Что такое свойства арифметических действий 7 класс

Арифметика. Арифметические действия

Содержание

Арифметика. Арифметические действия

Обратные арифметические действия

Свойства арифметических действий

Порядок выполнения арифметических действий

Умножение натуральных чисел на 10, 100, 1000; и т.д.

Арифметика. Арифметические действия

Арифметическим действием называют операцию, удовлетворяющую ряду свойств и позволяющую по нескольким данным числам найти новое число.

Арифметикой называют науку, изучающую простейшие свойства чисел и арифметических действий.

Существуют шесть арифметических действий: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня.

Обратные арифметические действия

Вычитание – это арифметическое действие, обратное к сложению, деление – действие, обратное к умножению, извлечение корня – действие, обратное к возведению в степень.

Свойства арифметических действий

Порядок выполнения арифметических действий

Сложение и вычитание называют действиями первой ступени, умножение и деление – действиями второй ступени, возведение в степень и извлечение корня – действиями третьей ступени.

Действия одной ступени выполняются в том же порядке, в каком они записаны в формуле.

Если в формуле содержатся действия разных ступеней, то сначала выполняют действия высших ступеней, а затем низших ступеней.

Если формула содержит скобки, то сначала выполняют действия в скобках. Скобки бывают круглыми, квадратными и фигурными, причем между ними нет никакой разницы.

Если скобки содержат другие скобки, то сначала выполняют действия во «внутренних» скобках.

Умножение натуральных чисел на 10, 100, 1000 и т.д.

Действительно, например, число 3610 состоит из трёх тысяч, шести сотен и одного десятка, поэтому

Источник

Свойства арифметических действий

Действия

Действие – процесс в математике, в котором по двум данным числам с помощью правила определяют третье число.

Арифметические действия – действия сложения, вычитания, умножения и деления.

В равенстве a + b = c числа a и b называют слагаемыми, число c и запись a + b – суммой.

В равенстве a – b = c число a называют уменьшаемым, число b – вычитаемым, число c и запись a – b – разностью.

В равенстве a • b = c числа а и b называют множителями, а число с и запись а • b – произведением.

В равенстве a : b = с число a называют делимым, число b – делителем, число c и запись a : b – частным.

Свойства

Арифметические действия обладают следующими свойствами.

Переместительное свойство сложения – от перестановки слагаемых сумма не меняется:

Сочетательное свойство сложения – чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел:

Переместительное свойство умножения – от перестановки множителей произведение не меняется:

Сочетательное свойство умножения – чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел:

Распределительное свойство умножения относительно сложения – чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить:

a * (b + c) = a * b + a * c.

Примеры

Вычислим, используя переместительное, а затем сочетательное свойства умножения:

25 • 867 • 4
Используем переместительное, 25 • 867 • 4 = 867 • (25 • 4) = 867 • 100 = 86 700.

329 • 754 + 329 • 246
Имеем: a • b + a • c = a • (b + c).
Тогда: 329 • 754 + 329 • 246 = 329 • (754 + 246) = 329 • 1000 = 329 000.

125 • 24 • 283
Решение. 125 • 24 • 283 = 125 • 8 • 3 • 283 = (125 • 8) • (3 • 283) = 1000 • 849 = 849 000.

Источник

Презентация по алгебре 7 класс «Свойства арифметических действий»

Описание презентации по отдельным слайдам:

Один холодильник стоит 15000 руб. Тогда два холодильника стоят в два раза больше, т.е. 15000·2=30000 руб; пять холодильников стоят в пять раз дороже, т.е. 15000·5=75000 руб. Легко сообразить, что а холодильников стоят в а раз больше, т.е. 15000·а руб С помощью выражения 15000·а можно находить стоимость различного числа а холодильников, подставляя различные значения а и выполняя умножение. Так как буква а может принимать различные натуральные значения, то а – переменная 15000·а – алгебраическое выражение (или выражение с переменной)

В театральной кассе купили n билетов по цене 700 рублей. Записать формулу стоимости (М) всех купленных билетов:

В театральной кассе купили n билетов по цене 700 рублей и m билетов по 800 рублей. Записать формулу стоимости (М) всех купленных билетов:

ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНОЕ СВОЙСТВО СЛОЖЕНИЯ От перестановки слагаемых сумма не меняется.

ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНОЕ СВОЙСТВО УМНОЖЕНИЯ От перестановки множителей произведение не меняется.

СОЧЕТАТЕЛЬНОЕ СВОЙСТВО СЛОЖЕНИЯ Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.

СОЧЕТАТЕЛЬНОЕ СВОЙСТВО УМНОЖЕНИЯ Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНОЕ СВОЙСТВО УМНОЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО СЛОЖЕНИЯ Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.

Выполнить действие, применяя свойства и законы сложения и умножения: 38+67+62= 28,5+89+71,5= 18•8•5= 25•4,01•4= 125•0,832•8= (17,1+42,9)•10= 0,5•(42+64)=

Вычислить с помощью законов и свойств арифметических действий: 109+48-59+12= 239,5-67,1+60,5+27,1= (10,2-8,04):2-5,1=

Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми. Подчеркнуть подобные слагаемые: 3-2а+4+3а-2+а х+2х+у-х-2у-3у+4 6а-b+6+a-2b-2a 3+2х-3у-у+1-2х

2х+3у+х-у+1= 4a+2b-4b-2a+3= 3m-m+2m-5m+n= n-2n+3n-m-4n=

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-399842

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

В Петербурге школьникам разрешили уйти на каникулы с 25 декабря

Время чтения: 2 минуты

Дума приняла закон о бесплатном проживании одаренных детей в интернатах при вузах

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году пройдет в доковидном формате

Время чтения: 1 минута

В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников

Время чтения: 1 минута

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Сочетай, перемещай, свойства действий

Как найти значение выражения используя свойства арифметических действий?

