Что такое равносильные уравнения 7 класс

Равносильные уравнения. Равносильные преобразования уравнений

Равносильными называют уравнения, имеющие одни и те же корни. Равносильными считаются также уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Основные равносильные преобразования уравнений:

Умножение или деление обеих частей уравнения на одно число или выражение не равное нулю.

Применение всех формул и свойств, которые есть в математике.

Равносильные уравнения и уравнения следствия

Равносильные преобразования уравнений можно назвать «правильными» или «безошибочными» преобразованиями, потому что, сделав их, вы не нарушите математических законов. Почему тогда математики так их и не назвали: «правильные преобразования уравнений»? Потому что есть еще «полу-правильные» преобразования уравнений. В них уравнение при преобразовании приобретает дополнительные корни по ходу решения, но лишние корни мы при записи ответа не учитываем. Строгие математики их называют уравнениями следствиями:

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, но при этом у второго также есть корни не подходящие первому, то второе уравнение является следствием второго.

Пример (ОГЭ). Решите уравнение \(x^2-2x+\sqrt<2-x>=\sqrt<2-x>+3\)

Перенесем оба слагаемых из правой части в левую.

Взаимно уничтожим подобные слагаемые. Это и есть «полу-правильное преобразование», так как после него у уравнения становится два корня вместо изначального одного.

Сверяем корни с ОДЗ и исключаем неподходящие.

\(↑\) не подходит под ОДЗ

Пример. В каких пунктах применялись равносильные преобразования, а в каких был переход к уравнению следствию? Укажите какие виды равносильных преобразований применялись.

В пункте a) применялось равносильное преобразование 1.

В пункте b) перешли к уравнению следствию, так как \(\sqrt\) «ушло», то ОДЗ расширилось;

В пункте с) тоже перешли к уравнению следствию, из-за того что умножили на знаменатель;

В пункте d) применялось равносильное преобразование: «Извлечения корня нечетной степени из обеих частей уравнения»;

В пункте e) умножили обе части уравнения на \(2\) т.е. равносильно преобразовали;

В пункте f) перешли от вида \(a^=a^\) к виду \(f(x) =g(x)\), что тоже является равносильным преобразованием.

Источник

Конспект урока по алгебре на тему: «Уравнение и его корни. Равносильные уравнения». (7 класс)

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тема урока: Уравнение и его корни. Равносильные уравнения.

Предмет: алгебра, 7 класс.

обобщить и систематизировать знания по теме “Уравнения”;

способствовать развитию логического мышления и математической речи учащихся.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Работа над ошибками в к/р №1.

Закончите предложение: “Выражение 2х – 5 [3 4 + 5] является …” (буквенным/числовым)

Найдите значение полученного выражения при х = 10. (55 рублей/60 рублей)

Хватит ли Коле денег на всю покупку, если у него всего 58 рублей? (да/нет)

Решите уравнение
5х – 4 = 6
3х + 2 = 8. Дети сдают диктанты, обмениваются тетрадями, проверяют друг у друга работы. Ответы записываются на доску.

4. Сообщение темы урока.

— Каким было последнее задание в диктанте? (Решить уравнение).

— Учиться решать уравнения вы начали ещё в начальных классах. С этой темой мы встречались в 5 и 6 классах, узнавая каждый раз что – то новое об уравнениях. Задачей нашего сегодняшнего урока является обобщение и систематизация знаний об уравнениях.

5. Изучение нового материала

1) – Запишите тему нашего урока “Уравнение и его корни. Равносильные уравнения”.

2) – Давайте постараемся дать определение уравнению. Что же это такое?

Равенство, содержащее переменную, называется уравнением с одной переменной или уравнением с одним неизвестным.

3) Помня определение уравнения, определите, является ли данная запись уравнением:

Дети объясняют свои ответы, подчёркивая, является ли данная запись равенством и содержит ли она переменную.

Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

5) – Как узнать, является ли данное число корнем уравнения или нет? (Надо подставить число в уравнение вместо переменной, посмотреть, обратится ли при этом уравнение в верное равенство или нет.)

Выясните, является ли число 2 корнем уравнения:

а) 4 + 3х = 10; б) (х – 5)(х + 1) = 11; в) 6(3х – 1) = 12х + 6.

Учащиеся подставляют число 2 в каждое уравнение, проверяя, обращает ли оно данное уравнение в верное равенство. Делают соответствующий вывод.

6) – Следующее задание выполним письменно.

Задание выполняется учащимися в тетради. Некоторые ученики по очереди делают соответствующие записи на доске. Образец выполнения задания: Корнем уравнения х 2 + 3х = 10

в) 0 не является, так как 0 2 + 3 * 0 = 0, а 0 10;

г) 2 является, так как 2 2 + 3 * 2 = 4 + 6 = 10, а 10 = 10;

д) 3 не является, так как 3 2 + 3 * 3 = 9 + 9 = 18, а 18 10.

Постарайтесь сами составить уравнение, корнем которого было бы число 3.

После самостоятельного выполнения задания некоторые учащиеся зачитывают получившиеся у них уравнения, класс определяет, правильно ли выполнено задание.

9) – Как вы думаете, что значит решить уравнение?

Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что корней нет.

