Что такое следствие геометрия
Что является следствием в геометрии?
следствие это результат, который очень часто используется в геометрии для обозначения немедленного результата чего-то уже продемонстрированного. Обычно в геометрии следствия появляются после доказательства теоремы.
Поскольку это прямой результат уже доказанной теоремы или уже известного определения, следствия не требуют доказательств. Эти результаты очень легко проверить, и поэтому их демонстрация опущена.
Следствие слова происходит от латинского Corollarium, и широко используется в математике, имея большее проявление в области логики и геометрии.
Когда автор использует следствие, он говорит, что этот результат может быть обнаружен или получен читателем самостоятельно, используя в качестве инструмента некоторую теорему или определение, объясненное ранее..
Примеры следствий
Ниже приведены две теоремы (которые не будут доказаны), за которыми следуют одно или несколько следствий, которые выводятся из указанной теоремы. Кроме того, прилагается краткое объяснение того, как показано следствие..
Теорема 1
Следствие 1.1
Гипотенуза прямоугольного треугольника имеет большую длину, чем любая из ног.
объяснение: имея это c² = a² + b², можно вывести, что c²> a² и c²> b², из чего делается вывод, что «c» всегда будет больше, чем «a» и «b».
Теорема 2
Сумма внутренних углов треугольника равна 180º.
Следствие 2.1
В прямоугольном треугольнике сумма углов, прилегающих к гипотенузе, равна 90º.
объяснение: в прямоугольном треугольнике есть прямой угол, то есть его мера равна 90º. Используя теорему 2, у вас есть 90º, плюс измерения двух других углов, прилегающих к гипотенузе, равны 180º. При очистке будет получено, что сумма мер соседних углов равна 90º.
Следствие 2.2
В прямоугольном треугольнике острые углы, прилегающие к гипотенузе.
объяснение: используя следствие 2.1, мы получаем, что сумма мер углов, прилегающих к гипотенузе, равна 90º, следовательно, мера обоих углов должна быть меньше 90º, и, следовательно, указанные углы являются острыми.
Следствие 2.3
Треугольник не может иметь два прямых угла.
объяснение: если треугольник имеет два прямых угла, то добавление мер трех углов приведет к числу больше 180º, а это невозможно из-за теоремы 2.
Следствие 2.4
Треугольник не может иметь более одного тупого угла.
объяснение: если треугольник имеет два тупых угла, при сложении его измерений будет получен результат, превышающий 180º, что противоречит теореме 2.
Следствие 2.5
В равностороннем треугольнике мера каждого угла составляет 60º.
объяснение: равносторонний треугольник также равновеликий, поэтому, если «х» является мерой каждого угла, то добавление меры трех углов даст 3x = 180º, из чего делается вывод, что x = 60º.
Что такое следствие в геометрии?
Содержание:
А следствие это результат, широко используемый в геометрии для обозначения немедленного результата чего-то уже доказанного. Следствия обычно появляются в геометрии после доказательства теоремы.
Поскольку они являются прямым результатом доказанной теоремы или известного определения, следствия не требуют доказательства. Эти результаты очень легко проверить, поэтому их доказательство опускается.
Слово следствие происходит от латинского венчик, и обычно используется в математике, особенно в областях логики и геометрии.
Когда автор использует следствие, он говорит, что этот результат может быть обнаружен или выведен самим читателем, используя в качестве инструмента некоторую ранее объясненную теорему или определение.
Примеры следствий
Ниже приведены две теоремы (которые не будут доказаны), за каждой из которых следует одно или несколько следствий, выведенных из указанной теоремы. Кроме того, прилагается краткое объяснение того, как демонстрируется следствие.
— Теорема 1
Следствие 1.1.
Гипотенуза прямоугольного треугольника длиннее любого катета.
Пояснение: Поскольку c² = a² + b², можно вывести, что c²> a² и c²> b², из чего делается вывод, что «c» всегда будет больше, чем «a» и «b».
— Теорема 2
Сумма внутренних углов треугольника равна 180º.
Следствие 2.1.
В прямоугольном треугольнике сумма углов, примыкающих к гипотенузе, равна 90 °.
Следствие 2.2.
В прямоугольном треугольнике углы, прилегающие к гипотенузе, острые.
Пояснение:Используя следствие 2.1, мы получаем, что сумма углов, примыкающих к гипотенузе, равна 90 °, следовательно, размер обоих углов должен быть меньше 90 °, и поэтому указанные углы являются острыми.
Следствие 2.3.
У треугольника не может быть двух прямых углов.
Пояснение:Если треугольник имеет два прямых угла, то сложение трех углов даст число больше 180 °, а это невозможно благодаря теореме 2.
Следствие 2.4.
У треугольника не может быть более одного тупого угла.
Пояснение: Если треугольник имеет два тупых угла, сложение их мер даст результат больше 180 °, что противоречит теореме 2.
Следствие 2.5.
