Уравнение движения грузов на машине атвуда
Изучение законов поступательного движения на машине Атвуда: формулы и пояснения
Использование простых механизмов в физике позволяет изучать различные природные процессы и законы. Одним из этих механизмов является машина Атвуда. Рассмотрим в статье, что она собой представляет, для чего используется, и какие формулы описывают принцип ее работы.
Что такое машина Атвуда?
Названная машина представляет собой простой механизм, состоящий из двух грузов, которые соединены переброшенной через неподвижный блок нитью (веревкой). В данном определении следует пояснить несколько нюансов. Во-первых, массы грузов в общем случае являются разными, что обеспечивает наличие у них ускорения под действием силы тяжести. Во-вторых, нить, связывающая грузы, считается невесомой и нерастяжимой. Эти предположения значительно облегчают последующие расчеты уравнений движения. Наконец, в-третьих, неподвижный блок, через который переброшена нить, также считается невесомым. Кроме того, во время его вращения пренебрегают силой трения. Ниже на схематическом рисунке показана эта машина.
Вам будет интересно: Пространственная экономика: описание специальностей и структура
Вам будет интересно: Что такое подполье? Подпольная организация «Молодая гвардия». Антифашистское движение
Машина Атвуда была изобретена английским физиком Джорджем Атвудом в конце XVIII века. Служит она для изучения законов поступательного движения, точного определения ускорения свободного падения и экспериментальной проверки второго закона Ньютона.
Уравнения динамики
Каждый школьник знает, что ускорение у тел появляется только в том случае, если на них оказывают действие внешние силы. Данный факт был установлен Исааком Ньютоном в XVII веке. Ученый изложил его в следующем математическом виде:
Где m – инерционная масса тела, a – ускорение.
Изучение законов поступательного движения на машине Атвуда предполагает знание соответствующих уравнений динамики для нее. Предположим, что массы двух грузов равны m1 и m2, причем m1>m2. В таком случае первый груз будет перемещаться вниз под действием силы тяжести, а второй груз будет двигаться вверх под действием силы натяжения нити.
Рассмотрим, какие силы действуют на первый груз. Их две: сила тяжести F1 и сила натяжения нити T. Силы направлены в разных направлениях. Учитывая знак ускорения a, с которым перемещается груз, получаем следующее уравнение движения для него:
Что касается второго груза, то на него действуют силы той же природы, что и на первый. Поскольку второй груз движется с ускорением a, направленным вверх, то уравнение динамики для него принимает вид:
Таким образом, мы записали два уравнения, в которых содержатся две неизвестных величины (a и T). Это означает, что система имеет однозначное решение, которое будет получено далее в статье.
Расчет уравнений динамики для равноускоренного движения
Как мы видели из записанных выше уравнений, результирующая сила, действующая на каждый груз, остается неизменной в процессе всего движения. Масса каждого груза также не меняется. Это означает, что ускорение a будет постоянным. Такое движение называют равноускоренным.
Изучение равноускоренного движения на машине Атвуда заключается в определении этого ускорения. Запишем еще раз систему динамических уравнений:
Чтобы выразить значение ускорения a, сложим оба равенства, получаем:
Подставляя явное значение сил тяжести для каждого груза, получаем конечную формулу для определения ускорения:
Отношение разницы масс к их сумме называют числом Атвуда. Обозначим его na, тогда получим:
Проверка решения уравнений динамики
Выше мы определили формулу для ускорения машины Атвуда. Она является справедливой только в том случае, если справедлив сам закон Ньютона. Проверить этот факт можно на практике, если провести лабораторную работу по измерению некоторых величин.
Лабораторная работа с машиной Атвуда является достаточно простой. Суть ее заключается в следующем: как только грузы, находящиеся на одном уровне от поверхности, отпустили, необходимо засечь время движения грузов секундомером, а затем, измерить расстояние, на которое переместился любой из грузов. Предположим, что соответствующие время и расстояние равны t и h. Тогда можно записать кинематическое уравнение равноускоренного движения:
Откуда ускорение определяется однозначно:
Отметим, что для увеличения точности определения величины a, следует проводить несколько экспериментов по измерению hi и ti, где i – номер измерения. После вычисления значений ai, следует рассчитать среднюю величину acp из выражения:
Где m – количество измерений.
Приравнивая это равенство и полученное ранее, приходим к следующему выражению:
Если данное выражение оказывается справедливым, то таковым также будет и второй закон Ньютона.
Расчет силы тяжести
Выше мы предположили, что значение ускорения свободного падения g нам известно. Однако при помощи машины Атвуда определение силы тяжести также оказывается возможным. Для этого вместо ускорения a из уравнений динамики следует выразить величину g, имеем:
Чтобы найти g, следует знать, чему равно ускорение поступательного перемещения. В пункте выше мы уже показали, как его находить экспериментальным путем из уравнения кинематики. Подставляя формулу для a в равенство для g, имеем:
Вычислив значение g, несложно определить силу тяжести. Например, для первого груза ее величина будет равна:
Определение силы натяжения нити
Сила T натяжения нити является одним из неизвестных параметров системы динамических уравнений. Выпишем еще раз эти уравнения:
Если в каждом равенстве выразить a, и приравнять оба выражения, тогда получим:
T = (m2*F1 + m1*F2)/(m1 + m2).
