплывает по 5 миль. При попутном ветре от острова Буяна до царства Салтана можно добраться за 20 часов. На каком расстоянии находится остров Буян от царства Салтана?

4.Запиши число 33 в виде суммы двух слагаемых, одно из которых в 2 раза больше другого.

5.Запиши наибольшее из всех трёхзначных чисел, в котором каждая последующая цифра на 2 меньше предыдущей.

6.Отца гражданина зовут Николай Петрович, а сына этого гражданина зовут Алексей Владимирович. Как зовут гражданина?

7.Возможно ли такое равенство?

Если возможно, докажи, используя различные единицы измерения.

Ответ: 7 час. + 8 час. = 15 час.

Задачи, оцениваемые в 3 балла

1.Мальчики, зная, что среди пяти мячей один более тяжёлый, решили найти его двумя взвешиваниями. Они из палочки сделали простые весы и, подвешивая к их концам по одному мячу, определили, какой из пяти мячей тяжелее. Как это можно сделать с помощью двух взвешиваний?

2.Грузовых автомобилей на 20 меньше, чем легковых, а общее число автомобилей – равно 5 десяткам. Сколько грузовых автомобилей?

1) 50-20=30 – если бы грузовых и легковых автомобилей было одинаковое кол-во

2)30:2=15 – грузовых автомобилей

3)15+20=35 – легковых автомобилей.

Ответ :15 грузовых автомобилей.

3.В пустой автобус вошли 7 мужчин и 8 женщин. Потом вошли 5 школьников и 6 студентов. Потом вышли 2 женщины и 5 мужчин. Потом вошли 4 женщины и 2 ребёнка. Сколько пассажиров едет сейчас в автобусе?

(7 + 8 + 5 + 6 – 2 – 5 + 4 + 2= 7 + 8 + 6 + 4 = 26 (п.)

Ответ: 26 пассажиров.

4.Карлсон съел яблоко, грушу и персик. В каком порядке он их мог съесть, если каждый фрукт Карлсон ел отдельно? Перечисли все способы.

Ответ: яб., г., п. г., п., яб. п.,г., яб.

яб., п., г. г., яб., п. п., яб., г.

Ответ: № 1 – рыжий, № 2 –белый, № 3 – чёрный.

6.Составь всевозможные числа из цифр 7, 9, 0, если цифры в записи числа могут повторяться.

Ответ: 777, 999, 900, 909, 990, 779. 797, 799, 700, 979, 997, 977, 709, 790, 970, 907.

7.Миша, Женя, Лёня имеют фамилии: Орлов, Ястребов и Соколов. Какую фамилию имеет каждый, если Женя, Миша и Соколов – члены математического кружка, а Миша и ястребов занимаются музыкой?

Ответ : Миша Орлов, Женя Ястребов, Лёня Соколов.

8.Весь класс, в котором учатся Маша и Даша выстроился в колонну по одному. Позади Маши стоит 16 человек, включая Дашу, а впереди Даши стоит 14 человек. Сколько ребят в классе, если между Машей и Дашей стоит 7 человек?

Ответ : в классе 23 человека.

Задачи, оцениваемые в 1 балл

1.Дедушку спросил внук: «Сколько тебе лет?». Дедушка ответил: «Если проживу половину того, что я прожил, да еще 1 год, то мне будет 100 лет». Сколько лет дедушке?

2. В автобусе сначала ехали 18 пассажиров. Потом на каждой остановке выходили 4 человека, а входили 6 человек. Сколько пассажиров ехало в автобусе между четвертой и пятой остановками?

3. Восстановить примеры:

_7 * * 5 7 _5 А В _70057 _ 524

* 8 1 7 * В 3 А 68178 432

1 8 * 9 9 А 1879 92

4. Врач сделал 3 укола с интервалом в 30 минут. Сколько ему потребовалось времени? (60 мин=1 час.)

5. Найди закономерность и продолжи:

а) 25,4,100,26,5,130… (27,6,162)

б) 16,48,17,51,18,54… (19,57)

в) 8,15,16,30,32,60,64,120… (128,240)

6. На столе лежат пятиугольники и шестиугольники. Всего у них 37 вершин. Сколько пятиугольников на столе?

Ответ : 5 пятиугольников.

7. Разность двух чисел равна 15. Если уменьшаемое увеличить на 3, а вычитаемое уменьшить на 2. Тогда, что произойдет с разностью?

Ответ : разность увеличится на 5.

8.Инопланетяне сообщили жителям Земли, что в системе их звезды есть три планеты А, Б, В. Они живут на второй планете. Далее передача ухудшилась из-за помех и было принято еще два неверных сообщения:

На какой из трех планет живут инопланетяне?

Ответ: инопланетяне живут на планете В.

9. Отца одного гражданина зовут Николай Петрович, а сына – Алексей Владимирович. Как зовут гражданина?

Ответ: гражданина зовут Владимир Николаевич.

10. Семь человек обменялись фотографиями. Сколько при этом было роздано фотографий?

Так как каждый из семи человек дал 6 фотографий ( всем, кроме себя), то всего было роздано 42 фотографии (6*7=42)

Ответ: было роздано 42 фотографии.