В равностороннем треугольнике каждый угол составляет 60º.
Пояснение: Равносторонний треугольник также является равноугольным, поэтому, если «x» является мерой каждого угла, то добавление меры трех углов даст 3x = 180º, из чего делается вывод, что x = 60º.
Ссылки
Синтром: что это такое, показания и побочные эффекты
Клеточное питание: процесс и питательные вещества
Что такое аксиома и теорема
Решение всех задач в геометрии построено на логических рассуждениях. С их помощью мы решаем задачи или выводим новые доказательства.
Некоторые из утверждений в геометрии мы используем не задумываясь. Вспомним высказывание, которое мы слышим при самом первом знакомстве с геометрией:
«Через две точки можно провести прямую, и притом только одну».
Но можно ли считать подобное рассуждение доказательством?
Другими словами, утверждение «Через две точки можно провести прямую, и притом только одну» не является доказанным только потому, что мы нарисовали рисунок и по рисунку «на глаз» стало все понятно.
В геометрии действует принцип: «Не верь глазам своим, пока не докажешь утверждение с помощью рассуждений».
Но что нам в таком случае делать? Ведь при решении задач мы используем какие-то очевидные утверждения, не задумываясь об их истинности.
Что такое аксиома
Слово аксиома произошло от древнегреческого слова «axioma» — утверждение, положение.
С точки зрения учащихся, аксиома — лёгкий способ получить отличную оценку. Достаточно просто выучить формулировку. Ведь никаких доказательств для аксиомы учить не требуется.
Всего в геометрии насчитывается около 15 аксиом. В школьном курсе используются далеко не все. Некоторые из них используются в школьном курсе как само собой разумеющееся для нас. Приведем некоторые примеры довольно известных аксиом из школьного курса геометрии:
Что такое теорема
Совсем по-другому обстоят дела с теоремами. Слово теорема происходит от древнегреческого слова «theorema» — смотреть, рассматривать какое-либо утверждение.
Теоремы менее «любимы» учащимися, чем аксиомы. Если учитель попросит рассказать теорему, будет недостаточно, как для аксиомы, сообщить только её формулировку. Потребуется также дать доказательство теоремы.
Примеры формулировок теорем:
Каждое слово или предлог в формулировке играет существенную роль в передаче смысла выражения. Даже просто поменяв порядок слов можно сильно изменить смысл утверждения.
Помните, что все формулировки в геометрии были выверены несколькими тысячами лет развития математики лучшими умами планеты и не терпят никаких словесных изменений.
Что такое лемма
Среди теорем выделяют такие теоремы, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.
Лемма происходит от древнегреческого слова «lemma» – предположение.
Что такое следствие в геометрии
Приведем примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
Если подытожить все вышесказанное, то сравнивая геометрию с высотным домом, можно представить, что:
Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя с самых основ (аксиом) к теоремам.
Невозможно понять геометрию 9 и 10 класса, не выучив аксиомы и теоремы 7 и 8 класса.
Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы
Понятие аксиомы
Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.
Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.
Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.
Основные аксиомы евклидовой геометрии
Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.
А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.
Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:
Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.
У этой аксиомы два следствия:
Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:
Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.
На картинке можно увидеть, как это выглядит:
Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.
Понятие теоремы
Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.
Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.
Состав теоремы: условие и заключение или следствие.
Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.
Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.
Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.
Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.
Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.
Способы доказательства геометрических теорем
Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.
Приемы для доказательства в геометрии:
Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.
Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:
В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.
Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.
Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:
В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).
Теоремы без доказательств
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:
Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:
где a, b и c — стороны плоского треугольника,
α — угол, противолежащий стороне а.
Следствия из теоремы косинусов:
Понятия свойств и признаков
У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.
Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.
Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.
Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.
Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.
Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.
Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.
А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.
Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.
Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:
Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.
Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.
Смежные углы. Теоремы. Следствия
Содержание
Смежные углы
Смежными углами называются углы, которые имеют общую вершину и одну сторону, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми
Сколько может быть смежных углов?
Смежных углов может быть не только два. Теоретически, их количество может быть бесконечно большим, потому что из точки на прямой можно провести неограниченное количество лучей, лежащих в одной полуплоскости.
Теорема о смежных углах
Утверждение о том, что сумма смежных углов равна $180 \degree$ называется теоремой о смежных углах. Ее доказательство просто и базируется на знании того, что любой луч, проведенный из вершины угла, и проходящий по его внутренней области, делит этот угол на два угла, сумма которых равна первому углу.
Доказательство теоремы о смежных углах
Очевидно, что аналогично теорема может быть доказана для любого количества смежных углов.
Следствие из теоремы о смежных углаx
Теорема о смежных углах имеет следствие.
Следствием теоремы называется логический вывод, следующий из теоремы, и не требующий отдельного доказательства.
Следствие из теоремы о смежных углаx: если некоторые два угла равны, то равны и смежные с ними углы.
Задача 1
Короткая запись условия:
Решение и чертеж:
