Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Свойства сложения
Сложение — это арифметическое действие, в котором единицы двух чисел объединяются в одно новое число
Для записи сложения используют знак «+» (плюс), который ставят между слагаемыми.
Слагаемые — это числа, единицы которых складываются.
Сумма — это число, которое получается в результате сложения.
Рассмотрим пример 2 + 5 = 7, в котором:
При этом саму запись (2 + 5) можно тоже назвать суммой.
Сложение двух чисел можно проверить вычитанием. Для этого вычитаем из суммы одно из слагаемых. Если разность окажется равной другому слагаемому — сложение выполнено верно.
Впервые мы сталкиваемся со свойствами сложения во 2 классе. С каждым годом задания усложняются, и появляются новые правила и законы. Рассмотрим свойства сложения для 4 класса.
Свойства вычитания
Вычитание— это арифметическое действие, в котором отнимают меньшее число от большего.
Для записи вычитания используется знак «-» (минус), который ставится между уменьшаемым и вычитаемым.
Уменьшаемое — это число, из которого вычитают.
Вычитаемое — это число, которое вычитают.
Разность — это число, которое получается в результате вычитания.
Примеры использования свойств сложения и вычитания
Мы узнали основные свойства сложения и вычитания — осталось попрактиковаться. Чтобы ничего не забыть, используйте эту шпаргалку:
Пример 1
Вычислить сумму слагаемых с использованием разных свойств:
а) 4 + 3 + 8 = (4 + 3) + 8 = 7 + 8 = 15
б) 9 + 11 + 2 = (9 + 2) + 11 = 11 + 11 = 22
в) 30 + 0 + 13 = 30 + 13 = 43
Пример 2
Применить разные свойства при вычислении разности:
Мы уже умеем складывать числа с помощью рисунка и координатного луча. Умеем складывать однозначные числа, такие как 7 и 5, и многозначные, такие как 123 и 456.
Для того чтобы складывать числа было легче, существует несколько простых правил. Их еще называют законамисложения или свойствами.
Закон – это что-то, что никогда не меняется, и что можно применять для всех чисел.
Заучивать законы сложения не нужно, их нужно только один раз понять и научиться использовать в примерах и задачах. Сделать это очень просто. Сейчас мы сможем в этом убедиться.
Переместительное свойство
Первый закон сложения называется переместительным законом сложения. Звучит он так:
От перестановки слагаемых сумма не меняется.
Чтобы понять этот закон, мы решим один и тот же пример двумя способами.
А теперь поменяем наши числа местами и посчитаем ответ:
Результаты сложения получились одинаковыми. Но заметим, что во втором случае посчитать было гораздо проще, не так ли? Значит, проще было поменять числа местами и потом посчитать.
Сложение с нулем
В корзине было 100 яблок, туда положили 0 яблок, сколько яблок стало в корзине?
Очевидно, что если в корзину не положили яблок, то количество яблок в ней не изменилось, то есть по-прежнему равно 100.
От прибавления нуля число не изменяется
$10+0 = 10$ $0 + 8 = 8$ $0 + 0 = 0$
Сочетательное свойство
В некоторых примерах бывает нужно сложить не два числа, а несколько.
Складываем все числа слева направо привычным для нас способом. Получаем:
Если мы внимательно посмотрим на числа, то сможем увидеть, что легче сначала сложить 4 и 6, а затем к полученной сумме прибавить и число 29.
$29 + 4 + 6 = 24 + 10 = 39$
Ответ получился таким же.
Значит, при сложении нескольких чисел можно складывать сначала те числа, которые нам удобнее сложить. А затем уже к полученной сумме прибавляем оставшиеся числа. Мы, так сказать, сочетаем те числа, которые легче посчитать при сложении.
Этот закон называется сочетательный закон сложения. Кратко он звучит так:
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.
Законы сложения можно применять при сложении не только двух или трех, но и большего количество чисел.
Чтобы решить этот пример, посмотрим внимательно на числа. Заметим, что легче всего было бы сложить 128 и 12, а к числу 383 легче прибавить 17. Поэтому мы сейчас поменяем местами числа 17 и 12. То есть применим в нашем примере переместительный закон. Получим:
Теперь группируем попарно числа, которые будем складывать. То есть применим сочетательный закон. Для этого мы используем скобки:
Считаем, сколько получится в скобках и складываем результаты:
Вот так легко и быстро мы получили ответ, применяя законы сложения.
Главными элементами сложения являются аргументы (слагаемые). Сумма — результат увеличения значений первого и второго аргументов. На письме эта математическая операция обозначается символом +. Основными свойствами сложения в математике являются:
Базовые свойства сложения изучаются в начальной школе со 2 класса. Процесс обучения начинается с простых заданий с двумя компонентами, представленными натуральными числами. По мере обучения увеличивается сложность задач и количество слагаемых. В школе большинство вычислений производится в десятичной системе счисления, поэтому в качестве памятки рекомендуется предоставить ученикам таблицу сложения, где представлены суммы пар чисел от 1 до 10.