11.У Незнайки было 2 целых яблока, 8 половинок и 12 четвертинок. Сколько всего яблок было у Незнайки?

8 половинок = 4 целым яблокам

12 четвертинок = 3 целым яблокам

Ответ : у Незнайки было 9 яблок.

12. Какие четыре цифры надо вычеркнуть из числа 4921508, чтобы получившееся число было как можно меньше?

13. Сколько времени показывали настенные часы, когда мама пришла домой, если почтальон принес письмо от папы в 12 ч 25 мин, а она вернулась спустя 4 ч 45 мин?

12 ч 25мин + 4 ч 45мин = 16 ч 70 мин = 17 ч 10 мин

Ответ: часы показывали 17 ч 10 мин.

14.Помоги Незнайке переложить одну палочку так, чтобы равенство стало верным.

Постарайся найти два способа!

15. На трёх сёстрах были белое, синее и красное платья. Туфли тоже были трёх цветов, но только у старшей сестры цвета туфель и платья совпадали. При этом у средней сестры ни платье, ни туфли не были синими, а младшая сестра была в красных туфлях. Какого цвета было платье и туфли у каждой из сестёр? (1Б)

Ответ: у младшей сестры – красные туфли, белое платье

у средней сестры – белые туфли, красное платье

16.Сколько всего двузначных чисел можно составить из цифр 1,2,3 при условии, что цифры в записи числа повторяться не будут? Перечисли все эти числа и найди их сумму.

Ответ: 6 чисел: 12, 13, 21, 23, 31, 32. Сумма их 132

17.Ветеринар прописал для слона 9 пилюль и велел давать их через каждые полчаса. Работник зоопарка строго выполнял указания врача. Через сколько часов работник даст слону последнюю пилюлю?

Ответ : через 4 часа.

18.На столе лежат книги, которые нужно упаковать. Если их связать по 2, то останется одна лишняя книга, если по три, то две книги, если по четыре, то останется три книги. Найди наименьшее число, удовлетворяющее этим условиям.

Ответ : это число – 11

19.Вместо точек поставить соответствующие единицы измерения:

а) площадь зала – 60…

б) скорость поезда – 100…

в) масса автомобиля – 1…

Ответ: 60 кв. м, 100 км/ч, 1 т.

20.В каждой из 9 клеток квадрата поставить одно из чисел 1, 2, 3 так, чтобы сумма чисел, стоящих в каждом вертикальном ряду, в каждом горизонтальном и по любой диагонали равнялась 6.

21.На почтовом ящике написано: «Выемка писем производится с 9 ч. До 18 ч. – через каждые 3 ч.». И действительно, первый раз почтальон подходит к ящику в 9 ч., а последний – через равные промежутки времени. Сколько раз в день производится выемка писем?

(18 – 9) : 3 + 1 = 4(раза)

Задачи, оцениваемые в 2 балла

1.В ящике имеется 3 черных и 5 белых шаров. Какое наименьшее количество шаров надо взять из ящика, не заглядывая в него, чтобы среди вынутых шаров оказалось хотя бы 2 черных шара?

Ответ : нужно вынуть 7 шаров.

2.Если Петя даст Саше 100 рублей, то у друзей будет денег поровну, а если Саша даст Пете 100 рублей, то у Пети будет денег в 9 раз больше, чем у Саши. Сколько денег у каждого?

3)9частей – 1часть = 8частей, 400 : 8 = 50(р.)

3.45 топоров и 30 колунов весят 210 кг. Топор вдвое легче колуна. Сколько весит топор и колун?

4.В записи 1*2*3*4*5 замените звездочки знаками действий и расставьте скобки так, чтобы значение выражения было равно 100.

5.Длина удава 12 метров или 48 попугаев. Какова длина попугая?

6. Три подруги: Валя, Галл и Катя пришли на День Рождения в платьях разного цвета: розовом, голубом и желтом. Катя была не в желтом платье, Валя не в желтом и не в голубом. Кто из девочек пришел в каком платье?

7. Какие трехзначные числа можно составить из цифр 7, 0 и 9, если цифры в записи могут повторяться.

Ответ : 777, 999, 770, 707, 990, 909, 779, 977, 799, 979, 797, 997, 709, 790, 970, 907.

9. Продолжи числовой ряд: на 3 числа

10. Написано 99 чисел: 1, 2, 3, …99. Сколько раз в записи встречается цифра 5?

Ответ: 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 57, 58, 59, всего 20 раз.

11.Дома у Светы живут кошки разных пород: сибирская, сиамская и персы. Света взвесила своих кошек, вот результат:

— каждый перс весит 4кг

— каждая сиамская кошка – 3кг

-каждая сибирская – 7кг

Сколько кошек каждой породы живёт у неё дома, если известно, что все они весят 24кг?

Ответ : перс – 1, сиамских – 2, сибирских – 2.

12.Знайка задумал двузначное число. Сумма цифр этого числа равна 12. Если цифру десятков умножить на 2, а цифру единиц умножить на 3 и оба произведения сложить, то получится 29. Какое число задумал Знайка?

Перечислим все двузначные числа, сумма цифр которых 12:

93, 84, 75, 66, 57, 48, 39

Источник