10) – Какие из данных уравнений не имеют корней:

а) 3х = 5х; б) 4(х + 1) = 4х +7; в) 3х + 12 = 3(х + 4).

12) – Сегодня мы знакомимся с новым для вас понятием – это равносильные уравнение. Попробуйте догадаться, какие же уравнения называются равносильными.

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями.

13) – Какое уравнение равносильно уравнению 3х – 10 = 50?

Учащиеся составляют уравнения, равносильные данному, записывают их в тетрадь, некоторые из составленных уравнений зачитываются и обсуждаются классом.

14) – При решении уравнений используются свойства, которые мы с вами учили в 6 классе. Давайте их вспомним.

1) Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному.

2) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

15) – Замените уравнения равносильными уравнениями с целыми коэффициентами:

— Замените уравнения равносильными уравнениями вида ах = b:

а) 8х + 15 = 39; б) 16 – 2х = 10.

Источник

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Равносильность уравнений и систем уравнений

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Уравнение, левой и правой частями которого являются числа или многочлены степени не выше первой относительно х и у, называются линейными уравнением с двумя неизвестными х и у.

Члены многочленов, находящиеся в левой и правой частях линейного уравнения, называют членами этого уравнения.

Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго является решением первого.

Равносильны два уравнения, каждое из которых не имеет решения.

Две системы уравнений называют равносильными, если любое решение первой системы является решением второй системы и любое решение второй системы является решением первой системы.

Равносильны две системы, если каждая из них не имеет решений.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Уравнение, левой и правой частями которого являются числа или многочлены степени не выше первой относительно х и у, называются линейными уравнением с двумя неизвестными х и у.

Члены многочленов, находящиеся в левой и правой частях линейного уравнения, называют членами этого уравнения.

Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго является решением первого.

Равносильны такие два уравнения, каждое из которых не имеет решения.

1) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получим уравнение, равносильное исходному.

2) Если перенести с противоположным знаком член уравнения из одной части в другую, то получим уравнение, равносильное исходному.

3) Если в левой и правой частях линейного уравнения привести подобные члены, то получится уравнение, равносильное исходному:

Доказательство этих утверждений проводится так же, как для линейного уравнения с одним неизвестным.

Две системы уравнений называют равносильными, если любое решение первой системы является решением второй системы и любое решение второй системы является решением первой системы. Равносильны также две системы, если каждая из них не имеет решений.

Очевидно, что если одно из уравнений системы заменить другим, равносильным ему уравнением, то полученная система будет равносильна исходной.

Перенеся свободные члены уравнений этой системы в их правые части, получим следующую равносильную систему:

Пример 2. Решите систему уравнений:

Решим системы способом подстановки.

Пример 3. Решите систему уравнений

Пример 4. Решите систему уравнений

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

№1. Тип задания: единичный выбор.

Какие два уравнения называются равносильными?

Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго является решением первого.

Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения не является решением второго, а любое решение второго не является решением первого.

Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является продолжением решения второго, и является единственно верным.

Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго является решением первого.

№2. Тип задания: Восстановление последовательности элементов горизонтальное / вертикальное.

Источник

Равносильные уравнения, преобразование уравнений

Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.

Понятие равносильных уравнений

Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.

Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.

Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.

Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.

Приведем несколько примеров таких уравнений.

Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.

Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.

Понятие уравнений-следствий

Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.

Следствием уравнения f ( x ) = g ( x ) будет уравнение p ( x ) = h ( x ) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.

Источник

Равносильные уравнения

Два или более уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же корни. Например, уравнения:

равносильные, потому что имеют одни и те же корни (2 и 1 — это можно проверить подстановкой).

Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.

Преобразование уравнений

Если одно уравнение заменяется другим уравнением, равносильным данному, то такая замена называется преобразованием уравнения. Например, уравнение

можно преобразовать в такое:

Если одно уравнение заменяется другим, равносильным данному и при этом более простым, то такое преобразование называется упрощением уравнения. Например, упростим следующее уравнение:

заменив его равносильным уравнением

Все преобразования уравнений основаны на двух свойствах равенств, и следствиях, которые вытекают из данных свойств.

Если к обеим частям уравнения прибавить или отнять одно и то же число или алгебраическое выражение, то получится уравнение, равносильное данному.

Из данного свойства можно вывести три следствия:

Возьмём уравнение x + 13 = 10 + 13. Отняв от обеих частей по 13, получим

то есть член x перешёл в другую часть с обратным знаком.

И, учитывая, что части любого равенства ( в том числе и любого уравнения) можно менять местами, то, поменяв левую часть с правой, получим:

то есть получилось, что мы просто заменили знаки всех членов уравнения на противоположные.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число или алгебраическое выражение, то получится уравнение, равносильное данному.

Рассмотрим уравнение 3x = 12. Разделив обе части уравнения на число 3:

получим уравнение x = 4. Если в уравнение 3x = 12 вместо x подставить число 4, то можно удостовериться, что, разделив обе части уравнения на 3, мы не только получили равносильное уравнение, но и нашли его корень.

Из данного свойства можно вывести два следствия:

Возьмём уравнение 16x + 8 = 40. Разделив все члены на общий множитель 8, получим:

После приведения всех членов к общему знаменателю получим:

Теперь, умножив все члены уравнения на 4, или, что то же самое, просто отбросив знаменатель, получим:

Источник