Нахождение суммы многозначных чисел
Многозначными называются числа, состоящие из двух и более цифр. Для нахождения их суммы необходимо знание численных разрядов. Цифра, стоящая последней, показывает количество единиц. Далее идут десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч и миллионы. Многозначные числа складываются столбиком. Сложить можно только одинаковые разряды.
Пример: найти сумму многозначных чисел 125 и 234. Отдельно складываются единицы, десятки и сотни: 5 + 4 = 9, 2 + 3 = 5, 1 + 2 = 3. Суммой является число 359.
Для проверки правильности вычислений нужно вычесть из суммы одно из слагаемых. Если разность равна второму слагаемому, то пример решен правильно. Проверку можно осуществить также при помощи калькулятора или иных вычислительных устройств.
Прибавление дробей и смешанных значений
Дробь — часть от целого числа, записываемая в виде x / y. Значение x называется числителем, y — знаменателем. Дробное число представляет собой операцию деления, где делимым является числитель, а делителем — знаменатель. Дробь считается правильной, если числитель не больше знаменателя.
При складывании дробей с одинаковыми знаменателями необходимо прибавлять только их числители (например, 1/5 + 3/5 = 4/5). Если значения, стоящие под знаком дроби, разные, то необходимо привести выражение к единому знаменателю:
Для упрощения этой процедуры рекомендуется приобрести таблицу умножения. С ее помощью можно легко найти общий знаменатель и дополнительные множители.
Десятичной называется дробь, знаменатель которой равен 10. Она состоит из целой и дробной частей, отделенных запятой. При нахождении суммы десятичные дроби записываются столбиком. Важно, чтобы запятые находились на одном уровне. При неравном количестве разрядов с правой стороны дописываются нули. Если в результате после запятой стоит 0, то он опускается.
Смешанное число — сумма обыкновенной дроби (дробная часть) и целого числа (целая часть).
Для определения суммы чисел в смешанной записи необходимо отделить целую часть от дроби и сложить их по отдельности, применяя базовые свойства сложения. Если в результате вычислений получилась неправильная дробь, то нужно следовать следующему алгоритму действий:
В математике процесс преобразования неправильной дроби в смешанное число называется выделением целой части. Если числитель полностью делится на знаменатель, то неправильную дробь можно записать в виде целого числа.
Складывание векторов, пределов и матриц
Вектор — отрезок, имеющий длину и направление. Он является одним из основополагающих понятий линейной алгебры. В буквенном виде он записывается двумя заглавными символами латинского алфавита или одной маленькой латинской буквой. Существует два основных способа сложения векторов:
Для нахождения суммы трех и более векторов необходимо отметить на плоскости произвольную точку и последовательно отложить от нее исходные векторы. Отрезок, соединяющий начало первого вектора и конец последнего, является суммой. При сложении важно учитывать, что результат сложения противоположно направленных векторов равен 0. Наглядно способы нахождения суммы векторов проиллюстрированы ниже.
Пределом функции является число, к которой стремится значение функции f (x) при стремлении ее аргумента к заданной точке на графике. Является одним из разделов математического анализа. Предел функции вычисляется по следующей формуле: limx →∞ f (x)= C, где C — число, к которому стремится аргумент функции. Для нахождения предела суммы необходимо сложить функции, стремящиеся к идентичным точкам на заданном графике.
Матрица — элемент высшей математики, представленный в виде таблицы прямоугольной формы. Она состоит из неограниченного количества строк и столбцов, где записываются целые, действительные, иррациональные и комплексные числа. В квадратных матрицах количество столбцов и строк совпадает. Нулевой называется таблица, где все компоненты равны 0. Матрицы нашли применение в записи алгебраических и дифференциальных уравнений.
Складывать можно только одноразмерные матрицы (число строк и столбцов совпадает). В противном случае может измениться их исходный размер. При нахождении суммы матриц каждые элементы складываются по отдельности. Нельзя сложить компоненты, находящиеся в разных строках или столбцах. В результате получится матрица с исходным размером. При сложении применяются свойства коммутативности и ассоциативности. Для складывания нулевых матриц важно знать правило нейтрального элемента.
Сложение в двоичной системе счисления
В двоичной системе счисления математические операции выполняются на электронно-вычислительных машинах. В ней применяются только две цифры: 0 и 1. Сложение в этой системе счисления выполняется в столбик. Для вычислений требуется следующая таблица:
Условие математической операции
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
Числа, записываемые в столбик, выравниваются по разделителю целой и дробной частей. Если количество разрядов не совпадает, то с правой стороны необходимо добавить нули. При складывании нескольких чисел возможен перенос через 2 и более разряда.
