Что такое свойства фигур

Тема 8.1. Свойства геометрических фигур

Основные понятия и термины по теме: геометрическая фигура, многоугольник, многогранник, круг, конус, окружность, перпендикулярные прямые, параллельные прямые, сфера, треугольник, угол, черырехугольник, шар,

План изучения темы:

1. Свойства геометрических фигур на плоскости (углы, параллельные и перпендикулярные прямые, треугольники, четырехугольники, окружность, круг).

2. Свойства геометрических фигур в пространстве (многогранники и тела вращения).

Краткое изложение теоретических вопросов:

1.Свойства геометрических фигур на плоскости

Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости. Геометрическую фигуру определяют как любое множество точек. Отрезок, прямая, круг – геометрические фигуры.

Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости, она называется плоской. Например, отрезок, прямоугольник – это плоские фигуры. Существуют фигуры, не являющиеся плоскими. Это, например, куб, шар, пирамида.

Основные свойства простейших фигур на плоскости выражаются в следующих аксиомах:

1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и не принадлежащие ей.

Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Эта аксиома выражает основное свойство принадлежности точек и прямых на плоскости.

2. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Этой аксиомой выражается основное свойство расположения точек на прямой.

3. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

Очевидно, что аксиома 3 выражает основное свойство измерения отрезков.

4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Этим предложением выражается основное свойство расположения точек относительно прямой на плоскости.

Эта аксиома выражает основное свойство измерения углов.

6. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

В этих аксиомах отражаются основные свойства откладывания углов и отрезков.

К основным свойствам простейших фигур относится и существование треугольника, равного данному.

8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой

Основные свойства параллельных прямых выражается следующей аксиомой.

9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

2.Свойства геометрических фигур в пространстве

Источник

Свойства геометрических фигур на плоскости

Лекция 5. Понятие геометрической фигуры.

В окружающем нас мире существует множество материальных предметов раз­ных форм и размеров: жилые дома, детали машин, книги, украшения, игрушки и т. д.

В геометрии вместо слова предмет говорят геометрическая фигура. Геомет­риче­ская фигура (или кратко: фигура) – это мысленный образ реального пред­мета, в котором сохраняются только форма и размеры, и только они принимаются во внимание.

Геометрические фигуры разделяют на плоские и пространственные. В плани­метрии рассматриваются только плоские фигуры.

Плоской называется такая геометрическая фигура, все точки которой лежат на одной плоскости. Представление о такой фигуре даёт любой рисунок, сделанный на листе бумаги.

Геометрические фигуры бывают весьма разнообразны, например, треугольник, квадрат, окружность и др.:

Часть любой геометрической фигуры (кроме точки), также является геометри­ческой фигурой. Объединение нескольких геометрических фигур, тоже будет являться геометрической фигурой. На рисунке ниже левая фигура состоит из квадрата и четырёх треугольников, а правая фигура состоит из окружности и частей окружности:

Основные геометрические фигуры

К основным геометрическим фигурам на плоскости относятся точка и прямая линия. Отрезок, луч, ломаная линия — простейшие геометрические фигуры на плоскости.

Точка — это самая малая геометрическая фигура, которая является ос­новой всех прочих построений (фигур) в любом изображении или чертеже.

Всякая более сложная геометрическая фигура — это множество точек, которые обладают определенным свойством, характерным только для этой фигуры.

Прямую линию, или прямую, можно представить себе как бесчисленное множество точек, которые расположены на одной линии, не имеющей ни начала, ни конца. На листе бумаги мы видим только часть прямой линии, так как она бесконечна. Прямая изображается так:

Часть прямой линии, ограниченная с двух сторон точками, называется отрезком прямой, или отрезком. Отрезок изображается так:

Луч — это направленная полупрямая, которая имеет точку начала и не имеет конца. Луч изображается так:

Если на прямой вы поставили точку, то этой точкой прямая разбива­ется па два луча, противоположно направленных. Такие лучи называются дополнительными.

Ломаная линия — это несколько отрезков, соединенных между собой так, что ко­нец первого отрезка является началом второго отрезка, а конец второго отрезка — началом третьего отрезка и т. д., при этом соседние (имеющие одну общую точку) отрезки расположены не на одной прямой. Если конец последнего отрезка не совпадает с началом первого, то такая ломаная линия называется незамкнутой. Ломаная, не имеющая самопересечений, называется простой.

Это ­– трехзвенная ломаная линия.

Если конец последнего отрезка ломаной совпадает с началом первого отрезка, то такая ломаная линия называется замкнутой. Примером замкнутой ломаной служит любой многоугольник:

Четырехзвенная замкнутая ломаная линия — четырехугольник

Трехзвенная замкнутая ломаная линия — треугольник

Плоскость, как и прямая, — это первичное понятие, не имеющее определения. У плоскости, как и у прямой, нельзя видеть ни начала, ни конца. Мы рассматриваем только часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломаной линией.