Напомним известные уже из арифметики главнейшие свойства действий сложения, вычитания, умножения и деления, так
как этими свойствами придется часто пользоваться и в алгебре.

Свойства сложения

Переместительный закон сложения

Пример:
3 + 8 = 8 + 3; 5 + 2 + 4 = 2 + 5 + 4 = 4 + 2 + 5.
В общем случае:

a+b+c=c+a+b
Стоит иметь ввиду, что число слагаемых может быть и более трёх.

Сочетательный закон сложения

Пример:
3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15;
4 + 7+11+6 + 5 = 7 +(4+ 5)+ (11+6) = 7 + 9+17 = 33.
В общем случае:
а + b + с = а+(b + с) = b+(а + с) и т. п.
Иногда этот закон выражают так: слагаемые можно соединять в какие угодно группы.

Чтобы прибавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим.

Пример:
5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15.
В общем случае:

Свойства вычитания

Свойство вычитания суммы из числа

Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму нескольких чисел, можно вычесть отдельно каждое слагаемое одно за другим.

Например:
20 — (5+ 8) = (20 — 5) — 8 = 15 — 8 = 7.
В общем случае:
а — (b + с + d+ …) = а — Ь — с — d — …

Свойство сложения разности чисел

Чтобы прибавить разность двух чисел, можно прибавить уменьшаемое и затем вычесть вычитаемое.

Свойство вычитания разности из числа

Чтобы вычесть разность, можно сначала прибавить вычитаемое и затем вычесть уменьшаемое.

Например:
18-(9-5) = 18 + 5-9= 14.
Вообще:
а — (Ь — с) = а + с — b.

Свойства умножения

Переместительный закон умножения

Сочетательный закон умножения

Так:
7*3*5 = 5*(3*7) = 5*21 = 105.

Вообще:
abc = а(bс) = b(ас) и т. п.

Умножение числа на произведение чисел

Чтобы умножить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно умножить это число на
первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и т. д.

Так:
3*(5*4) = (3*5)*4= 15*4 = 60.
Вообще:
a•(bcd…) = <[(a·b)•c]•d>…
Чтобы умножить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно умножить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения.

Так:
3 • 2 • 5 • 3 = (3 • 3) • 2 • 5 = 3 • (2 • 3) • 5 = 3 • 2 • (5 • 3).
Вообще:
(abc.. )m = (аm)bс… = а(bm)с… и т. п.

Умножение числа на сумму чисел

Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные ре-
результаты сложить.

В силу переместительного закона умножения это же свойство можно выразить так: чтобы умножить какое-либо число на
сумму нескольких чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить.

Так:
5·(4 + 6) = 5·4 + 5·6.
Вообще:
r·(а + Ь + с +…) = rа + rb + rс + …

Это свойство называется распределительным законом умножения, так как умножение, производимое над суммой, распределяется на каждое слагаемое в отдельности.

Распределительный закон умножения для разности чисел

Распределительный закон можно применять и к разности.

Так:
(8 — 5) • 4 = 8 • 4 — 5 • 4;

7 • (9 — 6) = 7 • 9 — 7 • 6.

Вообще:
(а — b)с = ас — bc,

а(b — с) = ab — ас,
т. е. чтобы умножить разность на какое-либо число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй; чтобы умножить какое-либо число на разность, можно это число умножить
отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй.

Свойства деления

Деление суммы на число

Чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить:

Деление разности на число

Чтобы разделить разность на какое-либо число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй:

Деление произведения на число

Чтобы разделить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно разделить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения:

(40 • 12 • 8) : 4 = (40:4) • 12 • 8 = 10 • 12 • 8 = 40 • 12 • 2.
Вообще:

(a·b·c…) : t = (а : t)bс… = а(b : t)с… и т. д.

Деление числа на произведение

Чтобы разделить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно разделить это число на
первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и т.д.:

120 : (12 • 5 • 3) = [(120 : 2) : 5] : 3 = (60 : 5) : 3 = 12 : 3 = 4.

а : (bcd …) = [(а : b) : с] : d… и т. п.

Укажем еще следующее свойство деления:

Если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то же число, то частное не изменится.
Поясним это свойство на следующих двух примерах:
1)8:3 = 8/3|,
умножим делимое и делитель, положим, на 5; тогда получим
новое частное: (8*5)/(3*5)
которое по сокращении дроби на 5 даст прежнее частное — 8/3

Вообще, какие бы числа a, b и m ни были, всегда
(am) : (bm) = а : b, что можно написать и так:
am/bm= a/b

Источник

Свойства действий над числами

Урок 4. Алгебра 7 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Свойства действий над числами»

· повторить основные свойства сложения и умножения чисел;

· познакомить со следствиями из этих свойств;

· рассмотреть применение этих следствий на практике.

Давайте вспомним основные свойства сложения и умножения чисел.

Из переместительного и сочетательного свойств сложения следует, что слагаемые в любой сумме можно переставлять произвольным образом и объединять их в группы.

Из переместительного и сочетательного свойств умножения следует, что множители любого произведения можно переставлять произвольным образом и объединять их в группы.

Поэтому следует отметить, что рассмотренные выше свойства действий справедливы и для таких сумм.

Давайте рассмотрим распределительный закон.

Если в этом равенстве мы переходим от левой части к правой, то говорим, что раскрываем скобки.

А если переходим от правой части к левой, то мы говорим, что выносим общий множитель за скобки.

Для разности аналогично можно раскрыть скобки и вынести общий множитель.

Для любого числа слагаемых мы можем раскрыть скобки и вынести за скобки общий множитель.

Источник