Подставляя явные значения сил тяжести грузов, приходим к конечной формуле для силы натяжения нити T:
Машина Атвуда имеет не только теоретическую пользу. Так, подъемник (лифт) использует при своей работе контргруз с целью подъема на высоту полезного груза. Такая конструкция значительно облегчает работу двигателя.
Методические указания к лабораторной работе «Машина Атвуда»
Экспериментальная проверка основных уравнений и законов поступательного движения тела в поле сил земного тяготения, определение ускорения свободного падения лабораторной установке – машине Атвуда.
Время движения грузов измеряется с помощью ручного или стационарного секундомера.
Для выполнения работы машина Атвуда должна быть установлена строго вертикально, что легко проверить по параллельности шкалы и нити.
Второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось для каждого из тел системы (рис.2) в предположении невесомости блока, отсутствия силы трения и нерастяжимости нити дает:
(1)
(2)
Так как начальная скорость в опытах на машине Атвуда обычно равна нулю и движение условно начинается из начала координат, то
(3) 
Третье соотношение часто называют законом перемещений: «Перемещение при равноускоренном движении прямо пропорционально квадрату времени движения».
Соотношение (3) может быть проверено экспериментально на машине Атвуда. Кроме того, машина Атвуда дает возможность экспериментально проверить второй закон Ньютона для поступательного движения: «Ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально равнодействующей действующих на него сил и обратно пропорционально массе этого тела».
Подставляя a i в (2) получаем следующую формулу:
(4)
(5)
— сумма проекций на ось Z всех сил, действующих на вращающиеся тело; α- угловое ускорение блока; J – его момент инерции
(6)
Выразим из уравнения (1) разность сил натяжения ( T 1 – T 2 ) и подставив ее в уравнение (6) получим:
(7)
Выразим ускорение грузов a :
(8)
Учитывая, что значение момента инерции блока
(9),
k- коэффициент распределения массы блока относительно оси вращения (k
11) 
Задание 1. Проверка второго закона Ньютона.
Поскольку ускорение движения является функцией двух переменных – силы и массы, то изучение второго закона Ньютона выполняется путем раздельного исследования двух зависимостей: 1) зависимости ускорения от действующей силы при постоянной массе системы и 2) зависимости ускорения от массы системы при постоянной действующей силе.
Исследование зависимости ускорения от силы при постоянной массе
Измерения и обработка результатов
3. Измеряют время равноускоренного движения системы на пути, например, 1 метр. Все данные заносят в таблицу 1.3 отчета.
4. Пользуясь законом путей (1.6), вычисляют ускорение а.
5. Поводят еще 5-6 опытов, последовательно увеличивая массу перегрузков.
6. Строят график зависимости ускорения движения от действующей силы. Точку ( F =0, a =0) на графике не откладывают. Если экспериментальные точки ложатся на прямую с небольшим разбросом и прямая проходит через начало координат, то можно сделать вывод о том, что ускорение действительно прямо пропорционально силе.
7. По угловому коэффициенту полученной прямой определяют массу системы и сравнивают ее реальной массой.
Исследование зависимости ускорения от массы при постоянной силе
Измерения и обработка результатов
1. Все опыты проводят с одним и тем же перегрузком, т.е. при постоянной действующей силе. Ускорение системы измеряется также как и в предыдущем задании.
2. Для изменения массы системы одновременно на правый и левый груз кладут дополнительные одинаковые грузы. Все данные записывают в таблицу отчета.
3. График обратно пропорциональной зависимости ускорения от массы представляет собой гиперболу, которую невозможно идентифицировать. Для проверки предположения об обратно пропорциональной зависимости между ускорением и массой 
необходимо построить график зависимости ускорения от обратного значения массы системы: a = f (М -1 ). Подтверждением предположения является прямолинейность этого графика.
4. По угловому коэффициенту полученной прямой определяют значение приложенной силы и сравнивают ее с реально действующей в системе
Задание 2. Определение ускорения движения грузов
В полученном уравнении прямой 
коэффициент k равен половине ускорения системы: k=a/2. Это позволяет вычислить ускорение грузов ( a =2 k ) в данном опыте и определить погрешность его измерения. Произведите необходимые вычисления и занесите результаты в отчет.
Задание 3. Определение ускорения свободного падения
(Выполняется по результатам измерений и вычислений, проведенных в первом и втором заданиях). Зная массы грузов и перегрузка, а также ускорение движения системы, из формулы (3) найдите ускорение свободного падения. Результаты занесите в отчет. В выводе сравните полученный результат с табличной величиной.
Для нахождения погрешности измерения величины ускорения свободного падения Δ g используем формулу:
12) 
где 
; 
; 
; 
;
– частные производные функции
Проанализируйте результаты своих наблюдений и сформулируйте вывод.
Контрольные вопросы
Какое движение называется поступательным?