Примером плоскости является поверхность вашего рабочего стола, тетрадный лист, любая гладкая поверхность. Плоскость можно изобразить как заштрихованную геометрическую фигуру:

Лекция 6. Выпуклые и невыпуклые фигуры.

Геометрическая фигура называется плоской, если все тонки фигу­ры принадлежат одной плоскости.

Примером плоских геометрических фигур являются: прямая, от­резок, круг, различные многоугольники и др. Не являются плоски­ми такие фигуры, как шар, куб, цилиндр, пирамида и др.

На плоскости различают выпуклые и невыпуклые фигуры.

Геометрическая фигура называется выпуклой, если она целиком со­держит отрезок, концами которого служат любые две точки, принад­лежащие фигуре (рисунок).

Примерами выпуклых фигур являются: круг, различные треу­гольники, квадрат. Точку, прямую, луч, отрезок, плоскость также считают выпуклыми фигурами.

Есть несколько разных (но эквивалентных) определений выпуклого многоугольника. Приведем наиболее известные и часто встречающиеся из них. Многоугольник называют выпуклым, если выполнено одно из следующих условий:

а) он лежит по одну сторону от любой из своих сторон (т. е. продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон);

б) он является пересечением (т. е. общей частью) нескольких полу­плоскостей;

в) любой отрезок с концами в точках, принадлежащих много­уголь­нику, целиком ему принадлежит.

2. Фигуру называют выпуклой, если любой отрезок с концами в точ­ках фигуры целиком принадлежит ей.

Дети, например, в процессе игр или рисования знакомятся с точкой, отрезком, различными линиями, выделяя из них прямую, кривую, ломаную, учатся распознавать некоторые их свойства.

1. «Какая дорога от леса до дома короче?» (рис. 1)

2. «Поросята живут в домиках, расположенных на берегах реки. Они не умеют плавать. Кто из поросят может пойти в гости друг к другу?» (рис. 2)

Рис. 1 Рис. 2

Замкнутая линия делит плоскость на внешнюю и внутреннюю об­ласти. Дети рано усваивают, что значит «внутри» и «вне». Напри­мер, это происходит при выполнении задания на закрашивание фи­гуры, то есть ее внутренней области.

Геометрические фигуры, с которыми рано знакомятся дети (круг, квадрат, треугольник и др.), представляют собой замкнутые линии (границы фигур) с их внутренней областью. Границей круга является окружность. Границей многоугольников является ломаная линия, которая состоит из отрезков. В геометрии все эти понятия имеют определения.

Отрезок — часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными точками, называемых кон­цами отрезка.

Луч (полупрямая) — это часть прямой, состоящая из всех ее то­чек, лежащих по одну сторону от заданной на ней точки (начала луча).

Угол – это меньшая часть плоскости, ограниченная двумя луча­ми, выходящими из одной точки. Эти лучи называются сторонами угла, а их общая точка – вершиной угла (рис. 59).

Круг можно определить как фигуру, состоящую из окружности и ее внутренней области.

Лекция 7. Основные свойства отрезка, угла, треугольника, четырехугольника, параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата, трапеции, окружности и круга

ОТРЕЗОК

Основные свойства отрезка

Две точки прямой делят эту прямую на три части: два луча и отрезок.

Говорят, что два отрезка пересекаются, если они имеют только одну общую внутреннюю точку. Чтобы измерять отрезки (а точнее – длины отрезков), нужно ввести единицу измерения – единичный отрезок, в ка­честве которого можно брать отрезки длиной 1 м, 1 км, 1 мм, 1 дюйм и т. д.

Определение. Длиной отрезка называется величина, определенная для каждого отрезка таким образом, что:

j равные отрезки имеют равные длины;

k если отрезок состоит из нескольких отрезков, то его длина равна сумме длин отрезков, его составляющих.

Аксиома. Каждый отрезок имеет определенную длину больше нуля.

Два отрезка называются равными, если их можно совместить наложением (или: два отрезка называются равными, если их длины равны.). Равные отрезки имеют равные длины.

Из двух отрезков большим считается тот, длина которого больше.

Длину отрезка называют также расстоянием между его концами. Если XY = 18 см, то значит, расстояние между точками X и Y равно 18.

Основные свойства измерения отрезков.

По величине углы можно разделить на 4 класа:

Основные свойства угла

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами.

Свойства смежных углов

Два угла называются вертикальными, если стороны однго из них являются дополнительными лучами другого.

Свойство вертикальных углов. Вертикальные углы равны.

Треугольник

Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки – сторонами треугольника.