Для упрощения математической операции можно перевести числа из двоичной системы счисления в десятичную. Для этого над каждой цифрой исходного числа слева направо ставится степень, начиная от 0. Каждый элемент умножается на цифру 2, возведенную в соответствующую степень. Результаты вычислений суммируются. С помощью этого способа можно также переводить в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.
Урок № 16. Свойства сложения. Применение переместительного и сочетательного свойств сложения
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— Что такое сочетательное свойство сложения?
-В каких случаях можно использовать свойства сложения?
Переместительное свойство сложения: слагаемые можно переставлять местами, при этом значение суммы не изменится.
Сочетательное свойство сложения: результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой.
Основная и дополнительная литература по теме урока (точные библиографические данные с указанием страниц):
1. Математика. 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1/ М. И. Моро, М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова и др. –8-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – с.44-47
3. Математика. Проверочные работы. 2 кл: учебное пособие для общеобразовательных организаций/ Волкова С.И.-М.: Просвещение, 2017.- с.28, 29
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Сравним выражения и их значения:
Сумма чисел шесть и девять равна сумме чисел девять и шесть.
Сумма чисел сорок пять и пять равна сумме чисел пять и сорок пять.
Значения выражений равны, так как от перестановки слагаемых значение суммы не меняется. Вспомним, как в математике называется данное свойство сложения?
Правильно, оно называется переместительным свойством сложения.
В школьном спортзале 3 волейбольных мяча, 5 баскетбольных мячей и 4 футбольных мяча. Сколько всего мячей в спортзале?
Первый способ решения.
Сначала узнаем, сколько волейбольных и баскетбольных мячей, затем прибавим число футбольных мячей. Запишем: к сумме чисел три и пять прибавить четыре, получится двенадцать.
Второй способ решения.
Прибавим к числу волейбольных мячей сумму баскетбольных и футбольных мячей. Запишем: к трем прибавить сумму чисел пять и четыре равно двенадцать.
В обоих случаях получили одинаковый результат, значит, выражения равны между собой. Можем записать так: (3+5)+4=3+(5+4)
Теперь ты знаешь еще одно свойство сложения: результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой. Это свойство называется сочетательным свойством сложения.
Знание этих двух свойств сложения позволит нам решать примеры на сложение удобным способом.
Решим выражение: 1+7+9+3=?
Мы знаем, что слагаемые можно менять местами и соседние слагаемые заменять их суммой. Воспользуемся свойствами сложения и найдем сумму.
В данном случае удобно сложить попарно 1 и 9, 7 и 3. А затем сложить полученные результаты. Получим 20.
Делаем вывод: используя переместительное и сочетательное свойства сложения можно складывать числа в любом порядке, как удобнее.
Умножение, сложение, вычитание и деление целых чисел: основные свойства
Сложение целых чисел. Основные свойства
Коммутативное свойство сложения
Переместительное (коммутативное свойство) или переместительный закон.
От перемены мест слагаемых сумма не меняется.
Согласно этому свойству, справедливо равенство:
Свойство коммутативности работает вне зависимости от знака.
Ассоциативное свойство сложения
Сочетательное (ассоциативное свойство) или сочетательный закон.
Сложение целого числа с суммой двух целых чисел эквивалентно сложению суммы двух первых чисел с третьим.
a + b + c = a + b + c
Примечание: данное свойство применимо и для большего количества слагаемых.
Вот несколько примеров. Согласно свойству ассоциативности справедливы равенства:
Свойства сложения, связанные с числом 0
Прибавление нуля к любому целому числу не меняет этого числа.
2. Сумма любого целого числа и противоположного ему числа равна нулю.
Умножение целых чисел. Основные свойства
Как и в случае со сложением, все свойства умножения натуральных чисел переносятся на целые числа.
Для умножения также действуют переместительный и сочетательный (коммутативный и ассоциативный) законы.
Переместительное свойство умножения
От перемены мест множителей произведение не меняется.
Сочетательное свойство умножения
Сочетательное свойство для умножения эквивалентно сочетательному свойству сложения. В буквенном виже оно записывается следующим образом:
a · ( b · c ) = ( a · b ) · c
Примечание: данное свойство применимо и для большего количества множителей.
В соответствии с этим свойством можно говорить о справедливости следующих равенств:
Умножение числа на нуль
Результатом умножения любого целого числа на нуль является число нуль.
Справедливо и обратное: произведение двух целых чисел a и b равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
Умножение числа на единицу
Умножение любого целого числа на единицу дает в результате это число. Иными словами, умножение на единицу не изменяет умножаемое число.
a · ( b + c ) = a · b + a · c
Данное свойство часто используется при упрощении выражений, одновременно содержащих как операции сложения, так и умножения.
В совокупности с ассоциативным свойством и распределительным законом можно легко расписать произведение целого числа на сумму из более чем трех слагаемых, а также произведение сумм.