Дайте определение инерциальной системы отсчета. Приведите примеры ИСО.
Сформулируйте первый закон Ньютона. Приведите примеры его проявления.
Дайте определение инертной массы тела. Гравитационной? От чего и как зависит масса тела?
Сформулируйте второй закон Ньютона. Приведите варианты его математической формы.
Покажите все силы, действующие на один из грузов в машине Атвуда, и составьте для него уравнение динамики.
Запишите систему уравнений динамики для машины Атвуда с учетом момента инерции блока. Силы трения в блоке?
Описание лабораторной работы
Изучение равнопеременного и равномерного прямолинейных движений в поле земного тяготения. Определение ускорения свободного падения.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ
называют основным уравнением динамики.
Эскиз машины Атвуда показан на рис. 1.
Рис. 1. Эскиз машины Атвуда
Основное уравнение динамики для груза с перегрузком имеет вид:
а для другого груза (без перегрузка):
Основное уравнение динамики вращательного движения неподвижного блока имеет вид:
Если вращение по часовой стрелке считать положительным, то, согласно рис. 1, получим
Будет считать, что нить невесомая, нерастяжимая и не скользит по блоку. Из условия невесомости нити следует:
Из условия нерастяжимости нити следуют равенства модулей перемещений, скоростей и ускорений грузов и нити:
Наконец, в отсутствие скольжения нити по блоку, ускорение грузов и нити а равно модулю тангенциального ускорения точек обода блока:
В данной лабораторной установке момент сил трения настолько мал, что выполняется неравенство
Кроме того, в лабораторной установке величина момента инерции I блока такова, что справедливо другое неравенство:
Пренебрегая малыми величинами, из уравнения (9) получим формулу для расчёта ускорения а системы грузов под действием перегрузка массой m :
а модули сил натяжения нити Т1 и Т2 по обе стороны блока равны:
Можно сказать, что равенство (13) выполняется при двух предположениях (10) и (11).
Равноускоренное движение системы грузов вдоль оси у описывается уравнениями движения произвольной точки системы:
Система грузов перемещается на величину sy=L1 , двигаясь равноускоренно под действием перегрузка массой m с ускорением, которое определяется формулой (12).
С помощью формулы (15) найдём расчётную формулу для величины ускорения а грузов с перегрузком:
ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
Рис. 2. Схема экспериментальной установки
Для подготовки прибора к следующему измерению нажимают кнопку «СБРОС».
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Упражнение 1. ИЗМЕРЕНИЕ УСКОРЕНИЯ ГРУЗОВ
Обратите внимание на необходимость записывать данные в системе СИ, то есть, в метрах.
Обратите внимание на необходимость записывать данные в системе СИ, то есть, в килограммах.
Обратите внимание на необходимость записывать данные в системе СИ, то есть, в метрах.
6. Нажмите кнопку «СБРОС».
8. Вычислите среднее значение времени t >. Результат занесите в таблицу расчетов 2.
Лабораторная работа: Изучения прямолинейного движения на машине атвуда
| Название: Изучения прямолинейного движения на машине атвуда Раздел: Рефераты по физике Тип: лабораторная работа Добавлен 12:55:38 22 июня 2011 Похожие работы Просмотров: 3892 Комментариев: 18 Оценило: 5 человек Средний балл: 4.8 Оценка: неизвестно Скачать |
 |
Схема экспериментальной установки на основе машины Атвуда приведена на рис.2.1.
Миллисекундомер 8 представляет собой прибор с цифровой индикацией времени. Регулировочные опоры 9 используют для регулировки положения экспериментальной установки на лабораторном столе.
Принцип работы машины Атвуда заключается в том, что когда на концах нити висят грузы одинаковой массы, то система находится в положении безразличного равновесия. Если на правый груз положить перегрузок, то система грузов выйдет из состояния равновесия и начнет двигаться.
3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Средние значения времени и квадрата времени 2 > прохождения грузом с перегрузом пути S:
Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути S:
(3.3)
Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути S:
стандартная абсолютная погрешность измерения времени:
Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения пути S:
Абсолютная погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния:
Угловой коэффициент экспериментальной прямой:
b =
(3.8)
Величина ускорения, определяемого из линеаризованного графика:
Абсолютную случайную погрешность ускорения sсл (a ) рассчитываем методом наименьших квадратов.
Рассчитываем параметры линеаризованного графика
(y = f(x) = Ax + B) и случайные абсолютные погрешности параметров.
Расчет производится по формулам: (3.10)
куда входят следующие величины:
где n – число экспериментальных точек.
Абсолютная случайная погрешность определения углового коэффициента: sсл (β ):
где вспомогательная величина:
Абсолютная случайная погрешность ускорения:
4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.
Измеренные значения и результаты их обработки приведены в таблице 4.1.
Результаты прямых и косвенных измерений Таблица 4.1
=3,16 см 1/2
= 4,47 см 1/2
= 5,48 см 1/2
= 5,92 см 1/2
=6,48 см 1/2
- Уравнение движения автомобиля тяговая динамичность автомобиля
- Уравнение движения машины в дифференциальной форме