Углом DABC при вершине A называется угол, образованный лучами AB и AC.

Внешним углом при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при данной вершине.

Биссектрисой треугольника нвзывается отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Свойства биссектрисы треугольника:

Классификация треугольников:

по углам:

по сторонам:

треугольники со сторонами различной длины (разносторонние или треугольники общего вида);

равнобедренные треугольники (в том числе равносторонние)

Основные свойства треугольника В любом треугольнике:

1. Против бόльшей стороны лежит бόльший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.

3. Сумма углов треугольника равна 180º.

Из свойств 2–3 следует: равно­стороннем треугольнике каждый угол равен 60º.

4. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним: Ð BCD = Ð A + Ð B.

5. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности: b – c 2 + NQ 2 + RS 2 = ¼(AB 2 +BC 2 +CD 2 +AD 2 +AC 2 +BD 2 ).

Если β – угол между первой и второй средними линиями четырёхугольника, то его площадь:

Равными плитками, которые имеют форму произвольного, не обязательно выпуклого, четырёхугольника можно замостить плоскость так, чтобы не было наложений плиток друг на друга и не осталось непокрытых участков плоскости.

Основные свойства параллелограмма,

Параллелограммом называется четырёх­уголь­ник, про­тиволежащие стороны которого попарно параллельны:

У параллелограмма противолежащие сто­ро­ны равны и противолежащие углы равны:

Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°:

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам:

Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

e 2 +f 2 = a 2 +b 2 +a 2 +b 2 = 2(a 2 +b 2 ).

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к неприлежащей стороне:

Площадь параллелограмма можно определить:

Основные свойства ромба, прямоугольника,

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны:

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов:

В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

Радиус окружности, вписанной в ромб, можно вычислить:

Площадь ромба можно определить:

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые:

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка:

Площадь прямоугольника можно определить:

Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали:

Основные свойства квадрата,

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны:

Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.

Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями:

У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей.

Радиус описанной окружности:

Радиус вписанной окружности:

Основные свойства трапеции,

Трапецией называется четырёхуголь­ник у которого только две противо­лежащие стороны параллельны:

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.

Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.

Средней линией (первой средней линией) трапеции называется отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции:

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме:

При продолжении до пересечения боковых сторон трапеции образуются два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

Треугольники, образованные основами и отрезками диагоналей подобны с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны:

Отрезок, соединяющий середины оснований (вторая средняя линия) трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей, а его продолжение – через точку пересечения продолжений боковых сторон:

Отрезок, соединяющий середины диагоналей (третья средняя линия) трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности:

В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон:

Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.

В трапецию АВСD с основаниями AD и BC можно вписать окружность тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из равенств:

Боковые стороны трапеции видны из центра окружности, вписанной в данную трапецию, под прямым углом:

Радиус вписанной в трапецию окружности можно определить:

Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны:

У равнобокой трапеции:

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением:

Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Площадь трапеции можно определить:

Дельтоидом называется четырёхугольник, имеющий две пары равных соседних сторон.

Дельтоид может быть выпуклым или невыпуклым.

Прямые, содержащие диагонали любого дельтоида пересекаются под прямым углом.

В любом дельтоиде углы между соседними неравными сторонами равны.

Площадь любого дельтоида можно определить:

В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность.

Если выпуклый дельтоид не является ромбом, то существует окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон данного дельтоида.

Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух сто­рон большей длины и продолжений двух меньших сторон, а также окруж­ность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух сторон большей длины.

Вокруг дельтоида можно описать окружность тогда и только тогда, когда его неравные стороны образуют углы по 90°.

Радиус окружности, описанной около дельтоида можно определить через две его неравные стороны:

Четырёхугольник называется ортодиагональным, если его диагонали пересекаются под прямым углом.

Четырёхугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

Сумма квадратов противолежащих сторон вписанного в окружность ортодиагонального четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности:

Ортодиагональный четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда произведения его противолежащих сторон равны:

Если ABCD – ортодиагональный четырёхугольник, описанный около окружности с центром в точке О, то верны соотношения:

Основные свойства окружности

Формулы длины окружности

1. Формула длины окружности через диаметр:

2. Формула длины окружности через радиус:

Окружностью называется замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра окружности), которая лежит в той же плоскости, что и кривая.

Отрезок R, который соединяет центр окружности с любой её точкой (а также длина этого отрезка), называется радиусом.

Отрезок DE, который соединяет какие-либо две точки окружности, называется хордой.

Хорда BC, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Диаметр – наибольшая хорда данной окружности. Наименьшей хорды окружности не существует.

Дуга, ∪AB,– это часть окружности, расположенная между двумя её точками.

Вписанным углом, α, называется угол, образованный двумя хордами, имеющими общий конец.

Центральным углом, β, называется угол, образованный двумя радиусами.

Параллельные хорды отсекают на окружности равные дуги:

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей:

Хорды окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от её центра:

Хорды окружности равны тогда и только тогда, когда они стягивают равные дуги:

Большая из двух хорд окружности расположена ближе к её центру:

2. Формула площади круга через диаметр:

Определение. Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью..

Окружность разделяет плоскость на две части, внутреннюю и внешнюю. Внутренняя часть, включающая саму окружность, называется кругом.
Точка O — это центр и круга и окружности.

Диаметр разделяет круг на два полукруга, а окружность на две полуокружности.

Источник

Основные геометрические фигуры

Основные понятия

Основные геометрические фигуры на плоскости — это точка и прямая линия. А простейшие фигуры — это луч, отрезок и ломаная линия.

Минимальный объект в геометрии — точка. Ее особенность в том, что она не имеет размеров: у нее нет высоты, длины, радиуса. У точки можно определить только ее расположение, которое принято обозначать одной заглавной буквой латинского алфавита.

Из множества точек может получится линия, а из нескольких соединенных между собой линий — геометрические фигуры.

Обучение на курсах по математике поможет быстрее разобраться в видах и свойствах геометрических фигур.

Каждая математическая фигура имеет собственную величину, которую можно измерить при помощи формул и внимательности.

Площадь — это одна из характеристик замкнутой геометрической фигуры, которая дает нам информацию о ее размере. S (square) — знак площади.

Периметром принято называть сумму длин всех сторон многоугольника. Периметр обозначается заглавной латинской P.

Если параметры переданы в разных единицах измерения длины, нужно перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

Геометрические тела — часть пространства, которая ограничена замкнутой поверхностью своей наружной границы.

Если все точки фигуры принадлежат одной плоскости, значит она является плоской.

Объемная фигура — геометрическая фигура, у которой все точки не находятся на одной плоскости.

Примеры объемных геометрических фигур:

Рассмотрим подробнее некоторые фигуры, разберем их определения и свойства.

Прямоугольник

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.

Узнать площадь прямоугольника помогут следующие формулы:

Диагональ — это отрезок, который соединяет противоположные вершины фигуры. Он есть во всех фигурах, число вершин которых больше трех.

Периметр прямоугольника — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

Квадрат

Квадрат — это тот же прямоугольник, у которого все стороны равны.

Найти площадь квадрата легко:

Периметр квадрата — это длина стороны, умноженная на четыре.

P = 4 × a, где a — длина стороны.

Трапеция

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две не параллельны.

Основное свойство: в трапецию можно вписать окружность, если сумма ее оснований равна сумме боковых сторон.

Как найти площадь трапеции:

S = (a + b) : 2 × h, где a, b — два разных основания, h — высота трапеции.

Построить высоту трапеции можно, начертив отрезок так, чтобы он соединил параллельные стороны и был расположен перпендикулярно к этим основаниям.

Формула периметра для равнобедренной трапеции отличается от прямоугольника тем, что у равнобедренной трапеции есть две равные стороны.

P = a + b + 2 × c, где a, b — параллельные стороны, c — две длины одинаковых сторон.

Параллелограмм и ромб

Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны

Ромб — это параллелограмм с равными сторонами.

Общие формулы расчета площади фигур:

Периметр ромба — это произведение длины стороны на четыре.

P = 4 × a, где a — длина стороны.

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

Треугольник

Треугольник — это такая фигура, которая образуется, когда три отрезка соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Эти три точки принято называть вершинами, а отрезки — сторонами.

Рассчитать площадь треугольника можно несколькими способами по исходным данным, давайте их рассмотрим.

S = 0,5 × a × h, где a — длина основания, h — высота, проведенная к основанию.

Основание может быть расположено иначе, например так:

При тупом угле высоту можно отразить на продолжение основания:

При прямом угле основанием и высотой будут его катеты:

S = 0,5 × a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними.

S = (a × b × с) : 4 × R, где a, b и с — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности.

S = p × r, где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Периметр треугольника — это сумма длин трех его сторон.

P = a + b + c, где a, b, c — длина стороны.

Формула измерения периметра для равностороннего треугольника — это длины стороны, умноженная на три.

P = 3 × a, где a — длина стороны.

Круг — это это часть плоскости, которая лежит внутри окружности.

Окружность — это граница круга.

Радиус окружности — это расстояние от центра окружности до любой точки на ней.

Диаметр круга — это отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходящий через ее центр. Диаметр круга равен двум его радиусам.

Формулы площади круга:

Периметр круга или длина окружности — это произведение радиуса на два Пи или произведение диаметра на Пи.

L = d × π = 2 × r × π, где d — диаметр, r — радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Источник